自动控制原理第五章频率特性

2023/2/41时域分析法和根轨迹法的特点①时域分析法：时域分析法较为直接，不足之处：对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析；当系统中某些元器件或环节的数学模型难以求出时，整个系统的分析将无法进行；系统的参数变化时，系统性能的变化难以直接判断，而需新求解系统的时问响应；系统的性能不满足技术要求时，无法方便地确定应如何伺调整系统的参数来获得预期结果；必须由闭环传递函数求系统的稳定性。2023/2/42②根轨迹分析法：快速，简洁而实用的图解分析法；根据图形的变化趋势可得到系统性能随某一参数变化的全部信息，从而可以获得应如何调整系统的参数来获得预期结果；一种非常实用的求取闭环特征方程式根和定性分析系统性能的图解法，特别适用于高阶系统的分析求解；但对于高频噪声问题，难以建立数学模型等问题仍然无能为力。2023/2/43频域法不必求解微分方程，能预示系统性能，同时，又能指出如何调整系统参数来得到系统预期的性能指标。时域分析法和根轨迹分析法主要是以单位阶跃输入信号来研究系统的，而频域分析法主要是以正弦输入信号来研究系统的。频域分析：给稳定的系统输入一个正弦信号，系统的稳态输出也是一个正弦信号，其频率与输入信号同频率，其幅值和相位随输入信号频率的变化而变化。设系统结构如图给系统输入正弦信号，保持幅值不变，增大频率，曲线如下:2023/2/44给稳定的系统输入一个正弦信号，其稳态输出是与输入同频率的正弦信号，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。系统对不同频率的正弦信号的“复现能力”或“跟踪能力”。频率越高，衰减越大，这意味着自动控制系统将能实现对所有低于截止频率的信号进行几乎没有衰减的传输，而对于那些高于截止频率的噪声信号来说，它们将被自动控制系统完全隔离（衰减掉），这也正是研究系统频特性的优越之处。2023/2/46一、频率特性基本概念二、开环频率特性的绘制三、频率域稳定判据四、控制系统频域性能分析五、专题讨论第五章线性系统的频域分析法本讲主要内容1、基本概念2、典型环节频率特性一、频率特性基本概念2023/2/471RC网络RC滤波网络，设电容C的初始电压为，取输入信号为正弦信号：1、频率特性基本概念曲线如图所示。当响应呈稳态时，仍为正弦信号，频率与输入信号相同，幅值较输入信号有一定衰减，相位存在一定延迟。2023/2/48RC网络的输入与输出的关系为：式中，，为时间常数。取拉氏变换并代入初始条件得拉氏反变换得式中第一项，由于T＞0，将随时间增大而趋于零，为输出的瞬态分量；第二项正弦信号为输出的稳态分量。2023/2/49——幅值比比较——相位差——幅值——相角2023/2/410！！！结论非常重要，反映了A(ω)和φ(ω)与系统数学模型的本质关系，具有普遍性。系统输入为谐波信号（1）频率特性定义设稳定线性定常系统的传函：因为系统稳定，输出响应稳态分量的拉氏变换为如何推导！2023/2/411求出系统稳定！思路：①②③②得出5-11④2023/2/412⑤考虑⑥式5-11又可表示为⑦关于ω的偶次幂多项式关于ω的奇次幂多项式2023/2/413⑧代入2023/2/414谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比为幅频特性，相位之差为相频特性，并称其指数表达形式

为系统的频率特性。上式表明，由谐波输入产生的输出稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，幅值和相位的变化是同频率的函数，且与系统数学模型相关。频率特性定义2023/2/415②频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的“复现能力”或“跟踪能力”。在频率较低时，ωT≤1时，输入信号基本上可以按原比例在输出端复现出来，而在频率较高时，输入信号就被抑制而不能传递出去。对于实际中的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的“低通”滤波及相位滞后作用。③

频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在能量交换时，使不同频率的信号具有不同的特性。（2）频率特性的物理意义①频率特性等于输出和输入的傅氏变换之比。书P1892023/2/416wjs=dtds=系统传递函数微分方程频率特性dtdjw=线性定常系统的数学模型

