达朗贝尔原理与拉格朗日方程

§1-2达朗贝尔原理与拉格朗日方程一、虚位移和实位移实位移：由于运动而实际发生的位移

,对应时间间隔

;虚位移：t时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更。虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以表示任意曲面(3)实位移是唯一的，虚位移可若干个；对定常约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非定常约束，实位移与虚位移不一致.分别见P7图1.2.1(a)(b)(1)虚位移的产生不需要时间,即,不必是实际发生的,只要满足瞬时约束关系;注意(2)变分算符的运算规则:

作用在空间坐标上同微分算符的运算规则,且可与微分互换位置;

作用在时间坐标上则为零,即（等时变分）.二、理想约束实功：作用在质点上的力（含约束力

）在实位移

中所作的功，虚功：作用在质点上的力（含约束力

）在任意虚位移中所作的功，其中分别是第i个质点受到的主动力和约束力．理想约束：若有：即：体系所受所有约束力在任意虚位移中所作功之和等于零，则这种约束称为理想约束.理想约束的例子：光滑曲面，曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等（记住！）以后除特别注明,本课程中只讨论理想约束.三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一）体系受k个完整约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处于平衡状态，即：对力学体系求和对于理想约束——理想约束体系的平衡条件或：结论：具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零.可见：由于引入了虚位移，巧妙的消除了约束力，可以很容易的求出平衡的条件！简化计算无法求约束力（优点，亦是缺点）出现了一个问题？上式对任意的虚位移皆成立，故能否得出虚位移前的系数皆等于0？即：原因：因为体系受到约束，所以体系的3n个坐标及其虚位移不再互相独立！不能直接得到它们之前的系数等于0！但是，我们可以：将3n个坐标用广义坐标及其变分表示出，即先给出：将上式带入则广义坐标互相独立，所以其前的系数可以全部令为0！往往主动力也要用广义坐标及其相应得变分表示说明1、由只能求出平衡条件，不能求出约束力;(1)确定系统自由度，选择合适的广义坐标；(2)将

表示为广义坐标

的函数，并求出

；(3)由虚功原理列出平衡方程，并令

的系数为零，求出平衡条件。2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤:（是互相独立的；不能令的系数为零，∵它们不是互相独立的）例题１、半径为r的光滑半球行碗,固定在水平面上,一均质棒斜靠在碗缘,一端在碗内,一端在碗外,设棒的全长为,在碗内的长度为c,试证棒平衡时满足下列关系:2、周衍柏《理论力学教程》P276【例1】作业1、课本P186习题1.10，1.112、周衍柏《理论力学教程》P3635.2虚功原理：可以消除完整系的理想约束，但仅适用于静力学问题（平衡状态）；动力学问题如何讨论？问题或：动力学方程静力学方程（平衡方程）主动力约束力惯性力纯数学移项，但物理意义深远！动力学问题静力学问题动静法四、达朗贝尔原理对于完整系中第i个质点，其动力学方程为：若约束是理想的，有，则：——达朗贝尔方程（动力学普遍方程）五、拉格朗日方程的推导因为体系受到约束，所以原来体系的3n个坐标及其虚位移

不再互相独立！所以不能直接得到它们之前的系数等于0！同于虚功原理时的方法，我们将用广义坐标及其变分表示出来，推导过程（板书）最后得到：——基本形式的拉格朗日方程……六、保守系的拉格朗日方程具体推导——板书.说明对拉氏方程的几点说明：（1）对所有的q具有相同的形式，应用时便于记忆；从理论上揭示了运用广义坐标共性.（2）L函数与物理守恒定律密切相关，易于揭示物理规律的实质.（3）运用拉氏方程求解动力学问题的方法步骤.确定广义坐标用表示表示出T,VL带入拉氏方程求解得到体系运动方程例题１、课本P13例1