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文档简介
2023学年安徽省六安市舒城中学高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)1.已知集合A={x|x2﹣16<0},B={﹣5,0,1},则()A.A∩B=∅ B.B⊆A C.A∩B={0,1} D.A⊆B2.若=a+bi(a,b∈R),i是虚数单位,则乘积ab的值是()A.﹣15 B.3 C.﹣3 D.53.在区间[0,π]上随机取一个实数x,使得sinx∈[0,]的概率为()A. B. C. D.4.将函数图象向左平移个长度单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是()A. B. C.y=cosx D.5.已知△ABC中,a=3,b=4,c=5,则=()A.5 B.7 C.9 D.106.已知某几何体的三视图如,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是()A. B. C.2cm3 D.4cm37.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于()A.45° B.60° C.90° D.120°8.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率e为()A. B. C. D.9.函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是()A. B. C. D.10.已知抛物线y2=4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1,到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是()A. B. C.2 D.11.执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A. B. C. D.12.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且y=f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<ex的解集为()A.(﹣∞,e4) B.(e4,+∞) C.(﹣∞,0) D.(0,+∞)二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知=(,k),=(k,8),且与为互相平行的向量,则k的值为.14.已知sin(x﹣)=﹣,则sin2x=.15.若实数x,y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1,则实数m=.16.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0)在圆C:x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若△ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围为.三.解答题(本大题共6小题,共70分)17.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx﹣.(1)若x∈[0,],求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值;(2)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若f()=1,b=l,c=4,求a的值.18.已知数列{an}满足的前n项和为Sn,且Sn=+n﹣1,(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}的通项公式满足bn=n(1﹣an),求数列{bn}的前n项和Tn.19.如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是AC中点.(1)求证:平面BEC1⊥平面ACC1A1;(2)若,AB=2,求点A到平面BEC1的距离.20.某班50名学生在一次数学测试中,成绩全部介于50与100之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),…,第五组[90,100].如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(Ⅰ)若成绩大于或等于60且小于80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数;(Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为m、n,求事件“|m﹣n|>10”概率.21.已知椭圆=1(a>b>0)上任意一点到两焦点F1,F2距离之和为4,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.点P(2,1)为椭圆上一点,求△PAB的面积的最大值.22.已知函数f(x)=ax2+2x﹣lnx,其中a<0.(Ⅰ)若函数f(x)在定义域内单调递减,求a的取值范围;(Ⅱ)若a=﹣且关于x的方程f(x)=x﹣b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
2023学年安徽省六安市舒城中学高二(下)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)1.已知集合A={x|x2﹣16<0},B={﹣5,0,1},则()A.A∩B=∅ B.B⊆A C.A∩B={0,1} D.A⊆B【考点】交集及其运算.【分析】根据集合的基本运算进行求解即可.【解答】解:A={x|x2﹣16<0}={x|﹣4<x<4},B={﹣5,0,1},则A∩B={0,1},故选:C2.若=a+bi(a,b∈R),i是虚数单位,则乘积ab的值是()A.﹣15 B.3 C.﹣3 D.5【考点】复数相等的充要条件.【分析】利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,把等式的左边化简到最简形式,再根据两个复数相等的充要条件,求出a、b的值.【解答】解:∵=a+bi(a,b∈R),i是虚数单位,∴=a+bi,∴=a+bi,∴﹣1+3i=a+bi,∴a=﹣1,b=3,∴ab=﹣3,故选C.3.在区间[0,π]上随机取一个实数x,使得sinx∈[0,]的概率为()A. B. C. D.【考点】几何概型.【分析】由题意,本题属于几何概型的运用,已知区间的长度为π,满足sinx∈[0,]的,求出区间长度,由几何概型公式解答.【解答】解:在区间[0,π]上,当时,,由几何概型知,符合条件的概率为.故选C.4.将函数图象向左平移个长度单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是()A. B. C.y=cosx D.【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】根据“左加右减,上加下减”图象变换规律求出函数解析式即可.