大学物理学-狭义相对论教案

授课章节教学目的第4章狭义相对论1.理解爱因斯坦狭义相对论的两条基本原理及洛伦兹坐标、速度变换式；2.掌握狭义相对论的时空观：即理解同时的相对性、长度的收缩和时间的膨胀，并能进行相关的计算；3.了解狭义相对论动力学的几个结论及其具体应用。1.正确地理解相对论的时空观；2.掌握洛伦兹变换的物理意义；3.理解长度收缩效应只发生在运动方向上；4.理解“时间膨胀”效应是指运动着的钟比静止的钟慢；教学重点、难点教学内容5.在相对论动力学中，动能不能用进行计算，只能用进行计算；6.在经典物理中能量守恒律与质量守恒律彼此独立。而在相对论中通过质能关系式把两个定律统一起来了。即在相对论中能量守恒与质量守恒总是同时成立的。备注第四章狭义相对论相对论研究的内容：研究物质的运动与空间、时间的联系。狭义相对论：研究自然定律在所有惯性系中都表示为相同的形式（数学）问题。广义相对论：研究自然定律在所有参照系中都表示为相同的形式（数学）问题。§4.1伽利略变换和经典力学时空观一、伽利略变换经典力学时空观1、伽利略坐标变换方程：如图，两个参照系的坐标轴互相平行，参照系相对于参照系沿轴的正方向以速度运动，时间时、两坐标系的原点和重合。则某一空—时点的坐标变换方程为或（1）2、经典力学时空观伽利略坐标变换方程已经对时间、空间性质作了两条假设：（1），即时间间隔与参考系的运动状态无关；（2），，即空间长度与参考系的运动状态无关。（同时测量棒两端点的坐标值），总之，时间和空间是彼此独立的，互不相关，并且不受物质和运动的影响，这就是经典力学的时空观，也称绝对时空观。二、伽利略相对性原理一切彼此作匀速直线运动的惯性系，对描述运动的力学规律来说是完全相同的。把（4-1）对时间求导一次，得（2）这就是伽利略速度变换法则。把（4-2）对时间再求导一次，得（3）上式说明在所有惯性系中，加速度是不变量。由于经典力学中质量和力也是与参考系的选择无关的物理量，所以，牛顿第二定律在所有惯性系中都具有相同的数学表述：这就是说经典力学满足伽利略相对性原理。§4.2狭义相对论产生的实验基础和历史条件一、经典电磁学的以太假说（人们过于相信绝对时空概念）以太假说：以太是充满整个宇宙空间的弹性媒质，电磁波靠以太传播。以太中的带电粒子振动会引起以太变形，这种变形以弹性波的形式传播就是电磁波。在相对以太静止的参照系中，电磁波沿各个方向传播的速度都等于恒量。在相对以太运动的惯性系中电磁波的传播速度。在相对以太运动的惯性系中，按伽利略速度变换，电磁波沿各个方向传播的速度并不等于恒量。设系相对于以太静止，系相对以太的速度为，如图所示。则在系中，电磁波沿各个方向的速度均等于恒量。在传播速度为（c-u），沿轴负向的传播速度为（c+u）；沿与系中电磁波沿轴正向的轴垂直的和轴的正、负方向传播的速度都是。二、迈克尔逊—莫雷实验因为经典电磁学不满足伽利略变换：存在一个优越的参照系，即相对以太静止的惯性系（也称为绝对空间）。所以，人们设计了许多实验来寻找以太。迈克尔逊—莫雷实验的目的就是通过观察地球相对以太的绝对运动来寻找以太。实验装置是迈克尔逊干涉仪，其光路原理如下图所示。1实验原理：设以太相对太阳系静止，地球（包括固定在地球上的干涉仪）相对太阳系的速度为u，则从地球看来、以太风的速度为-u，如上图所示。光源S发出的光线入射半透镜R后透射光线1和反射光线2分别射向互相垂直的平面镜M1和M2，先让RM1臂与地球运动方向平行、则RM2臂与地球运动方向垂直，从干涉仪观察、光线1和光线2的传播速度不相等（如图中所标），当两臂相等时、进入观察镜o的光线1和光线2的光程差不为零，可以看到干涉条纹。如果将整个装置旋转往返的时间，应该看到条纹移动。光线1在RM1间，光线2在RM2间往返的时间,时间差为。旋转后时间差为，于是干涉仪转动前后，光通过两臂时间差的改变量为：。实验时取验所取的，则应有条纹移动数目的数值、预期，按实，这是可以明显观察到的。2实验结果：没有观察到干涉条纹的任何移动。