高中数学北师大版第一章立体几何初步 第一章章末测试

第一章章末测试班级____姓名____考号____分数____本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若a⊂α，b⊂β，α∩β＝c，a∩b＝M，则()A．M∈cB．M∉cC．M⊂cD．M⊄c答案：A解析：注意点、线、面关系的符号表示，结合平面的公理3可知，M∈c.2．从长方体的一个顶点引出的三条棱的长度分别是2,3,3，则长方体的外接球的表面积为()A．20πB．22πC．24πD．26π答案：B解析：设球的半径为r，则4r2＝22＋32＋32＝22，球的表面积为4πr2＝22π.3．一个几何体的三视图中的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均是大小形状完全相同的图形，那么这个几何体可能是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．球答案：D解析：因为球的三视图都是半径相等的圆，则其他的三个均不可能满足条件．4．圆锥的高伸长为原来的2倍，底面半径缩小为原来的eq\f(1,2)，则它的体积是原来体积的()\f(1,2)\f(2,3)\f(3,4)\f(6,5)答案：A解析：设原圆锥高为h，底面面积为S，则V＝eq\f(1,3)hS，新圆锥的高为2h，底面面积为eq\f(S,4)，∴V′＝eq\f(1,3)×2h×eq\f(S,4)＝eq\f(1,2)V.5．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E是DD1的中点，F是BB1的中点，设过点C1，E，F三点的平面为α，则正方体被平面α所截的截面的形状为()A．菱形B．矩形C．梯形D．五边形答案：A解析：设正方体棱长为a，连接AE，C1F易发现AE∥C1F，所以平面α经过点A，所以截面是四边形AEC1F，根据勾股定理易求得AE＝EC1＝C1F＝AF＝eq\f(\r(5),2)a，所以截面为菱形．6．平面α与平面β平行的条件可以是()A．α内有无数条直线都与平面β平行B．α内的任何直线都与平面β平行C．直线a⊂α，直线b⊂β且a∥β，b∥αD．直线a∥α，a∥β答案：B7．底面是正三角形，侧棱垂直底面水平放置的三棱柱的所有棱长均为2，当其正(主)视图有最大面积时，其侧(左)视图的面积为()A．2\r(3)C．2eq\r(3)D．6eq\r(3)答案：C解析：S＝eq\r(3)×2＝2eq\r(3).8．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b答案：C解析：与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B错误；如图所示，直线a，b在平面α内的射影分别为m、n，显然m⊥n，但a、b不垂直，所以D错误，故选C.9．三条直线a、b、c两两平行且不共面，这三条直线可以确定m个平面，这m个平面把空间分成n个部分，则()A．m＝2，n＝2B．m＝2，n＝6C．m＝3，n＝7D．m＝3，n＝8答案：C解析：本题主要考查空间想象能力，三条不共面的平行线可以确定三个平面，而这三个平面把空间分成7部分．10．平行六面体的相交于一顶点的三条棱长分别是a、b、c，三条棱中每两条的夹角都是60°，则它的体积是()A．abc\f(abc,3)\r(2)abc\f(\r(2),2)abc答案：D解析：如图所示，设AA1＝c，AB＝a，AD＝b，A1在底面射影O.在∠DAB的平分线上，作OE⊥AB于E，连结A1E，则A1E⊥AB，在Rt△A1AE中，∠A1AE＝60°，AE＝eq\f(c,2)，在Rt△AEO中，∠OAE＝30°，AO＝eq\f(\r(3),3)c，高A1O＝eq\r(\f(2,3))c.∴V＝S四边形ABCD·A1O＝eq\f(\r(2),2)abc.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．11．正方体的内切球与外接球的体积之比等于________．答案：1：3eq\r(3)解析：设正方体的棱长为a，则内切球半径为r＝eq\f(a,2)，外接球半径R＝eq\f(\r(3),2)a.12．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.答案：18解析：根据几何体的三视图，可知该几何体是由两个相同的长方体(3×3×1)组合而成的几何体，故其体积为18.13．如图所示，下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______．(写出所有符合要求的图形的序号)答案：①③解析：如图①所示，因为MN∥AD，NP∥AC，所以平面MNP∥平面AB.故AB∥平面MNP.如下图②所示，AB与平面MNP不平行(反证法)，连结CD、再连结BE，分别交CD、MP于R、Q，连结NQ，若AB∥平面MNP，则AB∥NQ.又由N为AE的中点，R为BE的中点，得AB∥NR.在平面ABE中过点N有两条相交的直线平行于AB，与平行公理矛盾，所以AB与平面MNP不平行．如图③所示，连结CD，因为AD平行且等于BC，所以四边形ABCD为平行四边形．所以AB∥CD.又因为MP∥CD，所以AB∥MP.所以AB∥平面MNP.对于④，AB与平面MNP不平行(反证法)，如上图④所示，连接DM，ME.若AB∥平面MNP，因为MN∥DP，所以DM⊂平面MNP，又DM⊂平面ABMD，所以AB∥DM.又由AD平行且等于BC，得四边形ABCD是平行四边形，故AB∥CD.在平面ABCD中过点D有两条相交直线平行于AB，与平行公理矛盾．于是AB与平面MNP不平行．三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点，求证：EF⊥面PAB.证明：如图，连结EP.∵PD⊥面ABCD，DE在面ABCD内，∴PD⊥DE，又CE＝ED，PD＝AD＝BC.∴Rt△BCE≌Rt△PDE.∴PE＝BE.∵F为PB的中点，∴EF⊥PB，∵PD⊥ABCDAB⊂ABCD∴PD⊥AB又∵AB⊥AD∴AB⊥平面PAD∴PA⊥AB∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA，∴EF⊥FA.又PB，FA为平面PAB内相交直线∴EF⊥面PAB.15.如图所示，在正三角形ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D、H、G为垂足，若将正△ABC绕AD旋转一周所得圆锥体积为V，求由阴影部分所产生旋转体的体积与V的比值．解：如图所示，设圆锥的高为h，底面半径为r，则圆柱的高为eq\f(h,2)，底半径为eq\f(r,2)，则eq\f(V－V柱,V)＝1－eq\f(V柱,V)＝1－eq\f(π\f(r,2)2·\f(h,2),\f(1,3)πr2h)＝1－eq\f(3,8)＝eq\f(5,8).16．如图所示，在侧棱垂直于底面ABC的三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F是B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)因为CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.17．如图所示，AB是圆柱的母线，O′是上底面的圆心，△BCD是下底面圆的内接三角形，且BD是下底面圆的直径，E是CD的中点．求证：(1)O′E∥平面ABC；(2)平面O′CD⊥平面ABC.解：(1)取BC中点为F，连结EF，O′A，则EF是△BCD的中位线，∴EF綊eq\f(1,2)BD.设下底面圆心为O，连结OO′，∵AB是母线，∴AB綊OO′，∴AO′綊EF，∴AF∥O′E且AF⊂平面ABC，O′E⊄平面ABC，∴O′E∥平面ABC.(2)在圆柱中，AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD∵BC⊥CD，AB∩BC＝B∴CD⊥平面ABC∵CD⊂平面O′CD∴平面O′CD⊥平面ABC.18．如图所示，在侧面均垂直于底面ABC的三棱柱ABC－A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝eq\r(2)，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．解：(1)(法一)连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.(法二)取A′B′中点P，连接MP，NP，则M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面