应用数理统计-关于方差的假设检验

关于方差的假设检验，未知2

的一个点估计出发，根据备择假设确定拒绝域的形式控制第一类错误，即(1)当H0成立时，X1,…,Xn~N(，02)，因此按照控制第一类错误的原则，为了计算方便，取因此有所以拒绝域为等价地，该拒绝域可写为检验统计量例5

某纺织车间生产的细沙支数

X服从正态分布N(,2)

，规定标准差是1.2。从某日生产的细沙中抽取16根纱，测量其支数，计算得标准差为2.1。问细沙的均匀度是否符合规定？(=0.10)。解:

拒绝域为当H0成立时，查表得，20.95(15)=24.996,20.05(15)=7.261由样本值计算故拒绝原假设H0，认为细沙的均匀度不符合规定。(2)关于方差的假设检验，未知利用统计量构造拒绝域且控制第一类错误，我们看H0成立时，相关事件的概率当H0成立时，X1,…,Xn~N(，2)，且控制第一类错误，由于所以当H0成立时，故而要使只要要求拒绝域为所以，假设H0的拒绝域为例6

某种零件的长度X服从正态分布N(,2)

，按规定其方差不得超过0.016。现从一批这种零件中抽取25件测量其长度，计算得样本方差为0.025。问在显著性水平

=0.05下，这批零件是否合格?解:

拒绝域为当H0成立时，查表得，20.95(24)=36.415,由样本值计算故拒绝原假设H0，认为这批零件长度的方差显著大于规定方差，零件不合格。(3)关于方差的假设检验，未知利用统计量构造拒绝域且控制第一类错误，我们看H0成立时，相关事件的概率当H0成立时，控制第一类错误，由于所以当H0成立时，故而要使只要要求拒绝域为所以，假设H0的拒绝域为

两正态总体参数的假设检验

设总体X~，X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，样本均值为，样本方差为

设总体Y~，Y1,Y2,…,Ym为来自总体Y的样本，样本均值为，样本方差为X与Y独立。1.关于均值差的假设检验，与已知(1)从12的一个点估计出发，确定拒绝域的形式并控制第一类错误，(1)由于当H0成立时，所以并控制第一类错误，由于所以拒绝域为等价地，该拒绝域可写为检验统计量例7

设甲、乙两厂生产同样的灯泡，其寿命

X

和Y

分别服从正态分布N(1,12)

和N(2,22)。已知它们寿命的标准差分别为84和96小时。现从两厂生产的灯泡中各取60只，测得甲厂灯泡的平均寿命为1295小时，乙厂灯泡的平均寿命为1230小时。问能否认为两厂生产的灯泡寿命无显著差异(=0.05下)?解:

设

当H0成立时，拒绝域为查表得，u0.975=1.96,由样本值计算故拒绝原假设H0，认为两厂灯泡的寿命有显著差异利用统计量并控制第一类错误，(2)确定拒绝域的形式当H0成立时，控制第一类错误，且所以当H0成立时，故而要使只要要求所以拒绝域为利用统计量并控制第一类错误，(3)确定拒绝域的形式当H0成立时，控制第一类错误，且所以当H0成立时，故而要使只要要求所以拒绝域为

两正态总体参数的假设检验

设总体X~，X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，样本均值为，样本方差为

设总体Y~，Y1,Y2,…,Ym为来自总体Y的样本，样本均值为，样本方差为X与Y独立。2.关于均值差的假设检验，=未知2.关于均值差的假设检验，=未知(1)

从12的一个点估计出发，构造统计量由此确定拒绝域的形式控制第一类错误，当H0成立时，所以，要使可得，由此，拒绝域的具体形式为例8

设某物质在处理前与处理后分别抽样分析其含脂率如下：处理前：0.19,0.18,0.21,0.30,0.41,0.12,0.27处理后：0.15,0.13,0.07,0.24,0.19,0.06,0.08,0.12假定处理前后的含脂率都服从正态分布，且方差相同。问处理前后的含脂率的平均值是否有无显著变化(=0.05下)?解:

