证券投资分析-第七章-证券组合管理理论课件

第七章证券组合管理理论第七章证券组合管理理论第一节证券组合管理概述第二节证券组合分析第三节资本资产定价模型第四节套利定价理论第五节证券组合的业绩评估

第一节证券组合管理概述

现代证券组合理论体系的形成与发展1952年，哈里·马柯威茨发表了一篇题为《证券组合选择》的论文，标志着现代证券组合理论的开端。1963年，马柯威茨的学生威廉·夏普提出了“单因素模型”，在此基础上发展出“多因素模型”，对实际有更精确的近似，使得证券组合理论应用于实际市场成为可能。夏普、特雷诺和詹森三人分别于1964年、1965年和1966年提出了著名的资本资产定价模型（CAPM）。1976年，史蒂夫·罗斯提出套利定价理论（APT）。

第一节证券组合管理概述

证券组合的含义和类型

含义：投资学中的证券组合是指个人或机构投资者所持有的各种有价证券的总称。类型：避税型、收入型、增长型、收入和增长混合型、货币市场型、国际型及指数化型等。证券组合管理的意义和特点意义：通过采取适当的方法，选择多种证券作为投资对象，可以达到在保证预定收益的前提下使投资风险最小或在控制风险的前提下使投资收益最大化的目标，避免投资过程的随意性。特点：投资的分散性；风险与收益的匹配性。

第一节证券组合管理概述

证券组合管理的方法和步骤1、方法被动管理主动管理2、步骤确定证券投资政策进行证券投资分析组建证券投资组合投资组合的修正投资组合业绩评估

投资组合理论证券组合:即投资者所持有的有价证券的总称-资产组合理论观点:投资者总是力求收益最大化和风险最小化,是两个相互制约的目标.-如何实现:实现效用最大化的工具是分散化，即鸡蛋不要放在一个篮子里-

为什么分散化有效？到底多少支股票才能实现足够低的风险，足够高的收益呢？第二节证券组合分析

均值-方差模型两个重要假设：1、投资者以期望收益率来衡量未来的实际收益水平，以收益率的方差来衡量未来实际收益的不确定性，也就是说投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差。2、投资者是不知足和厌恶风险的，即总是希望收益率越高越好，方差（风险）越小越好。

马柯威茨发现：最优证券组合选择理论

第二节证券组合分析第二节证券组合分析O一、单一证券的收益和风险假定收益率的概率分布如下：1、度量收益水平的指标——期望收益率E（r）的计算公式如下：使用历史数据来估计期望收益率的公式为：

收益率ri（%）r1r2r3…rn概率pip1p2p3…pn第二节证券组合分析一、单一证券的收益和风险

2、风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度－－收益率的方差来度量的。度量风险水平的指标——方差σ2的计算公式如下：使用历史数据来估计方差的公式为：当较大时，也可使用下述公式估计方差：

第二节证券组合分析T一、单一证券的收益和风险

举例1：A、B、C三种股票收益的概率分布

第二节证券组合分析三种股票预期收益分别为：第二节证券组合分析一、单一证券的收益和风险

举例1：A、B、C三种股票预期收益和风险A股票未来收益:8±2.191=5.81~10.19(元)B股票未来收益:

8±0.922=7.08~8.92(元)C股票未来收益:

9±2.191=6.81~11.19(元)证券预期收益（元）方差标准差A8.004.82.191B8.000.850.922

C9.004.82.191第二节证券组合分析一、单一证券的收益和风险3、对单一证券收益与风险的权衡（1）无差异曲线的特性投资者对同一条无差异曲线上的投资点有相同偏好——无差异曲线不相交。投资者有不可满足性和风险回避性——无差异曲线斜率为正。投资者更偏好位于左上方的无差异曲线。投资者对风险的态度不同-不同的投资者有不同的无差异曲线。

I1I2I3

r

rI1I2

I1

I1

I1

I2

I2

I2

I3

I3

I3极不愿冒风险的投资者不愿冒风险的投资者愿冒较大风险的投资者（2）投资者对A、B、C股票的选择rrr

XYZ0.9222.1910.9222.1910.9222.191投资者X的无差异投资者Y的无差异投资者Z的无差异曲线和投资选择曲线和投资选择曲线和投资选择AAABBBCCC第二节证券组合分析二、证券组合的收益和风险（一）证券组合的分散原理为实现收益的最大化和风险的最小化，应实行投资的分散化。由于各种证券受风险影响而产生的价格变动的幅度和方向不尽相同，因此存在通过分散投资使风险降低的可能。投资分散化是投资于互不相关的各种证券，并将它们组成一个组合。证券组合目的——在收益一定的条件下，投资者承担的总风险减少。证券组合的风险并非组合中各个别证券的简单加总，而是取决于各个证券风险的相关程度。这一组合的证券种类以及各种证券在组合中的比重对组合的风险水平也很重要。二、证券组合的收益和风险

