2020-2021学年江苏省扬州市高一上学期期末数学试题(解析版)

第第20页共20页2020-2021学年江苏省扬州市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合U{0,1,2,3}A{0,1,3}B

B（ ）UA．0,3U

．1,3 ．

D．0【答案】AA【分析】根据补集的概念，求出B，进而与集合取交集即可.AU【详解】∵集合U{0,1,2,3}，B{1,2}，U∴B0,3，U又A{0,1,3}，

( B){0,3}.U故选：A2．命题“x0

R，x0

0”的否定是（ ）A．R，x0 B．R，x0C．x0

R，x00

D．x0

R，x00【答案】B【分析】根据特称命题的否定为全称命题直接判断即可.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得，“x0x0”，

R，x0

0R，故选：B.3．已知sin()

3，

,，则cos（ ）5 2 35【答案】D

3

45

45根据诱导公式得sin

35，结合平方和公式及条件即可得出答案.【详解】解：由sin()

3及诱导公式得sin3，5 5

,

cos

4又 ，所以1sin211sin2132 52故选：D.【点睛】同角三角函数基本关系：tansin

(

k实现角的弦切互化；cos 2sin2+cos21.1若方程x32 0的解在区

[k,k1](kZ

内，则k的值是（ ）A．1

B．0 C．1 D．2【答案】B

1x

1x

ff0【分析方程x32 0的解即函数f xx32的零点，由 结合零点存在定理即可得结果.1【详解方程x32 0的解即函数

x

1x x3 2 fxf00f111ff0，2 2所以函数fx在区间0,1内有零点，所以k0，故选：B.f(x)

xsinxA．xcosA．

在,的图象大致为（ ）B．C．D．C．【答案】C先根据奇偶性排除A和B,再利用特殊值的正负可排除D,.xsinx2xcosx【详解】 f(2xcosx

的定义域为R,关于原点对称，又f(x)

xsin

fx，2xcosx所以函数f2xcosx其图像关于y轴对称，排除选项A和B, f

sin2 2

22 2 22又当x 时，2

，故排除选项D,2

22cos2故选：C【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.f(x)sin2x

fx的图象向左平移0个单位长度，6 6 得到函数gx的图象，若gx为偶函数，则的最小值是（ ）A． B．6 3【答案】A

C．D．3 6【分析】根据题意有gxsin2x25

，若gx为偶函数则6 6 2

k(kZ，结合0.6 2gxf(x)sin2xsin2x 66 66gx

(kZ，即

2k(kZ)6 2 3 2因为0，所以当k时取得最小值.6故选：A.【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；f(x)的方程组)f(x)的解析式；f(xf(x)0得到关组)，进而得出参数的值；画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.计算器是如何计算sinxcosxexlnx

x等函数值的？计算器使用的是数x值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如sinxx

x3

x5

x7，cosx1

x2

x4

3! 5! 7!x6n!123n.英国数学家泰勒B.Taylo，2! 4! 6!1685-1731)发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出sinx和cos的值也就越精确运用上述思想，可得到cos1的近似值为（ ）A．0.50【答案】C

B．0.52 C．0.54 D．0.56【分析】根据新定义，直接计算取近似值即可.【详解】由题意，cos11

14

16

111 1

10.50.0410.001 0.542! 4! 6! 2 24 720故选：C“8.2.12中，我们得到如下结论：当0x2x42xx22x42xx2，请比较alog3，4bsin3

，c

cos的大小关系（ ）3ab【答案】B

bac C．cab D．bca根据题意化简得b

，c32 3

能得出bc，alog242

3化为指数tlog3232根据当0x2x42xx2判定ab，将ac4的指数，通过放缩比较的ca.32【详解】解：因为bsin

，c2cos

21

，所以bc，对于alog4

321log322

3 23，令tlog2

23，则2t3故t(1,2)3当0x2x42xx2，所以2tt2，即3tt33所以at b，32 2ac4的指数得

34log433,4c3

24222,2因为22

222

ca2所以bac故选：B.2【点睛】方法点睛：指、对、幂大小比较的常用方法：1底数相同，指数不同时，如ax1

和ax

，利用指数函数yax的单调性；2指数相同，底数不同，如xaxayxa单调性比较大小；21底数相同，真数不同，如loga

2x和log

x利用指数函数log

x单调性比较大小；或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.二、多选题下列说法中，正确的有（ ）ab0abb2ab0baa b若对x(0,x1m恒成立，则实数m2xDa0b0，ab11

