自动控制原理第二章1

1第二章控制系统的数学模型本章难点及基本要求：能利用学过的各方面知识建立简单数学模型。熟练运用方框图变换化简方法获得系统的传递函数（这是本章的重点）本章主要介绍4种数学模型：微分方程、传递函数、结构图、信号流图以及相关的一些知识。这是控制系统分析的基础。2

在生产实际中的自动控制系统的种类很多，有机械的、生物的、电器的、社会经济的等，对于一个具体的自动控制系统来说，我们最关心的是该系统最终是否能为我们服务，也就是说我们关心的是对某自动控制系统给一个输入信号后，它的输出将如何变化，能不能达到我们的要求。这是我们设计控制系统最为关心的事情。为此我们要对系统进行分析何谓系统分析？

在分析控制系统时已知系统的输入，来研究系统的输出将如何变化，称为系统分析。3设计和分析任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立数学模型的方法分为解析法和实验法建模方法：解析法：根据所遵循的物理、化学、生物等规律列写系统的运动方程。

实验法：通过实验的方法，由系统对输入信号响应，确定系统的运动方程。总结：前种方法适用于简单，典型，通用常见的系统；而后种适用于复杂，非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效.5一、列写运动方程的步骤

用解析法建立运动方程的步骤是：1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容：①将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列；③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定物理意义的系数。6线性系统的特点线性微分方程有一定标准解法；适用叠加原理工程控制中，大多数系统都可以忽略一些因素看作为线性系统。经典控制理论主要研究的线性定常系统72-1控制系统微分方程的建立基本步骤：分析各元件工作原理,明确输入、输出量建立输入、输出量的动态联系消去中间变量标准化微分方程8

列写微分方程的一般方法例1.

列写如图所示RC网络的微分方程。RCuruci解：由基尔霍夫定律得:式中:i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变量i,可得:令（时间常数），则微分方程为：例2.

设有一弹簧--质量--阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为M。11解：分析质量块m受力，有外力F,弹簧恢复力

Ky（t）阻尼力惯性力根据牛顿第二定律式中：Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。将各力代入上等式，则得式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系数（N/m/s);K——弹簧刚度（N/m)。将（2-4）式的微分方程标准化T称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了M－K－f系统的动态，它是一个二阶线性定常微分方程。令，即

，则可写成14例3

液面控制系统，这里我们主要研究进水量Q1与液面高度H的变化关系,即Q1位输入量，H为输出量。其它量均为中间变量给定输入Q1干扰输入Q2液面HS—水箱底面积解：若研究Q1变化后，液面高度H的变化规律，我们知道水是不可压缩，根据质量守恒定律（1）式中：---为中间变量，为流量系数将（1）式整理得：将代入上式得：

很显然这是一非线性微分方程，也就是说此液面控制系统为非线性系统例4：直流电机转速开环控制系统uaEdLaRaiaLa—电枢绕组的电感Ra—电枢绕组的电阻Ia—电枢电流Ed—电枢转动时，在电枢绕组上产生的反电势将以上系统用方框图描述直流电动机开环速度控制系统给定输入Ua系统输出n干扰输入Mc解：根据刚体旋转运动定律（1）式中：---电机的转动惯量--电磁力矩；；电磁力矩常数由（1）式整理，得得：---中间变量又由克希夫电压平衡定律（2）又反电势常数联立（1），（2）式消除中间变量，得系统的数学模型式中：讨论：当系统负载不变时，改变输入电压，观察电机转速变化情况当输入电压不变时，改变负载，观察电机转速变化情况当输入电压和负载同时变化时，观察电机转速变化情况20例5

直流电机转速闭环控制系统解：解此题我们首先绘制出系统的方框图ub电压放大功率放大电机测速发电机ubueuiuanuf-Mc

从系统方框图中可见，系统有两个输入量Ub,Mc，系统的输出为电机的转速n逐个写出个环节的微分方程比较环节

放大环节控制对象—电机（例3），测速发电机联立以上四个方程，消除中间变量，得系统可简化为：电动机UbMcn232－2

微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的都具有不同程度的非线性，如下图所示一、小偏差线性化的基本概念于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化很有必要。

