大数定律与中心极限定理1

大数定律与中心极限定理第五章大数定律与中心极限定理

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。只有在相同的条件下进行大量重复试验时,随机现象的规律性才会呈现出来。也就是说，要从随机现象中寻求必然的法则,应该研究大量随机现象。

研究大量的随机现象,极限工具无疑是最有效的方法。这导致了对极限定理的研究。

极限定理包含的内容很广泛,其中最重要的有两类:大数定律与中心极限定理要解决的问题为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？大样本统计推断的理论基础是什么？大数定律中心极限定理

大量随机现象中平均结果的稳定性：由于大量的随机现象中,个别随机现象所引起的偏差会相互抵消和补偿，致使大量随机现象的共同作用的总平均结果趋于稳定。

——大数定律的客观背景一、切比雪夫不等式在未知分布的情形下估计

P(|X-EX|<

)第一节大数定律证(仅就连续的情形给出证明)

由切比雪夫不等式可看出：DX越小,则事件{|X-EX|<

}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大。由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度不成立二、大数定律则由切比雪夫不等式，有定理表明：在n重贝努利独立试验中，当试验次数n→∞时，事件A的频率依概率收敛于事件A的概率。贝努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率方法的理论依据，即用频率估计概率是合理的。定理说明：

辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值,提供了一条实际可行的途径:

若视X

i

为重复试验中对随机变量X的第i

次观察,

例如,有一批产品,不知其寿命X的分布,为评价其质量，需确定其平均寿命X,随机的从中抽取n件产品并测得其寿命分别

例如要估计某地区的平均亩产量，可收割某些有代表性的地块，计算其平均亩产量，当n

较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个近似.

(1)所表示的关系记为我们把

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性

大数定律是随机现象统计规律的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用。Xn依概率收敛于a

Xn

服从大数定律

贝努利大数定律——小结

切比雪夫大数定律——

辛钦大数定律——中心极限定理的客观背景

在实际问题中,常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.

例如,炮弹射击的落点与目标的偏差,就受着许多随机因素的影响.

如瞄准时的误差,空气阻力所产生的误差,炮弹或炮身结构所引起的误差等等.重要的是随机因素的总影响.

自从高斯指出测量误差服从正态分布之后,人们发现正态分布在自然界中极为常见.

观察表明,如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成,

而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.第二节中心极限定理当

n无限增大时,这个和的极限分布是什么呢?在什么条件下极限分布会是正态的呢？在一般情况下,很难求出

X1+X2+

…+Xn

分布的确切形式,但当n很大时,可以求出这个和的近似分布.下面来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题:

研究n个随机变量之和的标准化随机变量的分布函数的极限.中心极限定理把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.应用中的概率解释：尽管该电网负责供应一万盏灯所需的电力,但提供

7200

盏灯所需的电力就能以

99.99%

的概率保证需求.

解

即要求最小的

k,使得

P(0X

k)0.

90

.由D-L中心极限定理：故至少应安装14条外线.解

设

X

为一年内总死亡人数，则

X

~

B(n,p)该活动中保险公司每年总收入为10000

×12

=120000,(1)

只有死亡人数多于120人时,公司才会赔本.(2)

仅当每年死亡人数不超过

80

人时,公司获利不少于40000元.

下面给出独立同分布随机变量序列的中心极限定理,也称Levy—Lindberg定理.可近似认为:解设一箱口服液净重为X

克,箱中第i瓶净重为

X

i(

i=1,…,200

)显然X

i

独立且同分布，且EX

i

=100,DX

i

=10

2

(i=

1,…,200).由独立同分布中心极限定理知

中心极限定理是概率论中最著名的结果之一,它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法,而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟型曲线这一事实.

不难发现,在许多领域里,研究的课题所碰到的许多随机现象都很好地近似正态分布