高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ） 第25课时

第25课时幂函数的基本内容课时目标1.了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x图象．了解幂函数图象的变化情况．识记强化1．幂函数的概念．(1)一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征是幂的底为自变量，指数为常数，而指数函数y＝ax的指数为自变量，底为常数．2．幂函数的图象．如图是五种简单幂函数的图象．请填写各函数图象相对应的编号．y＝x的图象是Ⅲ；y＝x2的图象是Ⅱ；y＝x3的图象是Ⅰ；y＝x的图象是Ⅳ；y＝x－1的图象是Ⅴ.课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．在函数①y＝eq\f(1,x)，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是()A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥答案：C解析：幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－eq\f(1,2)的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为()A．－1或2B．－2或1C．－1D．1答案：C解析：因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.3．幂函数y＝x的图象是如图所示的()答案：C解析：y＝x的定义域为[0，＋∞)，故排除A；当x＞1时，0＜x＜x，故选C.4．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，则k＋α＝()\f(1,2)B．1\f(3,2)D．2答案：A解析：∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，∴k＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\r(2)，即α＝－eq\f(1,2)，∴k＋α＝eq\f(1,2).5．设α∈{－2，－1，－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，1,2,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：A解析：∵f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1，eq\f(1,3)，1,3.又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.6．若函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m等于()A．2B．3C．4D．5答案：A解析：m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再把m＝－1和m＝2分别代入m2－2m－3<0，经检验得m＝2.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))的值为________．答案：eq\f(\r(2),4)解析：设f(x)＝xn，则2＝4n，∴n＝eq\f(1,2).∴f(x)＝x.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＝eq\f(1,\r(8))＝eq\f(\r(2),4).8．已知幂函数y＝x(m∈N*)的图象与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，则m＝________.答案：2解析：∵幂函数y＝x(m∈N*)的图象与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，∴m2－2m－3<0，且m2－2m－3为奇数，即－1<m<3且m2－2m－3为奇数．又m∈N*，∴m＝2.9．若函数则f{f[f(0)]}＝________.答案：1解析：由已知可知f(0)＝－2，f(－2)＝1，f(1)＝1.三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)函数f(x)＝(kx2＋4x＋k＋2)定义域为R，求实数k的取值范围．解：由幂函数定义知，kx2＋4x＋k＋2>0对任意x∈R恒成立．得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0,Δ＝16－4kk＋2<0))解得k>eq\r(5)－1∴k的取值范围(eq\r(5)－1，＋∞)．11．(13分)已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x，m为何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解：(1)若f(x)为正比例函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1,m2＋2m≠0))⇒m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1,m2＋2m≠0))⇒m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝2,m2＋2m≠0))⇒m＝eq\f(－1±\r(13),2).(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，得m＝－1±eq\r(2).能力提升12．(5分)已知幂函数y＝xn1，y＝xn2，y＝xn3，y＝xn4在第一象限内的图象分别是图中的C1、C2、C3、C4，则n1、n2、n3、n4的大小关系是()A．n1＞n2＞1，n3＜n4＜0B．n1＞n2＞1，n4＜n3＜0C．n1＞1＞n2＞0＞n4＞n3D．n1＞1＞n2＞0＞n3＞n4答案：D解析：直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过(1,1)点作垂直于x轴的直线，在该直线的右侧，自上而下幂函数的指数依次减小．13．(15分)已知幂函数f(x)的图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2))).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的值域；(3)判断函数f(x)的奇偶性；(4)判断函数f(x)的单调性；(5)画出函数f(x)的图象．解：(1)设f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，∴8α＝eq\f(1,2)，即23α＝2－1，∴3α＝－1，即α＝－eq\f(1,3)，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x(x≠0)．(2)∵f(x)＝x＝eq\f(1,\r(3,x))，x≠0，∴y≠0，∴f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(3)∵f(－x)＝(－x)＝eq\f(1,\r(3,－x))＝－eq\f(1,\r(3,x))＝－f(x)，又f(