预期价格变动

AB

时间二、证券组合的收益和风险

预期价格变动

B

A

时间二、证券组合的收益和风险

51015202530证券种类风险系统风险非系统风险总风险（二）两种证券组合的收益和风险证券组合P的收益率rp为：其中：rp—证券组合的收益率

xA—投资组合中证券A所占比重

xB—投资组合中证券B所占比重

rA—证券A的收益率rB—证券B的收益率

xA+xB=1

（二）两种证券组合的收益和风险投资组合P的期望收益率E（rp）和收益率方差σp为：其中：ρAB—相关系数

σAσBρAB—协方差，记为COV（A，B）

（三）多种证券组合的收益和风险证券组合P的收益率rp为：其中：rp—证券组合P的收益率

xi—投资组合中证券i所占比重ri—证券i的收益率

（三）多种证券组合的收益和风险投资组合P的期望收益率E（rp）和标准差σp为：

（三）多种证券组合的收益和风险由N种证券组成的证券组合的标准差公式为：其中：Xi,Xj—证券i、证券j在证券组合中的投资比率，即权数；Covij—证券i与证券j收益率之间的协方差；—双重加总符号，表示所有证券的协方差都要相加。上式又可以化为：（三）多种证券组合的收益和风险协方差协方差是刻划二维随机向量中两个分量取值间的相互关系的数值。协方差被用于揭示资产组合两种证券未来可能收益率之间的相互关系。（三）多种证券组合的收益和风险协方差其中：（三）多种证券组合的收益和风险相关系数相关系数是反映两个随机变量的概率分布之间的相互关系。相关系数可用以衡量两种证券收益率的相关程度。相关系数是标准化的计量单位，取值在±1之间。

（三）多种证券组合的收益和风险相关系数

相关系数更直观地反映两种证券收益率的相互关系：若=1，完全的正相关性，变动方向和变动程度一致，组合风险是个别风险的加权平均；若=-1，完全的负相关性，变动程度一致但变动方向相反，风险可以抵消；若=0，完全不相关，收益变动方向和程度不同，分散投资有助于降低风险。三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1、两种证券组合的可行域A、B的证券组合P的组合线由下述方程确定：

三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1、两种证券组合的可行域

给定证券A、B的期望收益率和方差，证券A与证券B的不同关联性将决定A、B的不同形状的组合线。（1）完全正相关下的组合线。即ρAB=1，则（假定不允许卖空，即0≤xA，

1-xA≤

1）

三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1、两种证券组合的可行域（1）完全正相关下的组合线。σP与E（rＰ）之间是线性关系。

ABFE（rp）(σp)0三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1、两种证券组合的可行域（2）完全负相关下的组合线。即ρAB=-1，则：

三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1、两种证券组合的可行域（1）完全负相关下的组合线。σP与E（rＰ）是分段线性关系。

ABE（rp）(σp)0三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1、两种证券组合的可行域（2）完全负相关下的组合线。在此情况下，按适当的比例买入证券Ａ和证券Ｂ可以形成一个无风险组合，得到一个稳定的收益率。令σP=0，可得：

三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1、两种证券组合的可行域（3）不相关情形下的组合线。即ρAB=0，则：

三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1、两种证券组合的可行域（3）不相关情形下的组合线。

由上述方程确定的σP与E（rＰ）的曲线是一条经过A和B的双曲线。

E（rp）(σp)0ABC····三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1、两种证券组合的可行域（3）不相关情形下的组合线。为了得到方差最小的证券组合，对方程求极小值可得：以及组合的最小方差：

三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1、两种证券组合的可行域（4）组合线的一般情形。在不完全相关的情形下，0＜ρAB＜

1，则：

三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1、两种证券组合的可行域（4）上述方程在一般情形下所确定的曲线是一条双曲线。相关系数决定结合线在A与B之间的弯曲程度。