1的最小值为4a b【答案】ACD利用不等式的性质可判断选项AB的正误；求出yx1的最小值可得实x数m的范围，可判断选项C；利用基本不等式求最值可判断选项D.对于选项A：若ab0，则abb2，故选项A正确；对于选项B：若ab0，则b

1

a，故选项B不正确；a b对于选项C：若对x(0,)，x1m恒成立，则mx1 ， xx minxx1xx0yx1x1xx

2x1时yx

1的最小值为2，xba 所以m2m2，故选项C对于选项D：若a0b0aba 1111ab2b

2

4，a b a b a b ba 1 1 1 当且仅当a b 即abab1确，故选：ACD

时等号成立，所以 2 a

的最小值为4，故选项D正b【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正就是各项必须为正数；”大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；.如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关论正确的有（ ）15P首次到达最高点1020P距离地面的高度一直在升高1倍210P70m【答案】ADP

,10,A40,T30，求得点P离地2 2 h40sin

t50，然后再逐项判断.22【详解】建立如图所示平面直角坐标系： P2,10A40,T30， 得，15

2所以点P离地面的高度为：h40sin15t2

50，当t15时，h40sin5090，所以经过15分钟，点P首次到达最高点，故正确；令2

2k15

222

2k,kZ，解得30kt1530k,kZ，所以从第210分钟到第15分钟，点P距离地面的高度一直在升高，从第15分钟到第20分钟，高度在降低，故错误；若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的2倍，故错误； 1 令h40sin15t

25070，即sin15t

22，解得6

t 15 2

，所以6 10 t 2010P70m.故选：AD【点睛】关键点点睛：本题关键是建立坐标系，求出P离地面的高度函数h40sin15t

50.22

lnf(x)x24

xx

，若函数

gxfxm

有四个零点，则实数m可取（ A．1

D．5【答案】BCyfxymyfxym.gxfxmyfxym有四个不同的交点，作出fx图象如下图所示：yfxym有四个不同的交点，则m0,4，故选：BC．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．对于任意两正数uv(uv，记区间vf(x)

1下的曲边梯形(图中x阴影部分LvLu,u0Lv,uLuv，且L1,xlnx，则下列命题中正确的有（）A．L B．L1,uvL1,uLu,uvC．f

uv f(u)f(v)22 22

D．对正数uh有h Lu,uhhuh u【答案】ABD【分析】由新定义可直接计算判断AB是否正确，取特殊值可判断C，利用阴影部分的面积与相应梯形矩形的面积大小，可推出不等式.Lu,u0Lv,uLuvxlnx可知，Lln6ln2ln3LL，故A正确；L(1,v)lnvlnuvlnuL(1,uv)L(1,u)L(1,uv)L(u,1)L(u,uv)故B正确；取u1,v2

122

f(1)f(2)

1(11)

3，故C错误； 2

3 2 2 2 4 f(uh)

1 1下底长为f(u) 高为h的直uh u角梯形的面积，所以Luh1(1 1 )h1(11)hh，12u uh 2u u u1又阴影部分面积大于长为h，宽为f(uh) 的矩形的面积，uh所以Luhh 1

h u有h

Lu,uhh，故D.

