计算机控制系统03Z变换

第三章Z变换●z变换的定义；●z变换的方法●z反变换的方法§3.1Z变换的定义一．Z变换的引入：●连续系统：拉氏变换传递函数●离散系统：Z变换Z传递函数（脉冲传递函数）采样脉冲序列

拉氏变换，注意到f(nT)为常数

注意:e-kTs是一个延迟环节，延迟时间为kT，即k个采样周期(拍)。1.定义：新变量z

用z作自变量，替换F*(s)中的s

F*(t)的z变换2．讨论

（1）z-k的物理意义：

延迟k个采样周期。

y(kT)z-k表明z-k的系数是发生在第k个采样周期，即第k拍的值。

（2）一个函数的Z变换只在采样时刻才有意义。

如果

不能得出y1(t)=y2(t)的结论。（3）单边Z变换

t<0时，f(t)=0;k<0时,f(kT)=f(k)=0。（4）F(z)=Z[f*(t)],它并不是连续函数的Z变换，但习惯上也称F(z)为f(t)的Z变换，

Z变换本身包含着离散的概念。

总之：

Z变换的重要含义在于延迟与离散。

无穷递减等比级数的和1.单位脉冲函数(脉冲强度)二.典型函数（或序列）的Z变换

2.单位阶跃函数()3.单位斜坡函数单位阶跃Z变换两边对z求导,再乘以z。又：

5.正弦、余弦函数

欧拉公式4.指数函数

§3.2

Z变换的重要性质和定理

1.线性性质

设

则

脉冲序列线性组合的Z变换，等于其Z变换的线性组合。

2.平移定理(1)滞后定理（右移定理）

设

且

则：

一.Z变换的主要性质证：按Z变换的定义展开，注意到零初始条件从k=n项开始展开含义：y(kT-nT)是滞后于采样信号

y(kT)

n个采样周期的采样信号，

z-n代表滞后n拍开始采样。

例1：求有纯滞后的单位阶跃函数的Z变换。

例2

求

的Z变换。

解：

ak-1

是序列ak

滞后一拍的采样函数。(2)超前定理（左移定理）思考：的Z变换。

y(kT+nT)是超前于y(kT)n拍的采样信号，

zn代表超前n拍。例33初值定理

4终值定理若Z[y(kT)]=Y(z),且(z-1)Y(z)的全部极点都在单位圆内，则在零初始条件下☞证：∵两式相减：左边：两边取极限右边：

左边=∴解

∵F(z)是f(t)=1-e-at的Z变换，显然例4：

求f(∞)

的全部极点都在单位圆内，等效于Y(z)可以有一个极点为1，在单位圆上,而其余极点必须全在单位圆内。否则，不能使用终值定理。

注意：

5迭值定理*设

(前k项之和)

则6离散卷积定理*

若则

可由Z变换的定义证明（例3.6）教材P49,第18项有误！

7乘ak

后的Z变换若

则

证：

8复数平移定理：(乘

e-at

的Z变换)设证:

同理：则例5：求te-at

的Z变换由复数平移定理：同理可求二.求Z变换的方法

▲按定义计算（无穷级数求和）见典型函数Z变换

▲基于Z变换的定理

▲已知F(s)求F(z)

1.按定义计算

注意z-k的延迟含义。例：用定义法求下列函数序列的Z变换解：公比：a2z-2;b2z-2

2.基于Z变换的定理(2)部分分式法：将Y(s)展成部分分式，逐项查表(3)留数计算法

例6：已知函数求Y(z)解查表☞3.已知F(s)求F(z)

(1)原函数法：先由F(s)求f(t)，再计算F(z)留数计算法式中：qi为Y(s)的极点pi的阶数（重极点个数）；m为Y(s)彼此不同极点的个数。留数计算法对有理函数和无理函数都适用。例7求函数

的Z变换。解：

s=-a为二重根，∴q=2,m=1MATLAB:F=F(s)f=ilaplace(F)Z=ztranse(f)Z=simple(Z)(默认T=1)§3.3

Z反变换▼长除法;▼部分分式法;▼留数计算法一.长除法分母首一化，分子与分母都写成z-1的升幂形式，逐项相除；给出各拍数值。例1：求下式的Z反变换(演算)MATLAB程序：v=[012000000]u=[5-1.50.5][q,r]=deconv(v,u)q=[02.40.72–0.024–0.0792–0.0214]Y(z)=2.4z-1+0.72z-2-0.024z-3+...y(0)

=?y(3T)

=?采样信号：f*(t)=2.4(t-T)+0.72(t-2T)–0.024(t-3T)+…二.部分分式展开法(1)Y(z)无重极点将展成部分分式例2：见教材例3.13,3.14.注意结果的最后表达(2)有非零的重极点时，二重极点展成查表或者将重极点展开成：用对比系数法或求导法确定b1,b2表3.2第20项☝例3：求

的Z反变换解：

求出c1=-20

，b1=7,b2=2,例4：教材例3.15求得b2=b1=-1,c=2,代入注意三留数计算法（反演积分法）

f(kT)等于F(z)zk-1全部极点留数之和

（1）F(z)zk-1中非重极点pi的留数(2)

F(z)zk-1中q重极点pj的留数注意：(1)一个重极点