第2部分+插值方法

明德新民止于至善插值和数据拟合简介及应用2004年6月至7月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄防水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。整个试验期为20多天，小浪底从6月19日开始预泄放水，直到7月13日恢复正常供水结束。小浪底水利工程按设计拦沙量为75.5亿m3,在这之前，小浪底共积泥沙达14.15亿t，这次调水调沙试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库1、黄河小浪底调水调沙问题明德新民止于至善陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后达到小浪底，7月3日达到最大流量2700m3/s,使小浪底水库的排沙量也不断地增加。表1是由小浪底观测站从6月29日到7月10日检测到的试验数据。现在根据试验数据建立数学模型研究下面的问题:(1)给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法。(2)确定排沙量与水流量的变化关系。开闸泄洪以后，从6月27日开始三门峡水库和万家寨水库1、黄河小浪底调水调沙问题明德新民止于至善日期6.296.307.17.27.37.4时间8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00水流量18001900210022002300240025002600265027002720026500含沙量326075859098100102108112115116表1试验观测数据单位：水流为m3/s，含沙量为kg/m31、黄河小浪底调水调沙问题明德新民止于至善续表1日期7.57.67.77.87.97.10时间8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00水流量26002500230022002000185018201800175015001000900含沙量118120118105806050302620851、黄河小浪底调水调沙问题2、机床加工问题3、给药方案问题4、化学反应浓度问题明德新民止于至善5、水箱水流量问题5、水箱水流量问题

许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能测量水箱中的水位。试通过测得的某时刻水箱中水位的数据，估计在任意时刻（包括水泵灌水期间）t流出水箱的流量

f（t）。时间（s）水位（10–2E）时间（s）水位（10-2E）03175446363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水8596834753943535508995333974331834459327033405、水箱水流量问题

给出上面原始数据表，其中长度单位为E(1E=30.24cm）。水箱为圆柱体，其直径为57E。假设：（1）影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求；（2）水泵的灌水速度为常数；（3）从水箱中流出水的最大流速小于水泵灌水速度；（4）每天的用水量分布都是相似的；（5）水箱的流水速度可用光滑曲线来近似；（6）当水箱的水容量达到514.8×103g时，开始泵水；达到667.6×103g时，便停止泵水。一、问题的提出第1类问题：函数y=f(x)表达式未知,但知道其在[a,b]上n+1个互异点xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n).第2类问题：函数y=f(x)表达式已知,但太复杂,只能计算其在[a,b]上n+1个互异点xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n).第2部分插值与逼近已知一个数据表格：x

x0x1

x2…xny

y0

y1

y2

…yn1.问题:如何求函数f(x)的解析式？2.方法:用一个简单而又尽可能光滑的函数

y=p(x)f(x)

p(x)明德新民止于至善近似代替函数y=f(x),即y=f(x)y=p(x)满足条件

p(xi)=yi=f(xi)(i=0,1,...,n)3.插值法的思想4.几何意义.......Oxyx0x1xn-1xn（2）f(x)称为被插函数；说明：（1）p(x)称为f(x)的插值函数；（3）xi称为插值节点,(xi,yi)称为插值点,[a,b]称为插值区间.

第2部分插值与逼近若将多项式函数作为插值函数,相应的插值问题称为多项式插值（代数多项式插值）。

pn(x)是一个次数不超过n的多项式;二、多项式插值已知一个数据表格：x

x0x1

x2…xny

y0

y1

y2

…yn求一个多项式pn(x),使其满足如下条件：（2）pn(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1,...,n)

。(2-1)

第2部分插值与逼近明德新民止于至善设所要构造的插值多项式为：由插值条件

得到如下线性代数方程组二、多项式插值

第2部分插值与逼近明德新民止于至善D

0，因此，pn(x)由a0,a1,…,an唯一确定。二、多项式插值(1)插值多项式存在性且唯一性!!讨论的问题：(2)如何求插值多项式?(3)插值多项式近似代替f(x)的误差（余项）?

第2部分插值与逼近节点互不相同！明德新民止于至善x0x1(x0,y0)(x1

,y1)p1(x)f(x)

2.1一次插值多项式及误差估计

f(x)

p1(x)已知数据表格：x

x0x1y

y0

y1

p1(x)是一个次数不超过1的多项式;求一个多项式p1(x),使其满足如下条件：（2）p

1(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1)

。几何意义!问题的引入：明德新民止于至善(1)一次拉格朗日（Lagrange）插值公式称之为节点x0,x1处的拉格朗日插值基函数。称之为一次拉格朗日插值多项式特点？Lagrange法1736-1813

2.1一次插值多项式及误差

2.1一次插值多项式及误差(2)一次牛顿（Newton）插值公式称之为一次牛顿插值多项式(3)线性（行列式）插值公式称之为一次线性插值多项式(4)一次插值的误差截断误差R1(x)=f(x)–p1(x)称为插值多项式的误差定义称为函数f(x)关于点x0、xk的一阶差商(均差)；（余项）。明德新民止于至善设f(x)在区间[a,b]上2阶导数存在,xi[a,b](i=0,1)为2个互异节点,则对任何x[a,b],有(且与x有关）