ABE（rp）(σp)0ρ=-1ρ=-0.5ρ=0ρ=0.5ρ=1三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域2、多种证券组合的可行域假设可供选择的证券有三种：A、B和C。这时，可能的投资组合便不再局限于一条曲线上，而是坐标系中的一个区域。DFABCE（rp）(σp)0三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域2、多种证券组合的可行域如果允许卖空，三种证券组合的可行域是包含上述区域的一个无限区域。DFABCE（rp）(σp)0三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域2、多种证券组合的可行域一般而言，当由多种证券（不少于3种）构成证券组合时，组合可行域是所有合法证券组合构成的E—σ坐标系中的一个区域，其形状如下图。E（rp）(σp)0三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域2、多种证券组合的可行域允许卖空时：E（rp）(σp)0三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域2、多种证券组合的可行域可行域的形状依赖于可供选择的单个证券的特征E（ri）和σi以及它们收益率之间的相互关系ρij，还依赖于投资组合中权数的约束。可行域满足一个共同的特点：左边界必然向外凸或呈线性，即不会出现凹陷。三、证券组合的可行域和有效边界（二）证券组合的有效边界同时满足以下两个条件的一组证券组合，称为有效组合：如果两种证券组合具有相同的收益率方差和不同期望收益率，即，而，且，那么投资者选择期望收益率高的组合，即A。如果两种证券组合具有相同的期望收益率和不同的收益率方差，即，而,且，那么投资者选择方差较小的组合，即A。这种选择原则,我们称为投资者的共同偏好规则。三、证券组合的可行域和有效边界（二）证券组合的有效边界有效组合证券组合：按照投资者的共同偏好规则，可以排除那些被所有人投资者都认为差的组合，排除后余下的组合称为“有效证券组合”。有效边界：可行域的上边界部分，称为“有效边界”。有效边界上的不同组合，按共同偏好规则不能区分优劣。最小方差组合：是上边界和下边界的交汇点，这一点所代表的组合在所有可行组合中方差最小。E（rp）(σp)0A。。。BC四、最优证券组合（一）最优组合应同时满足以下条件：1、位于有效边界上；2、位于投资者的无差异曲线上；3、为无差异曲线与有效边界的切点。A不愿冒风险B中等程度C最愿冒风险四、最优证券组合（二）证券投资过程的四个阶段：第一，考虑各种可能的证券组合；第二，计算这些证券组合的收益率、方差、协方差；第三，通过比较收益率和方差决定有效组合；第四，利用无差异曲线与有效边界的切点确定对最优组合的选择。第三节资本资产定价模型（CAPM）一、资本资产定价模型的基本内涵1、问题的提出马柯维茨资产组合理论在实践中应是一个繁琐、令人生厌的高难度工作。以夏普、林特和莫森为代表的一些经济学家们从实证的角度出发，探索马柯维茨的理论在现实中的应用能否得到简化？如果投资者都采用马柯维茨资产组合理论选择最优资产组合，那么资产的均衡价格将如何在收益和风险的权衡中形成？（即在失常均衡状态下，资产的价格是如何依风险而确定的？）第三节资本资产定价模型（CAPM）O一、资本资产定价模型的基本内涵2、CAPM模型的内涵CAPM阐述了在投资者都采用马柯维茨的理论进行投资管理的条件下市场均衡状态的形式，把资产的预期收益与预期风险之间的理论关系用一个简单的线性关系表达出来了，即认为一个资产的预期收益率与衡量该资产风险的一个尺度β值之间存在正相关关系。作为一种阐述风险资产均衡价格决定的理论，单一指数模型，或以之为基础的CAPM不仅大大简化了投资组合选择的运算过程，使马柯维茨的投资组合选择理论朝现实世界的应用迈进了一大步，而且也使得证券理论从以往的定性分析转入定量分析，从规范性转入实证性。二、资本资产定价模型的原理(一)CAPM假设条件：P341。（二）CAPM的推导1、资本市场线（CML）资本市场线是在以预期收益和标准差为坐标轴的图上，表示风险资产的有效组合与一种无风险资产再组合的有效组合线。无风险借贷无风险资产的收益是确定的，标准差为零。将无风险资产与风险资产组合T结合形成一个新的投资组合P，该组合的预期收益和风险为：二、资本资产定价模型的原理二、资本资产定价模型的原理（二）CAPM的推导1、资本市场线（CML）把上式代入新资产组合预期收益，得组合线方程如下：二、资本资产定价模型的原理可见，无风险资产与风险资产的组合进行再组合的组合线是直线，直线截距为rf，斜率为。组合线的截距是固定的，斜率则取决于风险资产组合的选择。理性投资者都会选择第Ⅲ线上的组合，这第Ⅲ线便是资本市场线CML。0E(r)σrfTⅢⅡⅠ二、资本资产定价模型的原理CML上的rf点是投资者将资金全部投资于无风险资产的情况。新资产组合的收益和风险特征就是无风险资产的收益和风险特征。T点是投资者将资金全部投资于有效风险资产组合T的情况。新资产组合的收益和风险特征就是风险资产组合T的收益和风险特征。rf