对弱非线性的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。

平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系为如下所示的非线性25在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数进行泰勒展开，由数学关系可知，当很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。可得，简记为y=kx。若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）

经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示的非线性为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。27叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。例：

设线性微分方程式为若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当＋时，必存在解为，即为可叠加性。28

上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。若时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。二、微分方程的增量化描述以电机转速闭环控制系统为例电压放大功率放大电机测速发电机ubueuiuanuf-Mc系统的微分方程为可见系统有两个输入量{Ub--系统的给定输入Mc--系统的干扰输入

要想知道Ub，Mc变化时，输出量n的具体变化情况，就要解上述微分方程，我们知道解二阶微分方程需要两个初始条件，才能确定积分常数。即时，对于转速控制系统来说，有两种情况是我们关心的问题1）当系统处于静止状态，开始进入运行时，系统能否进入我们需要的工作状态。

----初始条件全为0此时：

系统的初始条件不全为0，给我们带来一个十分麻烦的问题，使得我们无法定义传递函数。我们知道传递函数是经典控制理论的数学基础，2）当系统已经处于一个相对稳定的运行状态，此时系统突然出现干扰，系统是否具有抗干扰的能力，当干扰消除或系统是否回到原有的平衡状态----初始条件不全为0此时：为此我们要寻找一种方法把初始条件不全为0初始条件全为0采用方法

将系统原平衡状态电（相对静止点）作为新的坐标原点，以新坐标原点的增量作为系统的变量，取代原变量，得到以增量形式的运动方程，对增量形式的运动方程，求解时，其初始条件就全为0。解决了定义传递函数的问题。

我们以电机转速控制系统为例，来看看此方法在实际中是否可行

该系统有两个输入量，当系统的两个输入量均为常数时，系统的输出也应为一个常数（1）}系统输出此时系统的静态方程为（2）当系统在原输入的基础上有个总量变化}系统输出系统数学模型，得化简（3）输入发生变化时系统的变化情况，将（3）式与（2）相减，得（4）

从（4）可见它与（1）在形式上完全一样，只是（4）的变量前面多了一个增量符号，实际上控制理论书中的微分方程均为增量方程，只是为书写方便书写时省去了增量符号而已。所以在以后在控制理论书中见到的微分方程多应该想到它是增量方程（1）（4）

由此可见上式描述的是在平衡状态点（ub0,Mc0，n0）的基础上改变Ub，Mc时，系统输出n对应的变化关系。这种增量表示，好似数学中的坐标原点平移法(ub0,Mc0,n0)Ub0MUbMc0()在新的坐标下的变量n038

我们将系统的平衡状态点（相对静止点）作为新的坐标原点的方法是有其使用价值的，因为对于一个控制系统我们做关心的应该是当其受到外界干扰影响时，它是否能够抵抗干扰重新回到稳定状态。增量化方程有两大优点：（1）以增量方程表示的系统，可以使系统的运动初始条件全为0（2）以增量化表示系统便于非线性系统的线性化处理39二、举例

在实际中完全的线性系统几乎是不存在的，既是我们常说的线性系统，也是在一定的工作范围内才保持一定的线性关系，也就说我们滤去那些对控制过程的进行不会有重大影响的因素，来建立微分方程，以求得方程的简化。40我们为什么要这样做？

在高等数学的学习中我们知道，对于非线性微分方程至今尚没有通用的求解方法，这就给我们进行系统分析带来了困难，为此要解决此问题提出了非线性系统的线性化问题。下面我们以水面控制系统为例，讲述非线性系统线性化的问题41例

液面控制系统给定输入Q1干扰输入Q2液面HS—水箱地面积解：若研究Q1变化后，液面高度H的变化规律，

很显然这是一非线性微分方程，也就是说此液面控制系统为非线性系统。为研究问题方便，对此方程进行线性化处理也就是说要将，这种非线性关系用线性关系取代。具体方法是将，这一非线性函数在原平衡点（Ha0，Qa0)处展开成泰勒级数在此平衡点工况下，对应有：

将在平衡点a处展开成泰勒级数

在液面变化过程中，由于Q1变化，对应于水位变化很小，那么更小，可视为高阶无穷小而忽略不计。H故所以系统的增量方程为：a平衡点Q2Ha0Q20Q2H所以非线性方程经线性化处理后为线性化处理从上例的线性化处理过程可见Q1变化S很大使H变化很小才有很小，故维高阶无穷小而忽略不计