设

拒绝域为查表得，t0.975(13)=2.1604,由样本值计算故拒绝原假设H0，认为处理前后的含脂率有显著差异。(2)拒绝域为(3)拒绝域为3.成对数据下均值差的假设检验

在实际中，有些数据是天然相关成对的。为了需要，有时也设计试验使之成为相关成对的。这时两总体均值差的检验，可以按下面例子中的方法进行。例9

为了鉴别甲、乙两种橡胶机用轮胎的耐磨性，设计配对试验：在甲、乙两种轮胎中各任取8个，任取8架飞机，在每架飞机的左翼和右翼下，分别装上一个甲种轮胎和乙种轮胎。经过一段时间飞行，测得8对轮胎的磨耗量如下表：飞机：12345678甲机：4900,5220,5500,6020,6340,7660,8650,4870乙机：4930,4900,5140,5700,6110,6880,7930,5010差别：-30320360320230780720-140试问甲、乙两种轮胎的耐磨性有无显著差异(=0.05下)?解：

用X,Y分别表示甲、乙两批轮胎的磨耗量，(xi,yi)，i=1,…,8，表示二维总体(X,Y)的样本观测值。令Z=X-Y。从上面的数据表中，我们得到Z

对应的样本观测值zi=xi-yi，i=1,…,8。如果

X~N(1,12),Y~N(2,22)，则Z~N(1-2,12+22)。记=1-2,

2=12+22，有Z~N(,)。若甲、乙两批轮胎的耐磨性无差异，则应有=0。因此问题归结为检验假设

H0:=0;H1:0这是单个正态总体均值（方差未知）的假设检验。Z~N(,)。

H0:=0=0;H1:0=0检验的拒绝域为查表得，t0.975(7)=2.365,由样本值计算故拒绝H0，认为两批轮胎的耐磨性有显著差异。

两正态总体参数的假设检验

设总体X~，X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，样本均值为，样本方差为

设总体Y~，Y1,Y2,…,Ym为来自总体Y的样本，样本均值为，样本方差为X与Y独立。3.关于方差比的假设检验，未知与依据12/22

的一个点估计，确定拒绝域的形式并控制第一类错误，(1)由于当H0成立时，并控制第一类错误，由于按照控制第一类错误的原则，为了计算方便，取所以拒绝域为例9

为比较两台自动机床的精度，分别取容量为10和8的两个样本，测量某个指标的尺寸(假定服从正态分布)，得到下列结果：在

=0.1时，问这两台机床是否有同样的精度?车床甲：1.08,1.10,1.12,1.14,1.15,1.25,1.36,1.38,1.40,1.42车床乙：1.11,1.12,1.18,1.22,1.33,1.35,1.36,1.38解:设两台自动机床的方差分别为12和22

，则检验H0成立时拒绝域为由样本值可计算得F=1.51查表得由于0.304<1.51<3.68，故接受H0认为两台机床是否有同样的精度。利用检验统计量，确定拒绝域的形式并控制第一类错误，(2)由于当H0成立时，当H0成立时，控制第一类错误，且所以当H0成立时，故而要使只要要求所以拒绝域为利用检验统计量，确定拒绝域的形式并控制第一类错误，(3)由于当H0成立时，当H0成立时，控制第一类错误，且所以当H0成立时，故而要使只要要求所以拒绝域为非正态总体参数检验指数分布参数的检验

设总体X~Exp()，密度函数为设X1,…,Xn为来自该总体的简单随机样本，现要检验以下假设：(1)H0:

0;H1:

<0(2)H0:

0;H1:

>0(3)H0:

=0;H1:

0关于假设检验问题(1)，由于是1/的无偏估计

当H0成立时，应该取比较小的值，故拒绝域为

下面考虑犯第一类错误的概率，由于在H0成立时

H0:

0;H1:

<0,于是有

表示2(2n)的分布函数

因此，要使

只需

即

于是

问题（1）的水平为的检验的拒绝域为

均匀分布参数的检验

设X1,…,Xn为来自均匀分布U(0,)的简单随机样本，>0为未知参数，0(0>0)

为给定的常数，考虑下列检验问题(1)H0:

0;H1:

>

0(2)H0:

0;H1:

<

0(3)H0:

=

0;H1:

0关于假设检验问题(1)，由于X(n)是

的极大似然估计，当H0成立时，X(n)

的取值应较小，因此，一个合理的拒绝域为：{X(n)

K}。下面考虑犯第一类错误的概率，由于在H0成立时

所以，要使总体U(0,),拒绝域为：{X(n)

K}只需即于是H0:

0如此得问题（1）的水平为的检验的拒绝域为

拒绝域为：{X(n)

K},总体比例的假设检验

例10.某厂生产的产品长期以来不合格品率不超过0.01。某天开工后，为检验生产过程是否稳定，随机抽检了100件产品，发现其中有2件不合格品，试判断该厂生产是否稳定。

设总体X

为抽检一件产品不合格品的件数，则

X

~B(1,p),0<p<1。当生产稳定时，p0.01，当生产不稳定时，p>0.01。于是判断该天工厂生产是否稳定可转化为检验如下假设

H0:pp0=0.01，H1:p>p0=0.01

检验用的统计量可以从未知参数的点估计出发去寻找，在该例中一个常用的p的点估计为我们用其作为检验统计量，当n确定时，也可以用作为检验统计量。当H0为真时，不应过大，即T不会过大；当H0不真时，较大，即T会取较大的值。由此，拒绝域形式如下：其中c是临界值。为了在给定显著水平后确定临界值c，先研究T

的分布。由于T是n次独立试验下，不合格的件数；而一次试验下不合格的概率为p，根据二项分布的意义，有T~B(n,p).于是犯两类错误的概率分别为拒绝域T~B(n,p)，于是犯两类错误的概率分别为

下表列出若干p值下，不同c对应的(p)与(p)的值.c123456(0.005)(0.01)(0.04)(0.08)0.3940.0900.0140.0020.00020.000010.6340.2640.0790.0180.0030.0050.0170.0870.2320.4290.6290.7880.00020.0020.0110.0370.0900.180c123456(0.005)(0.01)(0.04)(0.08)0.3940.0900.0140.0020.00020.000010.6340.2640.0790.0180.0030.0050.0170.0870.2320.4290.6290.7880.00020.0020.0110.0370.0900.180

由这几个值可见，对固定的c，在pp0=0.01时，(p)随p

的增大而增大；在p>p0=0.01时，(p)的值随p

的增大而减小。所以在pp0=0.01值时，可选择p=p0=0.01时满足(p0)的c即可；又从上表可见，对固定的p>p0=0.01，随着c的增大，(p)也将增大。因此应该选取使(p0)时对应的最小c值，以控制第二类错误的概率。c123456(0.005)(0.01)(0.04)(0.08)0.3940.0900.0140.0020.00020.000010.6340.2640.0790.0180.0030.0050.0170.0870.2320.4290.6290.7880.00020.0020.0110.0370.0900.180综上，在=0.1时，可取临界值

c=3，从而拒绝域为在本例中，由样本观测值知不合格品数T=2，故接受H0,认为该天生产稳定．(p0)时对应的最小c值例10所给出的检验实际上是关于两点分布总体中参数p的检验问题．这里我们作一般陈述．设样本X1,…,Xn来自两点分布B(1,p)．关于参数p的检验问题也有三种类型：在例10中已指出可用统计量作检验．针对上述三个检验问题拒绝域应分别取如下形式：为获得水平为的检验，就需要定出各自拒绝域中的临界值，下面给出几种决定临界值的方法．

1．利用二项分布来确定临界值

例10已指出，对检验问题而言，犯第一类错误的概率(p)=P(Tc)是p的增函数，因而只要求(p0)，且拒绝域不能再扩大。由于当p=p0时统计量T~B(n,p0),故c是满足下式的最小整数：同理可得其他检验问题的拒绝域，结果如下：对检验问题拒绝域为W={Tc}，犯第一类错误的概率(p)=P(Tc)是p的减函数，因而要求(p0)。另外，随着c的增大，第二类错误(p)=P(T>c)将减小。由于当p=p0时统计量T~B(n,p0),故c是满足下式的最大整数：同理可得其他检验问题的拒绝域，结果如下：对检验问题拒绝域为W={Tc1或Tc2}，犯第一类错误的概率为(p)=P(Tc1)+P(Tc2)，若要求且犯第二类错误(p)=P(c1<T<c2)尽可能地小，则要求c1越大越好，c2越小越好，于是c1是满足(*1)式的最大整数,c2是满足(*2)式的最小整数。