【解答】解:将函数图象向左平移个长度单位,得到的函数解析式为:y=cos[(x+)﹣]=cos;再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是:y=cosx.故选:C.5.已知△ABC中,a=3,b=4,c=5,则=()A.5 B.7 C.9 D.10【考点】正弦定理.【分析】由已知利用余弦定理可求cosC,结合C的范围,利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值,由正弦定理化简所求即可得解.【解答】解:∵a=3,b=4,c=5,∴由余弦定理可得:cosC===0,∴C∈(0,π),可得sinC=1,∵由正弦定理==5,∴==2R=5.故选:A.6.已知某几何体的三视图如,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是()A. B. C.2cm3 D.4cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】由题目给出的几何体的三视图,还原得到原几何体,然后直接利用三棱锥的体积公式求解.【解答】解:由三视图可知,该几何体为底面是正方形,且边长为2cm,高为2cm的四棱锥,如图,故,故选B.7.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于()A.45° B.60° C.90° D.120°【考点】异面直线及其所成的角.【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形A1BC1中求出此角即可.【解答】解:如图,连A1B、BC1、A1C1,则A1B=BC1=A1C1,且EF∥A1B、GH∥BC1,所以异面直线EF与GH所成的角等于60°,故选B.8.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率e为()A. B. C. D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出a与b之间的等量关系,进而求出离心率.【解答】解:依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形PF2F1是一个等腰三角形,F2在直线PF1的投影是其中点,由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a,整理得c=2b﹣a,代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0,求得=;∴e====.故选:D.9.函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是()A. B. C. D.【考点】函数的图象.【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点(1,1),再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性,得到答案.【解答】解:由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知:函数过点(1,1),当0<x<1时,y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1,y′=﹣+1<0.∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数;若当x>1时,y=elnx﹣x+1=1,故选:D.10.已知抛物线y2=4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1,到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是()A. B. C.2 D.【考点】抛物线的简单性质.【分析】设点P坐标为(x,y),由抛物线性质可知d1=1+x.又根据点到直线的距离公式可得d2=,进而可得到d1+d2表达式,再根据x的范围确定d1+d2的范围,求得最小值.【解答】解:y2=4xp=2准线为x=﹣1;设点P坐标为(x,y),到抛物线准线的距离是d1=1+x.d2=∴d1+d2=令=t,上式得:=但t=,即x=时,d1+d2有最小值故选A11.执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A. B. C. D.【考点】程序框图.【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解:判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S===故选:B12.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且y=f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<ex的解集为()A.(﹣∞,e4) B.(e4,+∞) C.(﹣∞,0) D.(0,+∞)【考点】利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.【分析】首先构造函数,研究g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解【解答】解:∵y=f(x+1)为偶函数,∴y=f(x+1)的图象关于x=0对称,∴y=f(x)的图象关于x=1对称,∴f(2)=f(0),又∵f(2)=1,∴f(0)=1;设(x∈R),则,又∵f′(x)<f(x),∴f′(x)﹣f(x)<0,∴g′(x)<0,∴y=g(x)单调递减,∵f(x)<ex,∴,即g(x)<1,又∵,∴g(x)<g(0),∴x>0,故答案为:(0,+∞).二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知=(,k),=(k,8),且与为互相平行的向量,则k的值为±6.【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】利用向量平行的坐标表示可得关于k的方程,解出即可.【解答】解:由与互相平行,得,解得k=±6,故答案为:±6.14.已知sin(x﹣)=﹣,则sin2x=..【考点】二倍角的正弦.【分析】由已知可得sinx﹣cosx=﹣,两边平方由二倍角的正弦公式可解得1﹣sin2x=,从而得解.【解答】解:∵sin(x﹣)=﹣,∴(sinx﹣cosx)=﹣,解得:sinx﹣cosx=﹣,∴两边平方可得:1﹣sin2x=,∴解得:sin2x=.故答案为:.15.若实数x,y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1,则实数m=5.【考点】简单线性规划.【分析】画出不等式组表示的平面区域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐标,然后根据分析列出一个含参数m的方程组,消参后即可得到m的取值【解答】解:画出x,y满足的可行域如下图:可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值,由可得,代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为:516.