2022届吉林省长春市高三上学期质量监测(一)数学(理)试题(解析版)

长春市2022届高三质量监测（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定义可得出结论.【详解】因为，，因此，.故选：A.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数除法运算化简可得.【详解】，对应点在第三象限.故选：C.3.下列关于函数的说法中，正确的是（）A.函数是奇函数B.其图象关于直线对称C.其图象关于点【答案】C对称D.函数在区间上单调递增【解析】【分析】根据三角函数的性质分别判断即可.【详解】对A，为偶函数，故A错误；对B，，故其图象不关于直线对称，故B错误；对C，由对D，当知，，C正确；时，，根据正弦函数的单调性可得D错误.故选：C.4.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用【详解】由，转化，即得解，可得可解的，故双曲线的渐近线方程为，故选：A.5.展开式中，的系数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】写出展开式的通项公式，令，即得解，【详解】展开式的通项为，令故，故选：B.6.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用对数函数的换底公式，然后根据对数函数的单调性判断即可解得答案.【详解】解：，，，根据对数函数的单调性故.故选：B.7.若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用导数得到函数为增函数，由题意可得【详解】解：，求解可得答案.在区间上恒成立在上单调递增又函数有唯一的零点在区间内即解得故选：A8.给出下列命题：①若的三条边所在直线分别交平面于三点，则三点共线；②若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线；③若三条直线两两平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；④对于三条直线，若，，则.其中所有真命题的序号是（）A.①②B.①③C.③④D.②④【答案】B【解析】【分析】根据平面的基本性质，以及空间中两直线的位置关系，逐项判定，即可求解.的三条边所在直线分别交平面于【详解】对于①中，若三点，可得所以且平面，所以三点必在两平面的交线上，三点共线，所以①正确；对于②中，若直线②错误；是异面直线，直线是异面直线，则直线可能相交，平行或异面直线，所以对于③中，若三条直线以③正确；两两平行且分别交直线于三点，由公理3可得这四条直线共面，所对于④中，例如：若是过长方体一顶点的三条棱，则满足若，，此时与相交，所以④错误.其中所有真命题的序号是①③.故选：B.9.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简，再利用诱导公式、二倍角公式求解即可.详解】故选：D.10.已知是抛物线，则上的一点，是抛物线的焦点，若以等于（）为始边，为终边的角A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设点，取，可得，则，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.【详解】设点，其中，，取，则，可得，因为，可得，解得，则，因此，.故选：D.11.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率正常，有如下命题：.若生产状态甲：；乙：的取值在丙：内的概率与在；内的概率相等；丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则，.（参考数据：若，，则；）其中假命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】【分析】根据可判断甲；根据两个区间长度相等，对称轴落在区间可判断乙；根据概率的对称性可判断丙；求出1只口罩的的过滤率大于由二项分布的概率以及对立事件的概率即可判断丁，进而可得正确答案.的概率，再【详解】由知，，，对于甲：由正态分布曲线可得：，故甲为真命题；对于乙：，两个区间长度均为1个，但，由正态分布性质知，落在内的概率大于落在内的概率，故乙是假命题；对于丙：由知，丙正确；的概率对于丁：1只口罩的的过滤率大于，，所以，，故丁是真命题.故选：B.12.设函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法一定正确的有（）①；②；③；④A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】【分析】由是奇函数得到的图象关于点对称，可判定②正确；由是偶函数，替换，将得到用的图象关于替换，再将用对称，可判定③正确；在替换，可判定①正确.中，分别将用【详解】由题意，函数所以是奇函数，可得的图象关于点对称，，所以②正确；令，则，又由是偶函数，所以的图象关于对称，所以则的图象关于对称，则有，令，，所以③正确.在中，将用中，将用替换，则替换，则替换，则，，，在所以所以，再将用，所以①正确；对于④中，由，无法推出其一定相等.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知与的夹角为，，，则__________.【答案】【解析】【分析】首先运算出与的数量积，然后对进行平方再开方变形，即可求解.【详解】∵与的夹角为，，，∴，∴.故答案为：.14.若无穷等比数列【答案】2的各项均大于1，且满足，，则公比________.【解析】【分析】根据等比数列的性质可得，结合已知条件，以及的各项均大于1，即可得和的值，再由等比数列的通项公式即可求解.【详解】因为数列又因为是等比数列，所以，，解得：或，由无穷等比数列的各项均大于1可知，所以，因为，即，解得：.