2．利用F分布来确定临界值

根据二项分布与F分布之间的关系，有等式右边是自由度为v1,v2的F分布的分布函数在

的值，其中v1=2c,v2=2(n-c+1)。对检验问题H0:pp0,H1:p>p0,为了求使成立的最小c值，只需求使成立的最小c值。由于F分布的分布函数是严格单调增函数，且满足成立的x=F(v1,v2).所以c为满足即成立的最小c值成立的最小c值同理可得其他检验问题的拒绝域，结果如下：对检验问题c是满足式的最大整数，其中v1=2(c+1),v2=2(n-c)。也即是满足的最大整数。由于所以c为满足满足的最大整数。的最大整数。对检验问题拒绝域W={Tc1或Tc2}中c1是满足(*1)式的最大整数,c2是满足(*2)式的最小整数其中v1=2c2,v2=2(n-c2+1)。其中v1=2(c1+1),v2=2(n-c1)；其中v1=2c2,v2=2(n-c2+1)。其中v1=2(c1+1),v2=2(n-c1)；其中v1=2c2,v2=2(n-c2+1)。其中v1=2(c1+1),v2=2(n-c1)；于是，拒绝域W={Tc1或Tc2}中c1,c2分别是满足下两式式的最大整数和最小整数其中v1=2(c1+1),v2=2(n-c1)；其中v1=2c2,v2=2(n-c2+1)。

3．大样本情况下用正态分布来确定临界值

在大样本情况下，当T~B(n,p)时，利用中心极限定理对于检验问题，当p=p0时统计量T~B(n,p0),故满足下式的最小整数c

：T~B(n,p0)，等价于满足下式的最小整数c

：满足的最小整数c

也等价于满足也等价于满足下式的最小整数c

：拒绝域W={Tc},

在将二项分布进行连续性修正后，现代统计也将c修正为的最小整数的最小整数在大样本情况下，当T~B(n,p)时，利用中心极限定理对于检验问题，当p=p0时统计量T~B(n,p0),故满足下式的最大整数c

：T~B(n,p0)，等价于满足下式的最大整数c

：满足的最大整数c

也等价于满足的最大整数c

。拒绝域W={Tc},

在将二项分布进行连续性修正后，现代统计也将c修正为的最大整数的最大整数在大样本情况下，当T~B(n,p)时，利用中心极限定理对于检验问题，当p=p0时统计量T~B(n,p0),故满足下(*1)式的最大整数c1和满足满足(*2)式的最小整数c2

：T~B(n,p0)，等价于满足下式的最大整数c1

：满足的最大整数c

1也等价于满足的最大整数c1

T~B(n,p0)，等价于满足下式的最小整数c2

：满足的最小整数c2也等价于满足的最小整数c2拒绝域W={Tc1

或Tc2}现代统计也将c1和c2修正为的最小整数的最大整数的最大整数的最小整数例11.

某厂产品的优质品率一直保持在40%左右，近期技监部门来厂抽查，共抽查了12件产品，其中优质品5件，在=0.05水平上能否认为其优质品率仍保持在40%？解.

以X记检查一个产品时优质品的个数，则X~B(1,p)。检验问题为：拒绝域为W={Tc1

或Tc2}，其中，c1与c2应满足：使成立的最大整数使成立的最小整数现用二项分布来求临界值，这里T~B(12,0.4)，此时T取不同值的概率如下现取=0.05,/2=0.025，可得P(T1)=0.0196,P(T2)=0.0835,所以c1=1。又P(T8)=0.0573,P(T9)=0.0153,所以c2=9.使成立的最大整数使成立的最小整数binocdf(1,12,0.4)=0.0196,binocdf(2,12,0.4)=0.08341-binocdf(7,12,0.4)=0.0573,1-binocdf(8,1