电路分析基础第五章

上次课内容提要含独立源的线性单口网络N，仅从端口看，可等效为一个电压源串联电阻的支路。其中，电压源的电压等于网络N的开路电压uoc，而串联的电阻等于网络N中所有独立源置零时所得网络N0的等效电阻R0。一、戴维南定理其中：方法1：

将网络N的端口开路，用任意一种分析方法求出uoc；再令网络N中所有独立源为零得N0

，求出N0的等效电阻。求单口网络N戴维南等效电路的方法方法2：uoc的求法同前，再令网络N端口短路，求出短路电流isc，则有

简单证明：方法3：

求出网络N的端口VAR，直接画出由电压源与电阻串联而成的等效电路。方法4：

对简单电路直接进行化简得等效电路。方法5：

用实验测量法得戴维南等效电路。a、先测出Uoc；b、接入可变电阻RL;

c、调可变电阻RL，当uL为Uoc的一半时，则有：RL＝R0NRL＋－uL+-UocR0RL＋－uLI二、诺顿定理

含独立源的线性电阻单口网络N，仅从端口看，可等效为一个电流源与电阻并联的组合。其中电流源的电流等于网络N的短路电流isc，而并联的电阻等于网络N中所有独立源置零时所得网络N0的等效电阻R0。其中：，诺顿定理的说明

注意电流源的参考方向。诺顿等效电路求法：R0Isc诺顿等效电路IscIsc为短路电流R0戴维南等效电路Uoc=戴维南等效电路可等效变换为诺顿等效电路。所以，只要求得Uoc、Isc、R0中任意两个，即可得等效电路。注意！求诺顿等效电路的方法类似于求戴维南等效电路的方法。三、最大功率传递定理

若含独立源的线性电阻单口网络N外接一个可变的负载电阻RL，当RL变到与网络N的戴维南（或诺顿）等效电阻R0相等时，网络N传递给负载的功率最大。该最大功率为：或其中uoc、

isc为网络N的开路电压和短路电流。最大功率传递定理只能用于端口电路给定,负载电阻可调的情况;端口等效电阻消耗的功率一般不等于端口内部消耗的功率。因此，当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%;计算最大功率问题结合应用戴维南定理或诺顿定理最方便。注意1.电阻的、Y形连接

形网络

三端网络R12R31R23123Π

型电路(

型)123R12R23R31四、T形网络和∏形网络的等效变换Y形网络三端网络R1R2R3123

T

型电路(Y、星型)123R1R2R3

两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效。变换的简记方法：1、Π型变换为T型：如：2、T型变换为Π型：如：特例：若三个电阻相等(对称)，则有RΠ=3RTR31R23R12R3R2R1外大内小RT=RΠ/3等效是对外部(端钮以外)而言的，对内不成立。等效电路与外部电路无关。用于简化电路注意课程主要内容(contents)第一篇：总论和电阻电路的分析（第1－4章）约21学时。第二篇：动态电路的时域分析（第5－7章）约12学时。第三篇：动态电路的相量分析法和s域分析法（第8－12章）约21学时动态电路：

