高中数学北师大版5第二章几个重要的不等式 学业分层测评9不等式的应用

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0<t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为eq\f(f10,10))的月饼最少为()A．18 B．27C．20 D．16【解析】平均销售量y＝eq\f(ft,t)＝eq\f(t2＋10t＋16,t)＝t＋eq\f(16,t)＋10≥18.当且仅当t＝eq\f(16,t)，即t＝4∈1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为18.【答案】A2．爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v1，下山(原路返回)的速度为v2(v1≠v2)，乙上下山的速度都是eq\f(1,2)(v1＋v2)(两人途中不停歇)，则甲、乙两人上下山所用时间t1，t2的关系为()A．t1＞t2 B．t1＜t2C．t1＝t2 D．不能确定【解析】设s为上山路程，则下山路程亦为s.t1＝eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)＞2eq\r(\f(s2,v1v2))＝eq\f(2s,\r(v1v2))，t2＝eq\f(2s,\f(1,2)v1＋v2)＝eq\f(4s,v1＋v2)＜eq\f(4s,2\r(v1v2))＝eq\f(2s,\r(v1v2))，∴t1＞t2.【答案】A3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是()A．V≥π B．V≤πC．V≥eq\f(1,8)π D．V≤eq\f(1,8)π【解析】设圆柱的底面半径为r，则高h＝eq\f(6－4r,2)＝3－2r.∴V＝πr2(3－2r)＝πr·r(3－2r)≤πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,3)))eq\s\up12(3)＝π.【答案】B4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，那么这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5km处 B．4km处C．3km处 D．2km处【解析】设仓库到车站的距离为xkm，y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x.依题意，得2＝eq\f(k1,10)，8＝10k2，∴k1＝20，k2＝eq\f(4,5).令y＝y1＋y2＝eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x.∵eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，当且仅当eq\f(20,x)＝eq\f(4,5)x，即x＝5时，等号成立，∴当x＝5时，费用最少．【答案】A5．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满程度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为eq\f(8,n)，则此人应选()A．1楼 B．2楼C．3楼 D．4楼【解析】此人不满意程度越小，楼层越好，设y＝n＋eq\f(8,n)，可求出此函数的单调减区间为(0,2eq\r(2))，增区间为2eq\r(2)，＋∞)，当n＝2时，y＝6，当n＝3时，y＝5eq\f(2,3)，因此3层楼不满意度最小．【答案】C二、填空题6．若关于x的不等式x2－ax－6a＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位，则正实数a的取值范围是________．【解析】设不等式x2－ax－6a＜0的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＝a，x1x2＝－6a.∴|x2－x1|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(a2＋24a)，依题意，0＜eq\r(a2＋24a)≤5,0＜a≤1.【答案】(0,1]7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.【导学号：94910027】【解析】一年购买eq\f(400,x)次，总运费是4·eq\f(400,x)＝eq\f(1600,x)万元，总存储费4x万元．∴一年的总费用t＝4x＋eq\f(1600,x)取最小值时，有4x＝eq\f(1600,x)，∴x＝20.【答案】208．在如图1­5­3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．图1­5­3【解析】设矩形花园的宽为ym，则eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20m时，面积最大．【答案】20三、解答题9．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入eq\f(1,6)(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入eq\f(1,5)x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，并求出此时商品的每件定价．【解】(1)设每件定价为x元，依题意，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(x－25,1)×)x≥25×8，整理得x2－65x＋1000≤0，解得25≤x≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最高为40元．(2)依题意，x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋eq\f(1,6)(x2－600)＋eq\f(1,5)x有解，等价于x>25时，a≥eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x＋eq\f(1,5)有解，∵eq\f(150,x)＋eq\f(1,6)x≥2eq\r(\f(150,x)·\f(1,6)x)＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥.∴当该商品明年的销售量a至少应达到万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．10．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【解】(1)由题设，隔热层厚度为xcm时，每年能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造费用为C1(x)＝6x.∴隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f(x)＝eq\f(800,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋2(3x＋5)－10≥2eq\r(1600)－10＝70，当且仅当eq\f(800,3x＋5)＝2(3x＋5)，即x＝5时取最小值．∴当隔热层修建5cm厚时，总费用最小为70万元．能力提升]1．某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0＜q＜p＜1)()A．先提价p%，再提价q%B．先提价q%，再提价p%C．分两次都提价eq\r(\f(q2＋p2,2))%D．分两次都提价eq\f(p＋q,2)%【解析】eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≥ab，由题可知，A，B两次提价均为(1＋p%)(1＋q%)相等，C提价eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(p2＋q2),2)%))eq\s\up12(2)，D提价eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p＋q,2)%))eq\s\up12(2)，eq\f(p＋q,2)＜eq\r(\f(p2＋q2,2))⇒(1＋p%)(1＋q%)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p＋q,2)%))eq\s\up12(2)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(\f(p2＋q2,2))%))eq\s\up12(2)，则提价最多为C.【答案】C2．已知M是△ABC内的一点，且eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝2eq\r(3)，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为eq\f(1,2)，x，y，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值是()A．20 B．18C．16 D．19【解析】由eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝|eq\o(AB,\s\up12(→))|·|eq\o(AC,\s\up12(→))|cos30°＝2eq\r(3)得|eq\o(AB,\s\up12(→))|·|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝4，S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up12(→))|·|eq\o(AC,\s\up12(→))|sin30°＝1，由eq\f(1,2)＋x＋y＝1，得x＋y＝eq\f(1,2).所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))·(x＋y)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))≥2×(5＋2×2)＝18.【答案】B3．设a＞0，b＞0，称eq\f(2ab,a＋b)为a，b的调和平均数．如图1­5­4所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段________的长度是a，b的几何平均数，线段________的长度是a，b的调和平均数．图1­5­4【解析】在Rt△ABD中，CD是斜边AB上的高，所以CD2＝AC·CB，所以CD＝eq\r(AC·CB)＝eq\r(ab)，所以线段CD的长度是a，b的几何平均数．在Rt△OCD中，因为CE⊥OD，所以eq\f(DE,CD)＝eq\f(CD,OD)，所以线段DE＝eq\f(CD2,OD)＝eq\f(ab,\f(a＋b,2))＝eq\f(2ab,a＋b).所以线段DE的长度是a，b的调和平均数．【答案】CDDE4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【解】(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，则由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200a＋b＝0，,20a＋b＝60，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(200,3).))故函数v(x)的表达式为v(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0≤x<20，,\f(1,3)200－x，20≤x≤200.))(2)依题意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60x，0≤x<20，,\f(1,3)x200－x，20≤x≤200.))当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)取得最大值为60×20＝12