uh uh

uh u【点睛】关键点点睛：判断D选项时，根据图象，由面积之间的大小关系，推出不等式，体现了数形结合思想在解题中的应用，属于中档题.三、填空题

yfx

的图象过点

2

f9 ．，则【答案】3，则yfxf的值.【详解设yfxxa，由于图象过点2, 2,212得 2a,a ，22yfxx1，22f9912

3，故答案为3.【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.已知扇形的半径为，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 .【答案】36cm2【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】因为扇形的半径为6cm，圆心角为2rad，1所以扇形的面积为236cm2

26236，f(x)x|x|fxf(3x2)0x的取值范围是 用区间表示)12 先判定函数fx.【详解】由题意fxxx，其定义域为R，关于原点对称，fxxxxxfxfx是奇函数，又fxxxx2 x

，所以函数

fx在

R上单调递增，则x2 x0fxf20fxf2f2，又函数单调递增，所1以x3x2，解得x .2故答案为：12 四、双空题定义域为R的函数F(x)2x可以表示为一个奇函数fx和一个偶函数gx的和，则fx ；若关于x的不等式f(x)abF(x)的解的最小值为其中a,bR，则a的取值范围是 .1【答案】 2x2

2x

a1先根据fxgx为偶函数，求出Fx，再与Fx联立即可fxfxFxfxabF(x，即可得到1a2xb 21

1 2x ，将其转化 1

2x1

x1，令2 22

max2 hxb12x2x1x1，求出hx2

即可求出a的取值范围.F(xfxgx2xfxgx为偶函数，fxfx,gxgx，F(x)fxgxfxgx2xFxFxfxgxfxgx2fx2x2x，即fx122

2x ，f(x)abF(x)，1即 2x2

2

ab2x，即a2xb12x2

2x ， 1ab22

2x1， xfxabF(x1， 12 等价于a b 22

2x1

,x1，

maxhxb12x2x1x1， 2 21当b12

时，hx2x1,xhx2x1在1,单调递减，hxmax

h1，a，1 1当b

时，b 0，2 2hxb12x2x1在单调递减，hx

2 2hb12120

b3，max

2 2 4当b趋近于hxmax

趋近于， 1故a b 2

2x1

x1无解，2 2 1 1

max当b

时，b 0，2 2x102

1，2 1b22

0，2x11， hxb12

2x1

1，2 2 a，a.1 故答案为：2

2x2x

；a.关键点点睛：本题解题的关键是将关于xfxabF(x的解的 1最小值为1，转化为a b 2

2x1

,x1.2 2

max五、解答题1（）2lg4lg5；( ( 2)221（2）8221

(4)0 .2【答案（）1（2） .24【分析】（1）根据对数的运算法则计算；（2）根据指数幂的运算法则计算.（1）原式lg16lg5lg101；82222（2）原式 1 .22224 418．已知关于x的不等式ax2x20的解集为A.当a0“xA”是“x{m1xm1,mR}的必要条件，求m的取值范围；ARa的取值范围.（）1,（）1,.8 （1）当a0A2,)，再由已知得出关于m不等式，解之可得答案（2）分a0a0a的取值范围，再求并集可得答案．（1）当a0x20xA2,)，“xA是“xm1xm,m的必要条件，所以[m1,m1]2,，所以m12，得m1，m的取值范围为1,.（2）1．当a0x20.2．当a0时，因为ax2x20R，a0 1所以18a0，解得a8.a的取值范围是1.8 ，M,2､N5288f，M,2､N5288分别为其图象上相邻的最高点､最低点.fx的解析式；fx0,.

,22 （1）f(x)