至少包含一个动态元件的电路称为动态电路。动态元件：

如果元件的伏安关系涉及对电流、电压的微分或积分，称这种元件为动态元件，如电容、电感就是最常见的动态元件。通过第一篇的学习可见，电阻电路是用代数方程描述的，即：如果外施的激励源（电压源或电流源）为常量，则在激励作用到电路的瞬间，电路的响应也立即为某一常量。或者说，电阻电路在任一时刻t的响应只与同一时刻的激励有关，与过去的激励无关。因此，电阻电路是“无记忆”的或者说“即时的”。但是，本篇将会看到，动态电路与电阻电路完全不同，在任一时刻的响应不仅与当前激励有关，还与激励的全部过去历史有关。这就是说，动态电路是有记忆的。而且，任何一个集总电路不是电阻电路就是动态电路。在动态电路中：含有一个独立动态元件的电路称为一阶电路。此时，电路方程为一阶常系数微分方程。含有二个独立动态元件的电路称为二阶电路。它的电路方程为二阶常系数微分方程。含有三个及以上独立动态元件的电路称为高阶电路。其电路方程为高阶常系数微分方程。第二篇动态电路的时域分析第五章电容元件与电感元件第六章一阶电路第七章二阶电路第五章电容元件与电感元件§5-1电容元件§5-2电容元件的伏安关系§5-3电容电压的连续性质和记忆性质§5-4电容元件的储能§5-5电感元件§5-6电感元件的VAR§5-7电容与电感的对偶性状态变量1、电容器的构成：两块金属板用绝缘介质隔开就构成了一个实际电容器。＋＋－－qu通电有等量异性电荷电压电场电容器是一种能存储电荷的器件，断电后电荷仍保留，因此贮存电场能量。2、电容元件定义：（电容器的理想化模型）能够在q－u平面内用一条曲线（称为库伏特性曲线）描述的二端元件称为电容元件，即电荷q和电压u存在代数关系。若该曲线是过原点的直线，则称为线性电容元件，否则就是非线性电容元件。3、定义式注：电容元件简称为电容，其符号C既表示元件的参数，也表示电容元件。4、符号及单位C＋－uc(t)ic(t)单位：法拉（F），1F=106F=1012pFC称为电容元件的电容量。实际电容器电力电容常用电容器的电容量大约为零点几皮法至数千微法，而采用碳纳米管可制作超大电容量的电容器，达数百法，这在传统概念上是不可思议的！实际电容器除具有存储电荷的主要性质外，还有一些漏电现象，这主要是由于介质不理想，多少有点导电能力的缘故。一个电容器，除了标明它的容量外，还需标明它的额定工作电压。电容器两端电压越高，聚集的电荷就越多。但介质的耐压是有限度的，电压过高，介质会被击穿。而电容被击穿后，介质导电，也就丧失了电容器的作用。因此，使用中不应超过其额定工作电压。第五章电容元件与电感元件§5-1电容元件§5-2电容元件的伏安关系§5-3电容电压的连续性质和记忆性质§5-4电容元件的储能§5-5电感元件§5-6电感元件的VAR§5-7电容与电感的对偶性状态变量

（1）（非关联时，）

若电容端电压u与通过的电流i采用关联参考方向，如右图所示，则有：C＋－uc(t)ic(t)上式表明：某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。如果电压不变，du/dt为零，这时虽有电压，但电流为零。因此，电容具有隔直流的作用。电容电压变化越快，即du/dt越大，则电流越大，故电容具有通交流的作用。C＋－uc(t)ic(t)（2）积分形式对上式从-∞到t进行积分，并设uc(-∞)=0，得：如果设t0为初始时刻，而且如果只需了解t≥t0的情况，上式可改写为：其中，uc(t0)称为电容电压的初始值，体现了t0时刻以前电流对电压的贡献。由此可见，在某一时刻t电容电压的数值并不仅仅取决于该时刻的电流值，还取决于从-∞到t所有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有关。

描述一个电容元件必须有两个值：C值和uc(t0)值。例5-1电容与电压源相接如图(a)所示，电压源电压随时间按三角波方式变化如图(b)所示。求电容电流。(a)(b)解：已知电压源电压u(t)，其电流可通过i(t)=Cdu/dt求出。从0.25ms到0.75ms期间，电压u从+100V线性下降到-100V，其变化率为：故知在此期间，电流为：从0.75ms到1.25ms期间，故知在此期间，电流为：因此得电流随时间变化的曲线如下图(C)所示。例5-2如图(a)所示为电容与电流源相接电路，电流波形如图(b)所示。求电容电压（设u(0)=0）。解：已知电容电流求电容电压，可根据下式：为此，需要给出i(t)的函数式。对所示三角波，可分段写为：等等。分段计算u(t)如下：电压波形如图(C)所示。第五章电容元件与电感元件§5-1电容元件§5-2电容元件的伏安关系§5-3电容电压的连续性质和记忆性质§5-4电容元件的储能§5-5电感元件§5-6电感元件的VAR§5-7电容与电感的对偶性状态变量电容的VCR(VAR)为：通过该式即可反映出电容电压的两个重要性质，即连续性和记忆性。

连续性可通过下图予以说明。电容的连续性可表述如下：若电容电流i(t)在闭区间[ta、tb]内有界，则电容电压uC(t)在开区间(ta、tb)内连续。特别是，对任何时刻t，且ta<t<tb,则有：uC(t)=uC(t+)上式说明：“电容电压不能跃变”。当然，这种性质仅在电容电流为有界时成立。它表明，在任一时刻t，电容电压uc是此时刻以前的电流作用的结果，即电压“记载”了已往电流的全部历史，所以称电容为记忆元件。当然，电阻则为无记忆元件。所以，只要知道了电容的初始电压和t≥t0时作用于电容的电流，就能确定t≥t0时的电容电压。电容电压的另一性质是记忆性质，体现如下：上述关系可用等效电路加以说明。由此可见：一个已被充电的电容，若已知uC(t0)=U0，则在t≥t0时可等效为一个未被充电的电容与电压源串联的电路。电压源的电压是t0时电容两端的电压U0（初始电压，或电容电压uC的初始状态），如下图所示。1第五章电容元件与电感元件§5-1电容元件§5-2电容元件的伏安关系§5-3电容电压的连续性质和记忆性质§5-4电容元件的储能§5-5电感元件§5-6电感元件的VAR§5-7电容与电感的对偶性状态变量在电压、电流参考方向一致的条件下，任一时刻电容元件吸收的功率：p(t)=u(t)i(t)=Cu(t)在-∞到t时间内，电容元件吸收的能量：若设u(-∞)=0，则电容吸收的能量：