故答案为：2.15.某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的表面积为________.【答案】【解析】【分析】由题意，石凳的表面是由6个边长为的正方形和8个边长为的正三角形组成，即得解【详解】由题意知，表面积为.故答案为：16.在气象台正西方向km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为km/h，距台风中心km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约________小时后气象台所在地开始受到影响（参考数据：，）.【答案】2【解析】【分析】设气象台为，台风中心为，小时后中心移至处气象台所在地开始受到影响，则，在△中应用余弦定理列方程求即可.【详解】设气象台所在地为，台风中心为，约小时后气象台所在地将受到影响，小时后中心移动至处，，在△中，，由余弦定理，，整理得，解得，依题意，保留，故约2小时后影响气象台所在地.故答案为：2.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列的前项和为，，.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出，利用等差数列的定义可证得结论成立；（2）求得，利用错位相减法可求得.【详解】（1），，则，所以，有，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）知，故，，①①，得，②①②得，，所以.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，进而可得，由等边三角形的性质可得，再由线面垂直的判定定理即可求证；（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由空间向量夹角公式即可得二面和平面角平面角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可得正弦值.【详解】（1）因为底面为正方形，所以，因为平面所以平面，平面平面，面，平面面，因为，所以，又因为所以是正三角形，，所以是的中点，平面.因为，所以平面；（2）过在平面内作，的垂线，知与，分别为，两两垂直，以为坐标原点，轴，建立空间直角坐标系，设，有，，，，，设平面法向量为，则，即，令，，，所以；设平面则的法向量为，即，，，，所以，令，可得，所以；设二面角的平面角为，，所以，所以，所以二面角的正弦值为.19.水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛场馆.现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.（1）若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；（2）若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数.设从五棵松抽出的人数为，求随机变量的概率分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）的分布列如下：.【解析】【分析】（1）、所有基本事件种,2人来自不同场馆的概率等于1减去2人来自同一场馆的概率，2人来自同一场馆即分为2人都来自国家体育馆或2人都来自五棵松体育馆;（2）、计算满足情况的所有基本情况数，的所有可能取值为.分别计算，，对应的概率，然后列出分布列，最后计算数学期望.【详解】（1）、设“从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆，所抽调2人来自不同场馆”，在8名大学生一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，所有基本事件种情况.若2人都来自国家体育馆有种情况，若2人都来自五棵松体育馆有种情况，所以抽调的2人来自不同场馆的概率.（2）由题意的所有可能取值为.及来自五棵松体育馆的人数至少是1人，则满足题设条件的情况共有：种.当时，只有一种情况水立方、国家体育馆、五棵松体育馆各抽1人，共种，此；当时，水立方1人、五棵松体育馆2人或国家体育馆各1人，五棵松体育馆2人，共=24种，,当时，3人都来自于五棵松体育馆，共种.的分布列如下：.20.设函数（1）若（2）若.是的极值点，求的单调区间；，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.【解析】【分析】（1）先求导，令，检验即得解；代入，分别令，得到单增区间和单减区间；（2）转化为，分，两种情况讨论即可【详解】（1），，经检验符合条件，令，有或，令，有，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由题意当时，令在，有，令，有，所以所以上单调递减，在上单调递增，，即当时，不成立.综上，.21.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，.（1）求椭圆的方程；（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得.若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由题设条件可得，即，结合余弦定理以及，可得解；（2）转化为，用点坐标表示斜率可得，将直线和椭圆联立，结合韦达定理即得解.【详解】（1）由知，在△中，，，解得，所以椭圆；（2）假设存在点设满足条件，设直线方程为，，消去有，，.因，所以，即，解得.所以存在，使得.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于【答案】（1）两点，点，求值.；（2）.【解析】【分析】（1）根据同角的平方关系消参可得曲线的普通方程；根据，可得