否则在Q1变化，使得H变化较大，则线性化后将产生较大的误差，可见线性化是有条件。462-3传递函数

前面我们已经向大家介绍了自动控制系统在一定输入作用下，系统输入、输出相关的线性微分方程的编写的基本方法，为了进一步研究自动控制系统在一定输入作用下系统的输出的性能如何？最直接的方法就是求解系统的微分方程，取得输出量的时间函数曲线，然后再根据曲线对系统进行分析。但是对于复杂的系统（高阶系统）直接求解方程式非常困难的，于是我们引入了新的数学方法---拉普拉斯变换，这样可以把高数中求解微分方程中的积分和微分的运算转化代数方程的求解和直接查表的方法，使得求解微分方程变得简单化。在此基础上人们引入了传递函数的概念。47

在以后的学习中可以看到，传递函数是分析和综合自动控制系统的一种很方便的数学工具，通过传递函数的使用可是系统分析和设计工作大大简化。例1利用拉普拉斯变换的方法求解微分方程初始条件：

解：为求解，首先对原微分方程进行拉普拉斯变换将初始条件代入等式的右边的常数2，视为幅值为2的阶跃函数，即为2*1(t)所以经过拉普拉斯变化后的微分方程为：整理后得出对上式进行拉普拉斯反变换，即可的出方程的解y(t)

如何进行拉普拉斯反变换？一般情况下y(s)的形式是各种各样，有些是不能直接从拉普拉斯表中查出，需要进行一定的变换成为最简式后，在查拉普拉斯变换表，即可得出y(s)的原函数Y(t)。(1)式中：k1,k2,k3为待定系数求k1:

将（1）式两边同乘以s，后令s=0求k2:将（1）式两边同乘以（s-3），后令s=3求k3:将（1）式两边同乘以（s+2），后令s=-2得，系统输出的原函数查拉普拉斯反变换表，得

从一上解微分方程的全过程可见，整个过程都在进行一些代数运算，而没有高数中求解微分方程的积分和微分的运算，使整个求解过程简单方便。一、传递函数的概念与定义

所谓传递函数---线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉斯拉斯变换y(s)与输入量的拉普拉斯变换R(s)之比，称为该系统的传递函数一般记为：例2：我们以RC网络为例，看看如何建立系统的传递函数RCuruci解：联立方程组，消除中间变量i，得：在零初始条件下，进行拉普拉斯变换，得：根据传递函数的定义，得：---RC网络系统的传递函数54在此基础上我们加以推广假设某系统的运动微分方程为：式中：Y(t)---系统的输出量；r(t)---系统的输入量

在零初始条件下，对上式进行拉普拉斯变换，得：整理，得56则系统的传递函数注意传递函数是微分方程在初始条件为零的情况下，通过拉普拉斯变换得到的，因此它也是系统的一种数学模型。如果已知系统的传递函数和系统的输入量的拉普拉斯变换，可由上式得到在零初始条件下，系统的输出的拉普拉斯变换。传递函数是复变量s的有理真分式，各系数为实数

从物理意义上讲，我们知道任何系统都是有惯性，能量也不会自行产生。系数为实数，因为方程中的系数，都是组成系统元件的具体参数，而元件参数只能是实数。传递函数只取决于系统的结构，而与外作用形式无关一定的传递函数有一定的零、极点与之对应式中：--传递函数的零点--传递函数的极点传递函数的分母，即为系统的特征方程，所以极点又称为系统的特征根传递函数是由拉普拉斯变换得到的，所以传递函数只适用于线性定常系统二、典型环节

在实际中的自动控制系统，其种类很多，构成系统的物理意义和功能上有本质的差别，但我们抛开它们物理意义和功能，仅仅从描述它们的数学模型(微分方程、传递函数等等）的类型去分类，那么构成控制系统基本类型共有六大类，我们把这些基本类型成为典型环节。这些典型环节，尽管它们的物理本质差别和很大，但它们的动态性能却是相同的。例如：两级RC串联滤波网络和弹簧—阻尼—质块系统，它们在物理上本质在有本质的区别，但它们有相同类型的数学模型urR1R2C1C2i1i2Uc2