2x（）单调递增区间为0,，单调递减区间为 84,，fx值域为 2,2.48 2 （1）A和周期T，由T

可求得的值，再将点M

2代入即可求得fx的解析式；8 （2）解不等式2k2

2x4

2k2

kZfx的单调的增区间， 再与0,求交集即可得 2

x在0,上的单调区间，利用单调性求出最值即得值 2 域.（1）因为fx图象上相邻两个最高点和最低点分别为

,2，

,28 8 A2T

，则T

2 8 8 22又T||0，所以2f(x)2sin(2x，又图象过点

2，所以22sin2

，即sin

1，8

8

4 所以2k4 2

kZ，即2k4

，kZ. 又|

，所以2

，所以f(x)2sin2x .44 4（2）由2k

2x

2k

kZ，得k

xk

，kZ，2 4 2 8 8fx的单调递增区间为k

,k，kZ，8 8 又x0,2，所以

x的单调递增区间为0,， 8 fx的单调递减区间为8

,.2又f(0)2sin

，f2

f ，4 8 222 22所以当x0,时，fx值域为 2,2.2 ，利fx.xRfx1)fx)2x2；②不等式fx0的解集为1x；③函数yfx的图象过点3,2请你在上述三个请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置)已知二次函数f(x)ax2bxc，且满足 填所选条件的序号).fx的解析式；设g(x)f(xmx，若函数gx在区间3，求实数m的值.（）f(x)x23x2（2）3.【分析（1）条①，求出f代入根据恒成立可得a1 ；条由一元二次b3a0不等式解的性质可得b3a；条件③代入可得9a3bc2；分别根据选择①②，c2a①③，②③，均可通过联立方程组可得结果；m3（2）求出函数的对称轴x ，将对称轴和区间的端点进行比较，根据函数的单2调性列出关于m.【详解】（1）条件①：因为f(x)ax2bxc(a0)，f(x1)fx)ax1)2bx1)cax2bxc2axab2x2，即2(a1)xab20x恒成立，所以2(a1)0 a所以ab2

，解得 .：因为不等式f(x)0的解集为1x，a0 b

a0所以 3，即b3a. a c2ac2 a条件③yfx的图象过点，所以9ac2.①②a1bc2f(x)x23x2；a1选择条①③：b3 ，9a3bc2a1bc2f(x)x23x2；a0b3a选择条②③： ，c 2a9abc2a1bc2f(x)x23x2.（2）由gx)x2m3)x2x①m31，即m1时，2g(x) g(1)3m3)m3，解得m3；min②m32，即m12

m32 ，g(x)

min

g(2)62m6)2m3，解得m2

(舍)；③当1

m32，即1m1时，2g(x)

gm3(m3)2

23 . ，无解min

2 4综上所述，所求实数m的值为3.“”对称轴位.110元，成本为8元，今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量P(万只)与投入广告费x(万元)之间ax1P

x1

(x0)，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只.现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的

1(m0)”之和.m当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是多少？若m3，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？（）最大值为22）2万元.4x【分析代入x 4，P 3.4，得Px1

（投入广告费为1万元时，得销售价，利用年利润等于售价减去成本和广告费列不等式求解（列出年利润与广告费之间的“.x4P3.44a117，解得a4P

4x1.41 5 x1当投入广告费为1P

5，销售价为10

11，2 P m年利润W10

11P8P125

114

14.5，得0m2， P m

2 m m所以m的最大值为2.x万元广告费时，该产品可获最大年利润年利润W10x1P8Px2P2x24x12x26 6

P 32(x1)

26

3 x1 3x16 x16 2(x1)33 x1 3 3 36当且仅当

2(x ，即x2(x x1 3【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般步骤：阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．根据题意写出函数关系式，将实际问题抽象成函数问题的模型．根据题意将最值问题转化为函数最值问题或者利用基本不等式求解最.22．若函数fx的图象关于点a,b中心对称，则对函数fx定义域中的任意x，恒有f(x) 2b f(2a x)如：函数fx的图象关于点3,5中心对称，则对函数fx定义域中的任意x恒有fx10fx.已知定义域为0,2m的函数fx，其图象关于点1,e中心对称，且当x0,m1时，f(x)e|xm|，其中m1e.f1fx在0,2m上的解析式； 1 g(x)ex31x

0,2m

(1e)3,(e13， 1 2使得fx1

gx2

成立，求实数m的取值范围.（1）

(m1)e

exmf(x)2eem2

0xm1m1x2m

（）

.（1）f(x)2ef(2m2xxm1f(m1)；当x(m1,2m