3对实验结果的解释：以上实验是在承认以太是绝对静止的参照系，存在地球相对于以太运动的前提下，利用伽利略变换来计算光相对于地球（干涉仪）的速度，由此得出应该有明显可观察到的条纹移动。实验没有观察到干涉条纹的任何移动，结果只能说明光的传播速度不满足伽利略变换，同时不存在地球相对于以太的运动；即绝对静止的参照系“以太”并不存在。§4.3狭义相对论基本原理洛伦兹变换例2狭义相对论的两条基本原理1相对性原理：所有物理规律在一切惯性系中都具有相同的形式。2光速不变原理：所有惯性系中测量到的真空中的光速沿各个方向都等于c，与光源的运动状态无关。二、洛伦兹变换如图，S系和S/系的关系如17-1节所述。则S和S/的变换（正变换）为：，，，。S/与S的变换（逆变换）为：，，，。式中三、洛伦兹变换的推导在上面两坐标系中，对于o点、由S系来观测，不论什么时间，总是，但是由S/系来观测，在时刻的坐标，即。可见同一空间点o点，数值和同时为零。因此，我们可设在任何时刻、任何点，和之间都有一个比例关系为，（1）式中为不为零的常数。用同样的方法对o/点进行讨论，可得，（2）根据相对性原理，两个惯性系是等价的（u为常数），所以，（3）。于是为了求出，需要应用光速不变原理。设时，两坐标原点重合，在重合点发出一光信号沿轴传播，则在任一时刻（在S系测量为，在S/系测量为）对两坐标系来说信号分别到达，（4）把（1）（3）相乘，再把（4）式代入，得，，由此求得。则（1）、（3）式可写成，；由这两式消去求出，得，同样，消去，得；另有，洛伦兹变换关系式得证。四、洛伦兹变换的意义：（1）在相对论中，洛伦兹变换占据中心地位。相对论物理定律的数学表达式在洛伦兹变换下保持不变；（2）洛伦兹变换是同一事件在不同惯性系中两组时空坐标，应用时必须确认和确实是代表同一事件；（3）各个惯性系中的钟和尺必须相对该参照系处于静止状态；（4）不仅是的函数，而且是的函数，即相对论把时间和空间，时间、空间和物质的运动不可分割地联系起来了；（5）因为不能超过光速；不应是虚数，所以、即任何物体的运动速度，洛伦兹变换过渡为伽利（6）当时，略变换；五、洛伦兹速度变换∵对洛伦兹变换式取微分得用去除它前面的三式，即得洛伦兹速度变换关系式：其逆变换为通过速度变换，在任何惯性系中物体的运动速度都不可能超过光速。当和时，，则。这就是伽利略速度变换关系式。再次表明，伽利略变换是洛伦兹变换的特殊情况（低速）。§4.4狭义相对论的时空观一、同时的相对性1、“爱因斯坦火车”：如图，一相对地面（惯性系S）以匀速u行驶的火车（通常称为“爱因斯坦火车”），取车厢为另一惯性系S/。设在车厢正中点M/处有一光源，当M/与S系中的发光点M重合时、两光源同时闪光。根据光速不变原理，在车厢（S/系）观测，光信号到达前门的事件1和光信号到达后门的事件2为同时事件；而在地面（惯性系S）观测，由于前门远离M点、后门接近M点，所以观测到光信号到达前门的事件1和光信号到达后门的事件2不是同时事件。这个例子说明，在一个惯性系中的两个同时事件，在另一个惯性系中观测不是同时事件，这是时空均匀性和光速不变原理的直接结果。2、同时性的数学表达：车站S上的观测者测到两个闪电同时击中一列以速度u沿S系的x轴方向通过车站的火车的车头（在S系中的坐标为）和车尾（在S系中的坐标为），即在S系观测闪电击中车头的事件2的时空坐标为（）。设火车为S/），事件2的时空坐标为（）、闪电击中车尾的事件1的时空坐标为（系，在S/系观测事件1的时空坐标为（）。根据洛伦兹变换于是∵∴∵∴，结论是：火车上的观测者测得两闪电不是同时击中车头和车尾。当火车向x轴正向行驶时，，即从火车上观测闪，电先击中车头、后击中车尾；若火车倒退时，即从火车上观测闪电先击中车尾、后击中车头。3、时间次序和因果律：上例中观测闪电是先击中车头还是先击中车尾，在S和系中都是可以的。但在有些问题中，时序却不能颠倒。如火箭返回的时间不能先于它出发的时间，赛跑运动员冲线时间不能先于它起跑的时间…即有因果关系的事件，时序不能颠倒。证明如下：（反证法）设时序能颠倒，即在S系中为1在先，2在后；则在系中为2在先，1在后。