高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ）对数函数 优秀作品

第2课时教学目标1．知识与技能(1)通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数的运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值的技能．(2)运用对数的运算性质解决有关问题．(3)培养学生分析、解决问题的能力．培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法(1)让学生经历并推导出对数的运算性质．(2)让学生归纳整理本节所学的知识．3．情感态度与价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．重点难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用．难点：正确使用对数的运算性质．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))导入新课思路1．上节课我们学习了以下内容：1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化．ab＝N⇔logaN＝b.3．重要性质：(1)负数与零没有对数；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)对数恒等式＝N.下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题：对数与对数运算(2)〕．思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则：am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；eq\r(m,an)＝.(a＞0且a≠1)从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：对数与对数运算(2)．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题))(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算的性质，得出相应的对数运算的性质吗？(2)如我们知道am＝M，an＝N，am·an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？(3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？(4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.(5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？(6)上述结论能否推广呢？(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．(2)若am·an＝am＋n，M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由对数的定义得到M＝am⇔m＝logaM，N＝an⇔n＝logaN，MN＝am＋n⇔m＋n＝logaMN，logaMN＝logaM＋logaN.因此m＋n可以用对数式表示．(3)令M＝am，N＝an，则eq\f(M,N)＝am÷an＝am－n，所以m－n＝logaeq\f(M,N).又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN.所以logaM－logaN＝m－n＝logaeq\f(M,N)，即logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.设M＝am，则Mn＝(am)n＝amn.由对数的定义，所以logaM＝m，logaMn＝mn.所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM.这样我们得到对数的三个运算性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有loga(MN)＝logaM＋logaN；①logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；②logaMn＝nlogaM(n∈R)．③(4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；性质③：幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.(6)性质①可以推广到n个数的情形：即loga(M1M2M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1，M2，M3，…，Mn均大于0)．(7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，方便了对数式的化简和求值．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))例1用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)logaeq\f(xy,z)；(2)logaeq\f(x2\r(y),\r(3,z)).活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正．利用对数的运算性质，把整体分解成部分．对(1)logaeq\f(xy,z)，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和．对(2)logaeq\f(x2\r(y),\r(3,z))，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质③，转化为幂指数与底数的对数的积．解：(1)logaeq\f(xy,z)＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；(2)logaeq\f(x2\r(y),\r(3,z))＝loga(x2eq\r(y))－logaeq\r(3,z)＝logax2＋logaeq\r(y)－logaeq\r(3,z)＝2logax＋eq\f(1,2)logay－eq\f(1,3)logaz.点评：对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．变式训练1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正确的个数为()①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③logaeq\f(x,y)＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.A．0B．1C．2D．3答案：A2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，下列式子正确的个数为()①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－logaeq\f(1,x)；④eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)；⑤eq\r(n,logax)＝eq\f(1,n)logax；⑥eq\f(1,n)logax＝logaeq\r(n,x)；⑦logaxn＝nlogax；⑧logaeq\f(x－y,x＋y)＝－logaeq\f(x＋y,x－y).A．3B．4C．5D．6答案：B例2求值：(1)；(2)log3eq\f(1,27).解：(1)解法一：设，则(eq\r(3))x＝3eq\r(3)＝(eq\r(3))3，所以x＝3.解法二：.(2)解法一：令x＝log3eq\f(1,27)，则3x＝eq\f(1,27)，即3x＝3－3，所以x＝－3.解法二：log3eq\f(1,27)＝log33－3＝－3.例3计算：(1)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；(2)eq\f(lg243,lg9)；(3)eq\f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg.解：(1)解法一：lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二：lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18＝lg14－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))2＋lg7－lg18＝lgeq\f(14×7,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))2×18)＝lg1＝0.(2)eq\f(lg243,lg9)＝eq\f(lg35,lg32)＝eq\f(5lg3,2lg3)＝eq\f(5,2).(3)eq\f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg＝＝eq\f(\f(3,2)(lg3＋2lg2－1),lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数的运算性质．对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视．例4设x＝log23，求eq\f(23x－2－3x,2x－2－x)的值．活动：学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程．本题主要考查对数的定义及其运算性质．先利用对数的定义求2x，再求23x，从而可求，或先化简再代入求值．解法一：由x＝log23，得2x＝3，2－x＝eq\f(1,3)，所以eq\f(23x－2－3x,2x－2－x)＝eq\f(33－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3,3－\f(1,3))＝32＋3×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(91,9).解法二：由x＝log23，得2x＝3，2－x＝eq\f(1,3)，所以eq\f(23x－2－3x,2x－2－x)＝eq\f((2x－2－x)(22x＋1＋2－2x),2x－2－x)＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(91,9).eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))课本本节练习第1，2，3题．【补充练习】1．用logax，logay，logaz，loga(x＋y)，loga(x－y)表示下列各式：(1)logaeq\f(\r(3,x),y2z)；(2)logaeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(x·\r(4,\f(z3,y2))))；(3)；(4)logaeq\f(xy,x2－y2)；(5)logaeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(x＋y,x－y)·y))；(6)logaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(y,x(x－y))))3.解：(1)logaeq\f(\r(3,x),y2z)＝logaeq\r(3,x)－logay2z＝eq\f(1,3)logax－(2logay＋logaz)＝eq\f(1,3)logax－2logay－logaz；(2)logaeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(x·\r(4,\f(z3,y2))))＝logax＋logaeq\r(4,\f(z3,y2))＝logax＋eq\f(1,4)(logaz3－logay2)＝logax－eq\f(2,4)logay＋eq\f(3,4)logaz＝logax－eq\f(1,2)logay＋eq\f(3,4)logaz；(3)＝logax＋＋＝logax＋eq\f(1,2)logay－eq\f(2,3)logaz；(4)logaeq\f(xy,x2－y2)＝logaxy－loga(x2－y2)＝logax＋logay－loga(x＋y)(x－y)＝logax＋logay－loga(x＋y)－loga(x－y)；(5)logaeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(x＋y,x－y)·y))＝logaeq\f(x＋y,x－y)＋logay＝loga(x＋y)－loga(x－y)＋logay；(6)logaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(y,x(x－y))))3＝3[logay－logax－loga(x－y)]＝3logay－3logax－3loga(x－y)．2．已知f(x6)＝log2x，则f(8)等于()A．eq\f(4,3)B．8C．18D．eq\f(1,2)解析：因为f(x6)＝log2x，x＞0，令x6＝8，得，所以f(8)＝＝eq\f(1,2).另解：因为f(x6)＝log2x＝eq\f(1,6)log2x6，所以f(x)＝eq\f(1,6)log2x.所以f(8)＝eq\f(1,6)log28＝eq\f(1,6)log223＝eq\f(1,2).答案：Deq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))已知x，y，z＞0，且lgx＋lgy＋lgz＝0，求的值．活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.解：令，则lgt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lgy)＋\f(1,lgz)))lgx＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lgz)＋\f(1,lgx)))lgy＋eq\b\lc\(\r