一个描述系统的传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称作典型环节。常见的几种形式有：比例环节（放大环节或无惯性环节）

凡是系统的输入、输出之间可以用以下数学方程描述的系统统称为比例环节式中：y(t)-系统的输出；r(t)-系统的输入

对上式进行拉普拉斯变换得到放大环节的传递函数。

放大环节我们见到的很多，例如：测速发电机、齿轮传动等等62放大环节的特点

比例环节其输入与输出之间无时滞和失真，输出按比例的反映系统的输入变化。t比例环节G(s)=kr(t)t1Y(t)k比例环节运用实例63惯性环节

凡是系统的输入、输出之间可以用一阶微分方程描述的系统统称为惯性环节式中：T---为环节的时间常数环节的传递函数64惯性环节r(t)1Y(t)k特点：

系统的输出量的变化落后于系统的输入量的变化。T越大，系统的惯性越大，系统的输出落后越大。当T很小时，可忽略系统惯性，把此环节视为比例环节。惯性环节应用实例微分环节微分环节又分为理想微分环节和实际微分环节两种理想微分

凡是系统的输出量与输入量的导数成正比的系统，统称为理想微分环节。其数学描述为：66将上式经过拉普拉斯变换后，得到环节的传递函数式中：T---为系统的时间常数为什么称此环节为理想微分环节？是因为此环节在实际工程中是难以构造的例如理想微分环节输入一单位阶跃信号，即r(t)1在t=0时刻，输入量r(t)从0变化为1当t>0时，r(t)=1理想微分G(s)=Ts

可见理想环节的输出量，在t=0时刻，y(t)为无穷大，在t>0时，y(t)=0，r(t)1Y(t)0

我们知道任何元件都具有惯性，像这样瞬间从无穷大变化到0，这样的元件在实际中无法构造，所以我们称它为理想微分环节。实际微分

凡是系统的输入量与系统的输出量之间可以用一下微分方程描述的，统称为实际微分环节。上式进行拉普拉斯变换，得到环节的传递函数

可见实际微分环节实际上由理想微分和惯性环节串联组成的，此环节在实际中我们是可以构造出来的。实际微分环节的输出特点实际微分1r(t)Y(t)例：实际中的CR网络，就是一典型的实际微分环节uiRCi解：根据克希夫定律uo联立方程组，消除中间变量，得到系统数学模型式中：T=RC故CR网络的传递函数为如给CR网络输入一单位阶跃信号，即：系统输出得像函数为：72系统输出为：（经过整理变换后，查拉普拉斯反变换表得）其输出曲线为：当t=0时当t>0时呈指数衰减变化当t=时Y(t)

从CR电路输出特性可清楚地说明，电路电压不能突变，当输入电压突然加上去时，电容仍为通路，因此，随着电容的充电，电容电压升高，电路电流减少，最终当电容两端的电压等于输入电压时，i=0，

73微分环节对控制系统的影响使系统输出提前例：一比例环节，其环节的传递函数G(s)=1比例环节G(s)=1r(t)Y(t)

再在此环节中并联一微分环节后，系统的输出情况。比例环节G(s)=1Y1(t)微分环节G(s)=Tsr(t)r(t)TY2(t)Y(t)理想微分环节：输入r(t)=t，输出

bt1t2

从上途中可见，在相同输入的情况下，输出要达到y(s）=b，在步并联微分环节需要经过时间t2，而并联微分环节后只需要时间为t1，显然t1<t2。所以微分环节是系统输出提前了Y1+Y275

这里为研究问题方便采用的理想微分环节，当采用实际微分环节取代理想微分环节时，也会提高系统的快速性，只是效果不如理想微分环节。积分环节

凡是环节的输出量正比于输入量对时间的积分，此类环节统称为积分环节。即其数学描述为或式中：T---积分时间常数环节的传递函数为：76特点:只要输入不为0，输出的幅值将不断增加积分环节G(s)=1/Ts1r(t)Y(t)振荡环节