于是有，而，所以即有*此式不能成立。（证毕）二、长度的相对性如图，尺相对S/系静止、在S/系测得尺两端坐标为和，则尺的固有长度。在S系测得尺的长度称为运动长度，但必须注意要在S系同时测量和，即时测量。根据洛伦兹变换，；两式相减。因为即，所以。，。说明物体在运动方向的长度收缩了。与运动垂直的方向上并不发生长度收缩。另外，这是测量的结果，不能说成看到了长度收缩。三、时间间隔的相对性设在S/系中同一地点（亮和灭，时间间隔别为）先后发生了两个事件，例如一盏灯的。而在S系测这两个事件的时空坐标分。根据洛伦兹变换：，；两式相减。因为即，所以，。因为，所以。相对静止的惯性系测量到过程的时间间隔数值最小，称为固有时间，记作或者说运动时钟变慢了。。则，表示时间膨胀了，例1一火箭的固有长度为L，相对于地面作匀速直线运动的速度为V1，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为V2的子弹，在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：（A）（C）；（B）；（D）；。例2有一直尺固定在K’系中，它与OX’轴的夹角，如果K’系以速度u沿OX方向相对于K系运动，K系中观察者测得该尺与OX轴的夹角（A）大于45o;（B）小于45o（C）等于45o（D）当K'系沿OX正方向运动时大于45o，而当K'系沿Ox负方向运动时小于45o。解：因为，所以。例3两个惯性系中的观察者o和o'以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度互相接近。如果o测得两者的初始距离是20m，则o'测得两者经过时间Δt'=s后相遇。解：设o静止，o'以0.6c向o运动,则有(o测得)(o'测得)所以例4观察者甲和乙分别静止于两个惯性系k和k'(k'系相对于k系作平行于x轴的匀速运动)中。甲测得在x轴上两点发生的两个事件的空间间隔和时间间隔分别为500m和而乙测得这两个事件是同时发生的。问：k'系相对于k系以多大速度运动？解：设k'系相对于k系的运动速度为V。则根据洛仑兹变换公式可得：，乙测得两事件同时发生,则由题则例5火箭相对于地面以v=0.6c(c为真空中光速)的匀速度向上飞离地球。在火箭发射秒钟后（火箭上的钟），该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地面为，问火箭发射后多长时间，导弹到达地球？（地球上的钟）。计算中假设地面不动。解：按地球的钟，导弹发射的时间是在火箭发射后这段时间火箭在地面上飞行距离：则导弹飞到地球的时间是：那么从火箭发射后到导弹到达地面的时间是：§4.5狭义相对论动力学一、动量、质量与速度的关系1、相对论质量：在牛顿力学中，质量被认为是与物体运动速率无关的恒量。但在相对论力学中，质量必须被认为是与物体运动速率有关的。下面我们来推导质量与速率的关系。设在S/系中有一粒子，原来静止于原点o/，在某一时刻此粒子分裂为完全相同的的两半A和B，分别沿x/轴的负方向和正方向运动。根据动量守恒定律，这两半的速率应相等，记作u。另一参照系S，以速率u沿-i/方向运动。在此参照系中，A是静止的，B是运动的。以者的质量。由洛伦兹速度变换可得B的速度和分别表示二（1）方向沿x轴正向。在S系观察，粒子分裂前的速度即o/点的速度为ui，动量为Mui，M为粒子分裂前的质量。分裂后，两个粒子A和B的总动量为i。根据动量守恒，应有Mui=i（2）可以合理地假设在S系中粒子在分裂前后质量也是守恒的，即M=mA+mB，上式可改写成（3）如果质量与速率无关，则应有，上式就不成立、动量守恒定律也就不成立。为了使动量守恒定律成立并且保持P=mV形式，必须认为都是各自速率的函数。由（3）式可求得（4）由（1）式解出（5）把（5）式代入（4）式得因为A静止、B运动，所以，用代替可记做、表示静质量，可一般地记作，则得相对论的质量公式：2、动力学基