wC(t)=在t1--t2时间段内，电容贮存的能量为：而电容在任一时间t时的贮能:结论：电容在某段时间内的贮能只与该段时间起点的贮能和终点的贮能有关，与这段时间中其它时刻的能量无关。电容是贮能元件，它既不消耗能量，也不产生能量，只是吸收和释放能量，实行能量的转换，因此是无源元件。

当|u|增大时：即当u>0，且du/dt＞0；或u<0，且du/dt

＜0时，p>0，电容吸收功率为正值，此时电容被充电，储能wC增加，且电容吸收的能量以电场能量的形式储存于电场中；而当|u|减少：即u>0，且du/dt

＜0;或者u<0，且du/dt＞0时，p<0，此时电容吸收功率为负值，实际是电容放电，储能wC减少，电容将储存于电场中的能量释放。若到达某一时刻t1时，有u(t)=0，则wC(t1)=0，这表明这时电容将其储存的能量全部释放。因此，电容是一种储能元件，它不消耗能量。说明：

另外，无论u为正值或负值，恒有wC(t)≥0。这表明，电容所释放的能量最多也不会超过之前吸收(或储存)的能量，即它不能提供额外的能量，因此它是一种无源元件。正是电容的储能本质才使得电容电压具有记忆性质；而正是因为电容电流在有界条件下储能不能跃变才使得电容电压具有连续性质。如果储能跃变，能量变化的速率即功率p=dw/dt将为无限，这在电容电流为有界条件下是不可能的。

第五章电容元件与电感元件§5-1电容元件§5-2电容元件的伏安关系§5-3电容电压的连续性质和记忆性质§5-4电容元件的储能§5-5电感元件§5-6电感元件的VAR§5-7电容与电感的对偶性状态变量将导线绕成线圈的形式，就成为了电感线圈或电感器。如果线圈中不含铁磁物质，则称为线性电感。i磁链磁场能量，因此，电感贮存磁场能量。

电感元件的定义：在Ψ-i平面中能用一条曲线（称韦安特性曲线）来描述的二端元件称为电感元件。当曲线为通过原点的直线时,称为线性电感元件。定义式：

Ψ(t)＝Li(t)L为正值常数。单位：享利（H），1H＝103mH实际电感器除具有存储磁能的主要性质外，还有一定的能量损耗，这主要是由于构成电感的导线多少有点电阻的缘故。一个实际的电感线圈，除了应标明它的电感量外，还应标明它的额定工作电流。因为，电流过大会使线圈过热或使线圈受到过大电磁力的作用而发生机械形变，甚至烧毁线圈。为了使每单位电流产生的磁场增加，常常在线圈中加入铁磁物质，其结果可使同样电流产生的磁链比不用铁磁物质时增加成百上千倍。空心电感可调电感环形电感立式电感贴片型功率电感贴片电感电抗器第五章电容元件与电感元件§5-1电容元件§5-2电容元件的伏安关系§5-3电容电压的连续性质和记忆性质§5-4电容元件的储能§5-5电感元件§5-6电感元件的VAR§5-7电容与电感的对偶性状态变量当通过电感的电流发生变化时，磁链也相应发生变化。根据电磁感应定律，电感两端就出现（感应）电压；而当通过电感的电流不变时，磁链也不发生变化，这时虽有电流但没有电压，这与电阻、电容元件完全不同。电阻是有电压就一定有电流，电容有电压变化才有电流，而电感则是有电流变化才有电压。根据电磁感应定律，感应电压等于磁链的变化率。当电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时，可得感应电压如下：上式表明：某一时刻电感的电压取决于该时刻电流的变化率。如果电流不变，则diL/dt=0，这时虽有电流，但电压却为零。因此，电感对直流起短路作用。而电感的电流变化越快，即diL/dt越大，感应电压就越大。把电感的电流表示为电压u的函数，则有：任选初始时刻t0，上式可再表示为：上式表明：在某一时刻t电感的电流值取决于初始值iL(