凡是环节的输入、输出之间可以一下二阶微分方程加以描述的，统称为振荡环节式中：T---时间常数；

---阻尼比77环节的传递函数或标准形式式中：---无阻尼固有频率；---阻尼比注意：

振荡环节，在控制系统中是十分常见的，关于其特性我们在第三章时间响应分析中作详细介绍。78延时环节特点：输出信号经过一段延时时间后，才完全复现输入信号延时环节11r(t)Y(t)环节输出的数学描述：79对上式进行拉普拉斯变换令t-=u，故有t=u+，dt=du，当t=时，u=0，t时，u(1)80故：延时环节的传递函数延时环节在生产实际中是常见的。如机械传动中两齿轮存在间隙；气动技术种气体的可压缩性等

这些都可能使系统产生延时，在计算机控制系统中，需要时间所以也会出现延时等81

延时环节的传递函数为以超越函数，在系统分析中，处理此函数是比较麻烦的，因此当延时环节的时间常数较小时，常把延时环节展开成泰勒级数，并略去高次项，将延时环节简化。

由此可见延时环节在

较小时，可近似为一惯性环节

以上所列举的是一些常见的典型环节，而许多复杂的系统（元件）可以看成是这些典型环节中的某些环节的组合，把复杂的物理系统划分为若干典型环节利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一个重要方法。822－4控制系统的传递函数

----动态结构图一、动态结构图的基本概念前面我们介绍的直流电机转速控制系统时，首先从原理图方框图

83

从方框图中可见，从信号传递上来讲是清楚地，但信号传递之间的函数关系尚不明确，为补尚这些不足，我们将方框图改造成动态结构图改造的方法：将每个环节（方框）内填入该环节的传递函数，环节的输入、输出箭头对应表示如：G(s)R(s)Y(s)我们来绘制电机转速控制系统的动态结构图电压放大功率放大电机测速发电机ubueuiuanuf-比较环节Ue=Ub-UfUe(s)=Ub(s)-Uf(s)_Ub(s)Ue(s)Uf(s)放大环节Ua=KdUeUa(s)=KaUe(s)KaUe(s)Ua(s)电机Ua(s)n(s)测速发电机Uf=knnUf(s)=knn(s)knUf(s)n(s)86电机转速控制动态结构图_Ub(s)Ue(s)比较环节KaUa(s)放大环节n(s)控制对象电机kn检测环节特点信号传递流程清楚信号与信号之间的函数关系也是清楚地Uf(s)87

以上我们绘制了电机转速控制系统的动态结构图，图中各环节的传递函数我们都可以求了，那么如何由系统的动态结构图求系统的传递函数？即：

要从系统动态结构图中求系统的传递函数，就必须对动态结构图做一些相应的等价变换和化简。

88动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。特别强调89动态结构图的概念系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、综合点和引出点。信号线：

表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。902.

传递方框G(s)方框的两侧应为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。913.

综合点综合点亦称加减点，表示几个信号相加减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。＋省略时也表示＋也就是说+可省略924.引出点（又称分支点）

表示同一信号传输到几个地方。而且信号在此只取信息，不取能量。引出点93二、动态结构图的基本连接形式

方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。G1(s)G2(s)R(s)Y(s)1、串联环节942.并联连接

两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。G1(s)G2(s)R(s)Y(s)=Y1(s)Y2(s)Y1(s)Y2(s)953.反馈连接

一个方框的输出信号，输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。G(s)R(s)－y(s)H(s)96三、系统动态结构图的构成构成原则：

按照动态结构图的基本连接形式，将构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。97举例说明系统动态结构图的构成urcR1i1i2R2iuc例（教材例题2-6）建立RC无源网络的结构图解：列写系统的微分方程组