与T之间的点集是投资者同时投资于风险资产组合和无风险资产的情况。新资产组合的收益和风险都低于风险资产组合的收益和风险，也都高于无风险资产的收益和风险。0E(r)σrfTⅢⅡⅠ二、资本资产定价模型的原理1、资本市场线（CML）CML是有效资产组合的集合，理性投资者可选择上面任意一种组合进行投资，具体如何选择取决于投资者的风险偏好。CML在CAPM推导过程中的重要意义：在引入一项可以无限制卖空的无风险资产的条件下，所有投资者都必将选择同一个风险资产组合T。因为只有T可以使无风险资产和风险资产的再组合有效率。这时，人们对最优风险资产组合的选择是与人们对风险的态度无关的。二、资本资产定价模型的原理（二）CAPM的推导2、市场组合由于投资者都将持有风险资产组合T，市场处于均衡状态的条件就意味着T必须包括市场上所有风险资产在内。市场组合是由所有证券构成的一个组合（这里以M表示）。市场证券组合是将证券市场上的所有证券按照它们各自在整个证券市场总额中所占的比重组成的证券组合。以M替换T后，CML的公式就可表示为：资本市场线：（CML）连接无风险资产和市场证券组合的直线称为资本市场线（CML）。资本市场线是无风险资产和风险资产组合的线性有效边界。资本市场线上的所有证券组合仅含系统风险。二、资本资产定价模型的原理rMMrf

σMσCML在均衡条件下证券市场的两个基本特征:T第一，无风险利率可看成是在一定时间内贷出货币资本的收益，是时间的价格；第二，CML的斜率可看成是承受每一单位风险的报酬，是风险的价格。因此，从本质上讲，证券市场提供了一个时间与风险之间的交换场所，以及由供需双方决定证券价格的场所。不同投资者可在资本市场线上找到由各种无风险和风险资产组成的组合，并运用无差异曲线和资本市场线确定最优投资组合。ArMBCMDrf

σMσA：以无风险利率借入资金，并全部投资市场组合；B：自己的资金全部投资市场组合；C：一部分资金投资市场组合，一部分资金投资无风险资产；D：自己的资金都投资无风险资产。二、资本资产定价模型的原理3、由CML和市场组合M推导的CAPMCAPM要回答的是在市场均衡状态下，某项风险资产的预期收益与其所承担的风险之间的关系。这种关系我们可以利用CML和市场组合M推导出来，结果形成证券市场线SML。二、资本资产定价模型的原理3、由CML和市场组合M推导的CAPM假设我们要建立一个风险资产I和市场组合M的新组合P，则P的预期收益和标准差的计算公式分别为：σ0E（r）rfMii’二、资本资产定价模型的原理3、由CML和市场组合M推导的CAPM从上图可知，在允许卖空的条件下，I资产与M的有效资产组合应在iMi’线上，与iMi’相切的资本市场线与我们前面推导的资本市场线是重叠的，二者的斜率相同，即：可推导出：二、资本资产定价模型的原理3、由CML和市场组合M推导的CAPM由于在切点M处，，所以，上式可变为：变形后得：这便是经典的CAPM模型。二、资本资产定价模型的原理3、由CML和市场组合M推导的CAPM上述方程表明:单个证券i的期望收益率与其对市场组合方差的贡献率之间存在着线性关系，而不像有效组合那样与标准差（总风险）有线性关系。因此，从定价的角度考虑，单个证券的风险用来测定更为合理。有一个特殊的名称——证券i的系数（贝塔系数）。二、资本资产定价模型的原理3、由CML和市场组合M推导的CAPM同理，对任何一个证券组合，设其投资于各证券的比例分别为则有：令，称为证券组合P的系数，于是上述等式被改写为：二、资本资产定价模型的原理3、由CML和市场组合M推导的CAPM可见，无论单个证券还是证券组合，均可将其系数作为风险的合理测定，其期望收益与由系数测定的系统风险之间存在线性关系。二、资本资产定价模型的原理4、CAPM的含义从CAPM可以看出，风险资产的收益是由两个部分组成：一部分是无风险资产的收益，它是由时间创造的，是放弃即期消费的补偿；另一部分是，是对承担风险的补偿，通常称为“风险溢价”。它与承担风险的大小成正比。其中的代表了对单位风险的补偿，通常称之为“风险价格”。它说明两个问题：一是风险资产的收益率要高于无风险资产的收益率；二是并非风险资产承担的所有风险都要予以补偿，给予补偿的只是系统风险。二、资本资产定价模型的原理5、CAPM的表示——证券市场线（SML）我们把CAPM模型显示的线性关系表示在以预期收益和值为坐标轴的坐标平面上，就是一条以为起点的射线，见下图。这条射线被称为证券市场线（SML）。当P为市场组合M时，，因此，证券市场线经过点当P为无风险证券时，系数为0，期望收益为无风险利率，因此证券市场线亦经过点。E（r）rfSML二、资本资产定价模型的原理5、CAPM的表示——证券市场线（SML）证券市场线表示各种证券的收益率与以作为衡量的风险之间的关系。在证券市场线上，相对于=1的M点所要求的预期收益率即为市场预期收益率。CAPM认为，每一种证券以及每一种证券组合必然位于证券市场线上，证券市场线上的证券和证券组合的风险和收益均处于均衡状态。CAPM将资产的预期收益率与系数这一风险值相关联，从理论上探讨在多样化的资产搭配中如何有效地计算某单项证券的风险，说明风险证券如何在证券市场上确定价格。二、资本资产定价模型的原理5、CAPM的表示——证券市场线（SML）CML和SML的区别：首先是两者的适用范围不同：CML只适合于描述无风险资产与有效风险资产组合再组合后的有效风险资产组合的收益和风险关系。SML描述的是任何一种资产或资产组合的收益和风险之间的关系。其次是二者选择的风险变量不同。CML以总风险σ为横坐标，SML以市场风险β为横坐标。rmMrmMrfrf