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0)在圆C:x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若△ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围为(3﹣2,3﹣2]∪[3+2,3+2).【考点】直线与圆相交的性质.【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径,利用三角形面积的最大值,确定直线的位置,利用直线和方程的位置关系即可得到结论.【解答】解:圆的标准方程为(x﹣m)2+(y﹣2)2=32,则圆心C(m,2),半径r=4,S△ABC=r2sin∠ACB=16sin∠ACB,∴当∠ACB=90时S取最大值16,此时△ABC为等腰直角三角形,AB==8,则C到AB距离=,∴4≤PC<4,即4≤<4,∴16≤(m﹣3)2+4<32,即12≤(m﹣3)2<28,∴,解得3﹣2<m≤3﹣2或3+2≤m<3+2,∵点P(3,0)在圆C:x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28=0内,∴|PC|=,即(m﹣3)2<28,即﹣2<m﹣3<2,即3﹣2<m<3+2,故答案为:(3﹣2,3﹣2]∪[3+2,3+2)三.解答题(本大题共6小题,共70分)17.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx﹣.(1)若x∈[0,],求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值;(2)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若f()=1,b=l,c=4,求a的值.【考点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的定义域和值域;余弦定理.【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得f(x)=,结合,可求sin(2x+)的范围,进而可求函数的最大值及取得最大值的x(Ⅱ)由,及0<A<π,可求A,结合b=1,c=4,利用余弦定理可求a【解答】解:(Ⅰ)==.…∵,∴,∴,即.∴f(x)max=1,此时,∴.…(Ⅱ)∵,在△ABC中,∵0<A<π,,∴,.…又b=1,c=4,由余弦定理得a2=16+1﹣2×4×1×cos60°=13故.…18.已知数列{an}满足的前n项和为Sn,且Sn=+n﹣1,(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}的通项公式满足bn=n(1﹣an),求数列{bn}的前n项和Tn.【考点】数列的求和.【分析】(1)利用数列的前n项和,通过Sn﹣Sn﹣1=an求出数列的通项公式.(2)化简数列{bn}的通项公式bn=n(1﹣an),利用错位相减法求解数列的和即可.【解答】解:(1)由,当n=1时得,当n≥2时得,又满足上式,所以:数列{an}的通项公式为.(2)由.所以,得相减得:∴.19.如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是AC中点.(1)求证:平面BEC1⊥平面ACC1A1;(2)若,AB=2,求点A到平面BEC1的距离.【考点】平面与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算.【分析】(1)由ABC﹣A1B1C1是正三棱柱,知AA1⊥平面ABC,BE⊥AA1.由△ABC是正三角形,E是AC中点,知BE⊥平面ACC1A1.由此能够证明平面BEC1⊥平面ACC1A1.(2)由题意知,点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离,过点C作CH⊥C1E于点H,则可证CH⊥平面BEC1,故CH为点C到平面BEC1的距离,由等面积可得结论;【解答】证明:(1)∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,∴BE⊥AA1.∵△ABC是正三角形,E是AC中点,∴BE⊥AC,∴BE⊥平面ACC1A1.∴BE⊂平面BEC1∴平面BEC1⊥平面ACC1A1解:(2)由题意知,点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱∴BE⊥平面ACC1A1,∵BE⊂平面BEC1,∴平面BEC1⊥平面ACC1A1,过点C作CH⊥C1E于点H,则CH⊥平面BEC1,∴CH为点C到平面BEC1的距离在直角△CEC1中,CE=1,CC1=,C1E=,∴由等面积法可得CH=∴点A到平面BEC1的距离为20.某班50名学生在一次数学测试中,成绩全部介于50与100之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),…,第五组[90,100].如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(Ⅰ)若成绩大于或等于60且小于80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数;(Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为m、n,求事件“|m﹣n|>10”概率.【考点】频率分布直方图.【分析】(1)先算出频率分布直方图成绩大于或等于60且小于80的频率,再利用频数等于频率×样本总数即可解得全班学生中成绩合格的人数.(2)欲求事件“|m﹣n|>10”概率,根据古典概型,算出基本事件的总个数n和算出事件事件“|m﹣n|>10”中包含的基本事件的个数m;最后算出事件A的概率,即P(A)=.【解答】解:(I)由直方图知,成绩在[60,80)内的人数为:50×10×(+)=29.所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人.(II)由直方图知,成绩在[50,60)内的人数为:50×10×=2,设成绩为x、y成绩在[90,100]的人数为50×10×=3,设成绩为a、b、c,若m,n∈[50,60)时,只有xy一种情况,若m,n∈[90,100]时,有ab,bc,ac三种情况,若m,n分别在[50,60)和[90,100]内时,有abcxxaxbxcyyaybyc共有6种情况,所以基本事件总数为10种,事件“|m﹣n|>10”所包含的基本事件个数有6种∴.21.已知椭圆=1(a>b>0)上任意一点到两焦点F1,F2距离之和为4,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.点P(2,1)为椭圆上一点,求△PAB的面积的最大值.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.【分析】(1)由椭圆定义,椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数2a=,得,离心率,于是,从而可得椭圆的标准方程;(2)设直线l的方程为,把其与椭圆的方程联立,求出弦长,即为△PAB的底,由点线距离公式
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