将上式各式进行拉斯变化，绘制相应的结构图-Uc(s)Ur(s)I2(s)R1CsI2(s)I1(s)R2I1(s)+I2(s)Uc(s)-Uc(s)Ur(s)I2(s)R1CsI2(s)I1(s)R2I1(s)+I2(s)Uc(s)R2I1(s)+I2(s)Uc(s)-Uc(s)Ur(s)I2(s)R1CsI1(s)101以机电随动系统为例，如下图所示103其象方程组如下：104系统各元部件的动态结构图(1)105系统各元部件的动态结构图(2)106系统各元部件的动态结构图(3)107系统各元部件的动态结构图(4)108系统各元部件的动态结构图(5)109系统各元部件的动态结构图(6)110系统各元部件的动态结构图(7)111系统各元部件的动态结构图(8)112例:两极RC滤波网络urR1c1u1i1uci2113113Ur(s)1/R1-U1(s)I1(s)1/c1s-I1(s)I2(s)U1(s)1/R2U1(s)-Uc(s)I2(s)1/c2sI2(s)Uc(s)114Ur(s)1/R1-U1(s)I1(s)1/c1s-I2(s)U1(s)1/R2-Uc(s)I2(s)1/c2sUc(s)115结构图的等效变换

---教材p24传递函数的运算思路：

在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构进行逐步的归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。1161.串联结构的等效变换串联结构图G1(s)G2(s)R(s)y(s)U(s)1171.串联结构的等效变换等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)y(s)U(s)1181.串联结构的等效变换等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)y(s)U(s)1191.串联结构的等效变换串联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)y(s)U(s)G1(s)•G2(s)R(s)y(s)两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。120推广，若n个环节串联G1(s)G2(s)...Gn(s)R(s)Y(s)G1(s)G2(s)...Gn(s)R(s)Y(s)故串联环节的传递函数1212.并联结构的等效变换并联结构图y1(s)G1(s)G2(s)R(s)y(s)y2(s)122等效变换证明推导(1)G1(s)G2(s)R(s)y(s)y1(s)y2(s)2.并联结构的等效变换等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)Y(s)Y2(s)Y1(s)124

并联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)Y(s)Y1(s)Y2(s)G1(s)G2(s)R(s)y(s)

两个并联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。125推广，n各环节并联G1(s)G2(s)Gn(s)...R(s)Y1(s)Y2(s)Yn(s)Y(s)G1(s)G2(s)...Gn(s)R(s)Y(s)并联环节的传递函数1263.反馈结构的等效变换反馈结构图G(s)R(s)y(s)H(s)B(s)E(s)y(s)=?3.反馈结构的等效变换等效变换证明推导G(s)R(s)Y(s)H(s)B(s)E(s)

构成反馈时信号形成环形闭合，环形有两条信号线组成

前向通道反馈通道128G(s)R(s)Y(s)H(s)B(s)E(s)前向通道

所谓前向通道----信号从输入到输出每个环节只经过一次，这样的信号通道成为前向通道前向通道的传递函数129反馈通道G(s)R(s)Y(s)H(s)B(s)E(s)所谓反馈通道----将输出信号返送到输入端，并与输入信号比较产生偏差信号，对系统实施控制作用的信号通道，称为反馈通道反馈通道的传递函数130G(s)R(s)Y(s)H(s)B(s)E(s)

信号从E(s)传递到B(s),其传递函数

称为该闭环系统的开环传递函数，是指反馈信号与偏差信号的拉斯变换比由前向通传递函数反馈通道传递函数又联立以上方程组，消去中间变量，得：131移项整理得：故得反馈系统的闭环传递函数132注意当H(s)=1时，称为单位反馈从反馈系统的闭环传递函数的计算推导中可见133