2.1一次插值多项式及误差(4)一次插值的误差估计特别地x0x1x2f(x)p2(x)f(x)问题提出：

2.2二次插值多项式及误差估计p2(x)

p2(x)是一个次数不超过2

的多项式;已知数据表格：x

x0x1

x2y

y0

y1

y2求一个多项式p2(x),使其满足如下条件：（2）p

2(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1,2)

。几何意义？明德新民止于至善(1)二次拉格朗日（Lagrange）插值公式特点？

2.2二次插值多项式及误差估计称之为二次拉格朗日(Lagrange)插值多项式.(2)二次牛顿（Newton）插值公式称之为节点xi(i=0,1,2)处的拉格朗日插值基函数。

2.2二次插值多项式及误差估计(1)二次拉格朗日(Lagrange)插值公式补差商概念称之为二次牛顿（Newton）插值多项式.令,则明德新民止于至善可验证

2.2二次插值多项式及误差估计(3)逐次线性插值公式二次逐次线性插值多项式明德新民止于至善(4)二次插值多项式的误差估计设f(x)在区间[a,b]上3阶导数存在,xi[a,b](i=0,1,2)为3个互异节点,则对任何x[a,b],有(且与x有关）

2.2二次插值多项式及误差估计明德新民止于至善

pn(x)是一个次数不超过n的多项式;已知数据表格：x

x0x1

x2…xny

y0

y1

y2

…yn求一个多项式pn(x),使其满足如下条件：（2）pn(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1,...,n)

。问题提出：其中li(x)(i=0,1,…,n)是节点xi处的n次拉格朗日插值基函数。

2.3n次插值多项式及误差估计(1)n

次拉格朗日（Lagrange）插值公式明德新民止于至善节函点数函数值其中A为常数.由li(xi)=1可得

2.3n次插值多项式及误差估计(1)n

次拉格朗日（Lagrange）插值公式明德新民止于至善

2.3n次插值多项式及误差估计(1)n

次拉格朗日（Lagrange）插值公式明德新民止于至善(2)n次牛顿（Newton)插值公式其中称为的阶均差。

2.3n次插值多项式及误差估计明德新民止于至善（3）n次逐次线性插值公式可验证

2.3n次插值多项式及误差估计(4)n次插值余项（2）若说明：则（1）误差的大小依赖于哪些量？节点的位置和个数？（3）pn(x）的特点（优点和缺点）？明德新民止于至善例1解

2.2二次插值多项式及误差估计明德新民止于至善functiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x)；fori=1:mz=x(i);s=0;fork=1:np=1;forj=1:nifj~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));end

ends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endM-文件：clearformatlongex0=[144,169,225];y0=[12,13,15];x=175;y=lagrange(x0,y0,x)运行程序：结果：13.230158730158731901年德国数学家龙格(Runge)

给出一个例子:

定义在区间[-5，5]上，这是一个光滑函数，它的任意阶导数都存在，对它在[-5，5]上作等距节点插值时，插值多项式情况:问题的引入：2.4分段低次插值公式P5(x),P10(x),P16(x)？明德新民止于至善(1)将区间[-5，5]分割成五等份，得到节点和节点处的函数值如下表：x

-5-3-1135y

0.038460.100000.500000.500000.100000.038462.4分段低次插值公式明德新民止于至善节点处的插值基函数记为：2.4分段低次插值公式P5(x)=0.03846l1(x)明德新民止于至善那么5次插值多项式函数为+0.10000l2(x)+0.50000l3(x)+0.50000l4(x)+0.10000l5(x)+0.03846l6(x)其图形如下：其逼近情况如下图：明德新民止于至善2.4分段低次插值公式明德新民止于至善(2)将区间[-5，5]分割成十等份，得到节点和节点处的函数值为节点处的插值基函数记为那么10次插值多项式函数为其图形如下：明德新民止于至善2.4分段低次插值公式明德新民止于至善(3)将区间[-5，5]分割成十六等份，得到节点和节点处的函数值为节点处的插值基函数记为那么16次插值多项式函数为其图形如下：明德新民止于至善

从图中，可看见，在0附近插值效果是好的，即余项较小，另一种现象是插值多项式随节点增多而振动更多。

这种插值多项式当节点增加时反而不能更好地接近被插值函数的现象，称为龙格现象2.4分段低次插值公式（1）I(x)在每个小区间[xi，xi+1]上是个次数不超过一的多项式;x

x0x1

x2…xny

y0

y1

y2

…yn求一个多项式I(x),使其满足如下条件：（3）I(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1,...,n).已知数据表格：设在[a,b]上取n+1个节点，且

a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b,f(x)的函数值为yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n),

即（2）I(x）∈C[a,b];