传递函数

微分方程频率特性

时域复数域频域（3）三种数学模型之间的关系2023/2/417②系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率当输入量频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和它们的相位移（）也随之改变。所以A（）和（）都是的函数。这是由于系统中的储能元件引起的。①与传函一样，频率特性也是一种数学模型它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定了，则系统的频率特性也完全确定。（4）频率特性的性质2023/2/418③频率特性是一种稳态响应，但表示的是系统动态特性频率特性是在系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则无法观察到这种稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量（从全解的形式中理解）总可以分离出来。系统微分方程的全解＝齐次通解+稳态特解稳态特解就是稳态分量，即频率特性定义中要用到的量。2023/2/419①根据定义求取对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复振幅比即可得到。②根据传递函数求取用s=j代入系统的传递函数，即可得到。③通过实验的方法直接测得用实验测得的频率特性曲线求。（5）频率特性的求取2023/2/420（6）频率特性的几何表示法——极坐标形式——直角坐标形式①幅相频率特性曲线——又叫幅相曲线或极坐标图或Nyquist（奈奎斯特）图，简称奈氏图；③对数幅相曲线——又叫Nichocls(尼科尔斯)图，简称尼氏图，一般用于闭环系统频率特性分析的。②对数频率特性曲线——又叫Bode（伯德）图，简称伯氏图；Re[G(jω)]Im[G(jω)]①幅相频率特性曲线：以实部为横轴，虚部为纵轴，频率为参变量，表示频率特性G(j)的幅值A()和相角()之间关系的曲线。例1

绘制RC网络幅相频率特性曲线逐点描绘比较麻烦g=tf([1],[11]);figure;

nyquist(g)%开环幅相曲线②对数频率特性曲线：在半对数坐标中，表示频率特性的对数幅值20lgA(ω)与对数频率lgω，相角()与对数频率lgω之间关系的曲线图称为频率特性的对数坐标图或Bode图。

由对数幅频特性图和对数相频特性图组成；

纵坐标线性分度，分别表示幅频特性的G(jω)的对数20lgA(ω)和相角()，单位分别为dB和度(º)，横坐标对数分度lgω，表示频率ω，单位为(rad/s)。线性分度线性分度对数分度，按1020900十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程:用dec表示绘制近似对数坐标图简单；可以将频率范围很宽的系统的频率特性绘制在一张不大的图上进行研究。横坐标采用对数分度的原因：2、典型环节的频率特性式中：

从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。比例环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节积分环节微分环节①最小相位典型环节比例环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节②非最小相位典型环节除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。

（1）典型环节频率特性的绘制①比例环节传递函数：频率特性：Nyquist图Bode图L(ω)与ω轴平行，随K变化上下移动φ(ω)与ω轴重合传递函数：频率特性：Bode图：②微分环节Nyquist图③积分环节ImRe0传递函数：频率特性：奈氏图：Bode图：例：传递函数：求频率特性并分析取ω=0，1/T和ω=∞三个特殊点:传递函数：频率特性：0w=121ReIm+¥=w0④

惯性环节奈氏图渐近线

精确曲线

精确曲线

渐近线

10-1100101低频时，即高频时，即为转角(转折、交接)频率Bode图几点说明：简化对数幅频曲线作图，常用低频和高频渐近线近似表示对数幅频曲线，称之为对数幅频渐近特性曲线。低频段(小于转折频率)幅频特性可认为是0dB的一条直线，高频段的幅频特性可认为是斜率为-20dB/dec的一条斜线。近似图形有两条直线构成，又称：折线近似图，1/T为折线之间的转折频率；精确图形以近似图形为渐近线，最大误差发生在ω=1/T处，L(1/T)=-3dB。T分别为0.1、1、10Bode图-3dB-3dB-3dB传递函数：频率特性：⑤振荡环节分析：相频特性从0单调减至-180，当ω=ωn时，，表明振荡环节与虚轴的交点为——谐振频率——谐振峰值均为阻尼比的减函数幅频特性极坐标相位从0°到-180°变化，频率特性与虚轴交点处的频率是无阻尼自然振荡频率，ζ越小，对应ω的幅值就越大。说明频率特性与ω、ζ均有关。w=¥0w=nwnwnw2z3zImRe01···321zzz>>1zwww当ω=0，1/T和ω=∞时，奈氏图10-110010110-2

Bode图10-110010110-210-110010110-210-110010110-210-110010110-210-110010110-2时，L(ω)是一条折线，没有峰值10-11001010-45-90-135-18010-11001010-45-90-135-18010-11001010-45-90-135-18010-11001010-45-90-135-18010-11001010-45-90-135-18010-11001010-45-90-135-180阻尼比越大，阻尼越大，角度变化越缓低频渐近线为一条0分贝的水平线；高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-40dB/dec的直线。振荡环节渐近特性曲线分析用折线近似二阶系统的频率响应曲线以渐近线表示时引起的对数幅值误差⑥一阶微分环节和二阶微分环节对照各个环节看一下有什么规律？微分二阶微分一阶微分惯性环节振荡环节积分最小相位环节的相频特性与幅频特性之间有什么对应关系？⑦非最小相位系统频率特性非最小相位比例环节求频率特性并分析传递函数:频率特性:非最小相位惯性环节传递函数:频率特性:幅频特性曲线与最小相位的惯性环节相同；相频特性曲线与一阶