找到了它的规律，在以后的计算中，遇到此类的计算时就可直接用此结论。到此，我们前面的电机转速控制系统，求系统的闭环传递函数的问题就解决了反馈结构的等效变换图C(s)G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)134_Ub(s)Ue(s)KaUa(s)n(s)knUf(s)有了我们前面的介绍我们就可以求得电机闭环系统的传递函数了135例（教材例题2-6）建立RC无源网络的结构图urcR1i1i2R2iuc如何求该系统的传递函数?136例:两极RC滤波网络urR1c1u1i1uci2如何求该系统的传递函数数??137举例例1：教材P54图2-14G1(s)G2(s)H(s)_X2(s)x1(s)F(s)E(s)R(s)C(s)Y(s)由动态结构图可以看出该系统有两个输入R(s)(给定），F(s)（干扰）。138我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、输入关系，因此，在此运用叠加原理在求C(s)对R(s)的关系时，即给定输入下的系统传递函数GRE(s)=CR(s)/R(s)，根据线性叠加原理，可取干扰F(s)＝0，即认为F(s)不存在。在求C(s)对F(s)得关系时，即干扰数如下的系统传递函数GFE(s)=CF(s)/F(s)1、c(s)对给定输入信号R(s)的闭环传递函数G1(s)G2(s)H(s)_X2(s)x1(s)E(s)R(s)C(s)Y(s)139步骤1--合并前向通道的串联环节G1(s)G2(s)H(s)_X2(s)x1(s)E(s)R(s)C(s)Y(s)G1(s)G2(s)H(s)E(s)Y(s)_R(s)C(s)140步骤2---简化反馈结构图G1(s)G2(s)H(s)E(s)Y(s)_R(s)C(s)R(s)C(s)1412、c(s)对干扰信号F(s)的闭环传递函数G2(s)H(s)G1(s)_Ex1x2F(s)C(s)y步骤1---合并反馈通道的串联环节G2(s)-G1(s)H(s)F(s)C(s)系统动态结构图可做一下变化142步骤2---简化反馈结构图G2(s)-G1(s)H(s)F(s)C(s)F(s)C(s)1433、R(s)、F(s)同时作用与系统时，C(s)的总输出C(s)=CR(s)+CF(s)=GRc(s)R(s)+GFc(s)F(s)根据线性系统的叠加原理4、偏差信号E(s)对输入信号R(s)的闭环传递函数G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)_1445、E(s)对干扰信号F(s)的闭环传递函数G2(s)H(s)_yG1(s)F(s)E(s)x2x1问题：从以上求出传递函数，大家发现有什么规律吗？1456、R(s)、F(s)同时作用时，则思考题：1、求以R(s)为输入，X1(s)为输出时，系统的传递函数；2、求以R(s)为输入，y(s)为输出时，系统的传递函数；146闭环系统的特征方程式对同一个控制系统，无论是系统传递函数还是误差传递函数，它们都有一个共同的特点，拥有相同的分母，这就是闭环系统的本质特征，我们将闭环传递函数的分母多项式称为闭环系统的特征方程式。它与输入无关，仅与系统本身的结构和参数有关。1472-5

控制系统的方框图及其化简在复杂的控制系统中，除了主反馈外，还有一些互相交错的局部反馈。在对系统进行分析时，要简化系统的结构图，以求得系统的传递函数，常常需要对信号的引出点（分支点)或相加点（综合点）进行变位运算，下面我们介绍一下变位运算的原则：148

例如

从以上方框图中可见，反馈结构图中出现了交叉，这种情况就不能使用我们前面讲过的方法，直接简化动态结构图了，要求系统的传递函数必须解脱图中的交叉。1491.综合点的移动1）综合点后移

G(s)R(s)y(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)y(s)综合点移动的原则：保证输出信号不变150G(s)R(s)y(s)Q(s)综合点后移证明推导（移动前）151G(s)R(s)y(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）152移动前G(s)R(s)y(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)y(s)？移动后综合点后移证明推导（移动前后）153G(s)R(s)y(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）154G(s)R(s)y(s)Q(s)G(s)R(s)y(s)Q(s)G(s)综合点后移等效关系图155G(s)R(s)y(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)y(s)2）综合点前移156G(s)R(s)y(s)Q(s)综合点前移证明推导（移动前）157G(s)R(s)y(s)Q(s)？综合点前移证明推导（移动后）158移动前G(s)R(s)y(s)Q(s)G(s)R(s)y(s)Q(s)？移动后综合点前移证明推导（移动前后）159综合点的移动（前移）综合点前移证明推导（移动后）G(s)R(s)y(s)Q(s)？160综合点的移动（前移）综合点前移等效关系图G(s)R(s)y(s)Q(s)G(s)R(s)y(s)Q(s)1/G(s)1613）综合点之间的移动R(s)y(s)q(s)X(s)R(s)y(s)q(s)X(s)162综合点之间的移动结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。R(s)y(s)q(s)X(s)R(s)y(s)q(s)X(s)注意当两综合点有信号引出时，此时不能随意交换位置1632、引出点的移动1）引出点后移G(s)R(s)y(s)R(s)？G(s)R(s)y(s)R(s)问题：要保持取出的信号传递关系不变，