明德新民止于至善称之为f(x)在区间[a,b]上关于数据(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)的分段线性插值函数.说明：I(x）的特点（优点和缺点）？失去了原函数的光滑性。(1)插值公式明德新民止于至善在每个子区间[xi，xi+1]，或(2)插值余项明德新民止于至善因此,在插值区间[a,b]上有(2)插值余项将区间[-5，5]分成10等份，做分段线性插值函数，并做出图形观察逼近程度。课下练习：明德新民止于至善2.4分段低次插值公式明德新民止于至善解将区间[-5，5]分割成十等份，得到节点和节点处的函数值为节点处的分段线性插值基函数记为那么分段线性插值多项式函数为其图形如下：明德新民止于至善1、两点带导数的三次埃尔米特插值多项式求多项式H3(x),使其满足如下条件：

H3(x)称为两点带导数的三次埃尔米特插值多项式。法1822-1901

2.5埃尔米特(Hermite）插值给定如下数据表：x

x0x1y

y0y1

y′

m0m1

H3(x)是一个次数不超过3的多项式;（2）明德新民止于至善

节点基函数函数值导数值x0x1x0x1λ0(x)1000λ1(x)0100μ0(x)0010μ1(x)00011、两点带导数的三次埃尔米特插值多项式(1)埃尔米特插值公式设节点xi处的插值基函数分别是λi(x)和μi(x)(i=0,1)令由得由得于是

2.5埃尔米特(Hermite）插值明德新民止于至善同理于是令由得同理(1)埃尔米特插值公式

2.5埃尔米特(Hermite）插值

节点基函数函数值导数值x0x1x0x1λ0(x)1000λ1(x)0100μ0(x)0010μ1(x)0001设f(x)在包含x0、x1的区间[a,b]内存在4阶导数，则当x∈[a,b]时,有设则当x∈(x0,x1)时,余项有如下估计式且与x有关)(2)埃尔米特插值余项1、两点带导数的三次Hermite插值多项式

2.5埃尔米特(Hermite）插值明德新民止于至善例已知f(x)=x1/2及其一阶导数的数据见下表,用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似值,并估计其截断误差.

x121144

f(x)1112

f'(x)1/221/24解得由可得2、n+1个节点带导数的埃尔米特插值多项式求一个多项式H2n+1(x),使其满足如下条件：H2n+1(x)称为n+1节点带导数的2n+1次埃尔米特插值多项式。法1822-1901给定如下数据表：x

x0x1…xny

y0y1…yn

y′

m0m1…mn

H2n+1(x)是一个次数不超过2n+1的多项式;（2）H2n+1(xi)=yi,H'2n+1(xi)=mi(i=0,1,…,n).

2.5埃尔米特(Hermite）插值(1)埃尔米特插值公式设节点xi处的插值基函数分别是λi(x)和μi(x)(i=0,1,…,n)令由得由得从而同理设由得从而于是

2.5埃尔米特(Hermite）插值

定理

设f(x)在包含节点xi的区间(a,b)内存在2n+2阶导数，则当x∈(a,b)时,有说明：且与x有关)(2)埃尔米特插值余项2、n+1个节点带导数的埃尔米特插值多项式（1）H2n+1(x)的特点（优点和缺点）？（2）H2n+1(x)和pn

(x)的区别？但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……（3）插值基函数在节点处取值的特点？

2.5埃尔米特(Hermite）插值已知给定如下数据表：x

x0x1…xny

y0y1…yn

y′

m0m1…mn（1）In(x)在每个小区间[xi，xi+1]上是次数不超过3的多项式;求一个多项式In(x),使其满足如下条件：（2）In(x）∈C1[a,b];

（3）3、分段的三次埃尔米特（Hermite）插值多项式明德新民止于至善(1)插值公式3、分段的三次埃尔米特（Hermite）插值多项式(1)插值公式3、分段的三次埃尔米特（Hermite）插值多项式(1)插值公式称为分段三次埃尔米特插值函数.(2)插值余项[xi，xi+1]上，在每个小区间或3、分段的三次埃尔米特（Hermite）插值多项式因此，在插值区间[a,b]上有(2)插值余项说明：In(x）的特点（优点和缺点）？导数一般不易得到。明德新民止于至善

在区间[a,b]上，给定n+1个互不相同的节点在每个小区间[xi,xi+1](i=0,1,...,n-1)上是次数不超过3的多项式;

2.6*

三次样条(spline)插值函数y=f(x)在这些节点的值为yi=f(xi)(i=0,1,…,n)。如果a=x0<x1<…<xn=b,分段表示的函数S(x)满足下列条件，称为三次样条插值函数.（2）S(xi)=yi(i=0,1,…,n);(3)S(x)∈C2[a,b].问题的提出:明德新民止于至善

6.1三次样条函数的构造S(x)在区间的表达式为记明德新民止于至善

6.1三次样条函数的构造所以同理

(i=1,2,…,n)

(i=0,1,…,n-1)由