线性系统理论第三章

第三章线性系统的运动分析3．1引言

数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。解的存在性和唯一性条件

设系统状态方程如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。从数学观点，上述条件可减弱为：①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：当且仅当状态方程的解为存在和唯一，对系统的运动分析才有意义。③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：条件②③可一步合并为要求B(t)、u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上绝对可积。本章随后各节中，均加设系统满足上述解的存在性和唯一性条件。②输入矩阵B(t)的各个元bij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：线性系统运动＝零输入响应＋零初态响应3．2连续时间线性时不变系统的运动分析

系统的零输入响应令输入u(t)=0而得到系统自治状态方程结论1.系统自治状态方程的解，具有以下形式其中若初始时间取为t0≠0则连续时间线性时不变系统的运动分析是本章讨论的重点

设其解是t的向量幂级数则由对应项系数相等关系有式中x0，b1，…，bk，都是n维向量，且x(0)=b0，故定义：矩阵指数函数矩阵指数函数的性质

(4)

设A和F为两个同维可交换方阵，即AF=FA则有矩阵指数函数的算法

1：定义法2：特征值法1）若A的特征值为两两互异则

只能得到eAt的数值结果，难以获得eAt解析表达式，但用计算机计算，具有编程简单和算法迭代的优点。P为变换A为约当规范型的变换矩阵p=[v1、v2、…vn]其中v1、v2、…vn为A的n个特征向量。2）若A的特征值出现重根其中则其中假设的i几何重数为1例三个互异特征根1＝－1，2＝－2，3＝－3例

三个重特征根1＝2＝3＝1，i=3，=23：有限项展开法设根1、2、…

n

为A的n个互异特征值若1为n重特征值例

4：预解矩阵法例:已知，求eAt解：证明：其解为：系统的零初态响应当x(0)=0时，线性时不变系统状态方程系统状态方程的解，具有以下形式系统状态运动规律的基本表达式

设系统的状态空间描述为其解为：对初始时刻t0=0情形有表达式3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵设连续时间线性时不变系统，状态方程为：基本解阵

矩阵方程的解阵称为连续时间线性时不变系统(1)的基本解阵。其中H为任意非奇异实常阵结论：(1)基本解阵不唯一

(2)由系统自治方程的任意n个线性无关解为列可构成一个基本解阵。(3)连续时间线性时不变系统(1)的一个可能的基本解阵为状态转移矩阵

矩阵方程的解阵(t-t0)

称为连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵。结论：1:连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵可由基本解阵定出2:状态转移矩阵(t-t0)

唯一，与基本解阵的选取无关。3:状态转移矩阵的形式为基于状态转移矩阵的系统响应表达式

状态转移矩阵的特性3.5连续时间线性时变系统的运动分析

状态转移矩阵设连续时间线性时变系统，状态方程为对连续时间线性时变系统，矩阵方程：的解矩阵(t,t0)称为状态转移矩阵。矩阵方程的解矩阵(t)称为基本解阵,其中H为任意非奇异实常值矩阵。线性时变系统的运动不管是规律形态还是分析方法都要复杂得多，但运动规律表达式形式上十分类似于线性时不变系统。结论：①基本解阵不唯一②对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵可由系统自治状态方程的任意n个线性无关解为列构成③对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵结论：①状态转移矩阵为唯一②状态转移矩阵的形式状态转移矩阵的性质

系统的状态响应

结论：对连续时间线性时变系统，状态方程的解状态运动计算上的困难对连续时间线性时变系统，一般难以确定状态转移矩阵的解析表达式，主要用于理论分析中。可用数值方法求解。

线性系统状态运动表达式在形式上的统一性。3.6连续时间线性系统的时间离散化基本约定：

1）对采样方式的约定采样方式取为以常数T为周期的等间隔采样，采样时间宽度△比采样周期T小得多。2）对采样周期T大小的约定满足Shamnon采样定理给出的条件3）对保持方式的约定零阶保持方式

无论是采用数字计算机分析连续时间系统运动行为，还是采用离散控制装置控制连续时间受控系统，都会遇到将连续时间系统化为离散时间系统的问题。基本结论：

给定连续时间线性时变系统则其在基本约定下的时间离散化描述为其中结论：

给定连续时间线性时不变系统则其在基本约定下的时间离散化描述为其中结论：①时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性②离散化系统属性：不管系统矩阵A(t)或A是非奇异或奇异，其离散化系统的系统矩阵G(k)和G必为非奇异。例：线性定常系统的状态方程为设采样周期T=1秒，试求其离散化状态方程。解

3.7离散时间线性系统的运动分析

不管是时变差分方程，还是时不变差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系统状态方程，利用给定的或定出的上一采样时刻状态值，迭代地定出下一个采样时刻的系统状态。定义：矩阵方程(k+1)=G(k)(k,m),(m,m)=I的解阵(k,m)称为离散时间线性时变系统x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的状态转移矩阵。矩阵方程(k+1)=G(k),(0)=I的解阵(k),称为离散时间线性时不变系统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的状态转移矩阵。结论：离散时间线性时变系统状态转移矩阵为：

(k,m)=G(k-1)G(k-2)…G(m)

离散时间线性时不变系统状态转移矩阵为：结论：①(k,m)非奇异G(i),i=m,m+1,…k-1均为非奇异②(k)非奇异G非奇异③对连续时间线性系统的时间离散化系