？等于什么。引出点移动原则：保证移动前后取出信号不变164引出点后移等效变换图G(s)R(s)y(s)R(s)G(s)R(s)y(s)1/G(s)R(s)1652）引出点前移问题：

要保持取出的信号传递关系不变，？等于什么。G(s)R(s)y(s)y(s)G(s)R(s)y(s)？y(s)166引出点前移等效变换图G(s)R(s)y(s)y(s)G(s)R(s)y(s)G(s)y(s)1673）引出点之间的移动ABR(s)BAR(s)168引出点之间的移动相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。ABR(s)BAR(s)169二、举例说明（例1）例1：利用结构图变换法，求位置随动系统的传递函数Qc(s)/Qr(s)。170例题分析由动态结构图可以看出该系统有两个输入r，ML（干扰）。我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、输入关系，因此，在求c对r的关系时，根据线性叠加原理，可取力矩

ML＝0，即认为ML不存在。要点：结构变换的规律是：由内向外逐步进行。171例题化简步骤（1)合并串联环节：172例题化简步骤（2)内反馈环节等效变换：173例题化简步骤（3)合并串联环节：174例题化简步骤（4)反馈环节等效变换：175例题化简步骤（5)求传递函数Qc(s)/Qr(s)

：176二、举例说明（例2）例2：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。177例2（例题分析）本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。例2（解题思路）解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。178例2（解题方法一之步骤1）将综合点2后移，然后与综合点3交换。179例2（解题方法一之步骤2）180例2（解题方法一之步骤3）181例2（解题方法一之步骤4）内反馈环节等效变换182例2（解题方法一之步骤5）内反馈环节等效变换结果183例2（解题方法一之步骤6）串联环节等效变换184例2（解题方法一之步骤7）串联环节等效变换结果185例2（解题方法一之步骤8）内反馈环节等效变换186例2（解题方法一之步骤9）内反馈环节等效变换结果187例2（解题方法一之步骤10）反馈环节等效变换188例2（解题方法一之步骤11）等效变换化简结果189例2（解题方法二）将综合点3前移，然后与综合点2交换。190例2（解题方法三）引出点A后移191例2（解题方法四）引出点B前移192结构图化简步骤小结确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。193结构图化简注意事项：有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动；尽量避免综合点和引出点之间的移动。194五、用梅逊（S.J.Mason）

公式求传递函数梅逊公式的一般式为：梅逊公式参数解释：1）G(s)---待求的总的传递函数2）1953）4）5）6）7）196注意事项：“回路传递函数”是指反馈回路的前向通路和反馈回路的传递函数的乘积，并且包含代表反馈极性的正、负号。197举例说明（梅逊公式）例1：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)198求解步骤之一（例1）找出前向通路数n199求解步骤之一（例1）前向通路数：n＝1200求解步骤之二（例1）确定系统中的反馈回路数2011.寻找反馈回路之一2021.寻找反馈回路之二2031.寻找反馈回路之三2041.寻找反馈回路之四205利用梅逊公式求传递函数(1)206利用梅逊公式求传递函数(1)207利用梅逊公式求传递函数(2)208求余子式1将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特征式的求法，计算求余式1将第一条前向通道从图上除掉后的图210图中不再有回路，所以1=1211利用梅逊公式求传递函数(3)212例2：用梅逊公式求传递函数试求如图所示的系统的传递函数。213求解步骤之一：确定反馈回路214求解步骤之一：确定反馈回路215求解步骤之一：确定反馈回路216求解步骤之一：确定反馈回路217求解步骤之一：确定反馈回路218求解步骤之二：确定前向通路219求解步骤之二：确定前向通路220求解步骤之三：求总传递函数221例3：对例2做简单的修改2221.

求反馈回路1G1H1H2G4G3G2RC2231.求反馈回路2G1H1H2G4G3G2RC2241.求反馈回路3G1H1H2G4G3G2RC2251.求反馈回路4G1H1H2G4G3G2RC2262.

两两互不相关的回路1G1H1H2G4G3G2RC2272.两两互不相关的回路22282.求前向通路1G1H1H2G4G3G2RC2292.

求前向通路22303.求系统总传递函数