σ

β

σm1.0三、资本资产定价模型的应用

从理论上说，CAPM至少可以有两种用途：资产估值和资源配置1、资产估值根据证券市场线，某一证券的均衡期望收益应为：根据市场价格，应有收益率=[（预期的股息+期末价格）/期初价格]-1两者不等说明期初定价错误，于是可以买入或卖出。三、资本资产定价模型的应用2、资源配置CAPM的思想在消极的和积极的组合管理中都可以应用。在消极的资产组合管理中，投资者可以按自己的风险偏好，选择一种或几种无风险资产和一个风险资产的市场组合进行资源配置。积极的组合管理者将在预测市场走势和计算β值上下功夫。根据市场走势，调整资产组合的结构。例如，当预测到市场价格将呈上升趋势时，他们将在保持无风险资产和风险资产比例的情况下，增加高β值资产的持有量，反之，将增加低β值资产的持有量。牛市选择β系数大的股票，熊市选择β系数小的股票四、资本资产定价模型的有效性问题早在20世纪70年代末期，有关CAPM有效性以及在投资管理中应用β值的合理性问题就被提出了。有关CAPM检验的论文数以千计，至今仍是一个悬而未决的问题。人们对CAPM有效性问题的质疑是由模型推导过程中的一些不现实的假设引起的。CAPM检验主要回答的是：在现实生活中，β值是否是衡量资产风险的相对标准，资产收益是否与CAPM确定的收益—风险关系相符合？——在大量检验中，结果不一致。CAPM缺乏一致的有效性检验结果的主要原因有两个：一是资本市场是非常复杂的，CAPM的很多假设在现实社会中都被搅乱了。二是受实证检验所用的统计技术的限制。CAPM有效性问题的关键在于市场组合和β值的衡量标准。启示：对CAPM的应用应持慎重态度，要充分认清CAPM的限制，避免简单机械地应用CAPM。举例1：某组合由完全负相关的证券A和证券B组成，其中证券A的标准差为30%，期望收益率为14%，证券B的标准差为25%，期望收益率为12%。请问在此情况下，按什么比例买入证券Ａ和证券Ｂ可以形成一个无风险组合？该组合可得到的稳定收益率是多少？三、证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1、两种证券组合的可行域（2）完全负相关下的组合线。在此情况下，按适当的比例买入证券Ａ和证券Ｂ可以形成一个无风险组合，得到一个稳定的收益率。令σP=0，可得：

举例1：

解：

=25%/(30%+25%)=45.45%

=30%/(30%+25%)=54.55%

=（25%×14%+30%×12%）/(30%+25%)

=19.45%举例2:OA公司去年支付每股股息为1.5元，预计今后每股股息将以每年12%的速度稳定增长。当前的无风险利率为0.05，市场组合的期望收益为0.16，A公司股票的β值为1.8。那么，A公司股票当前的合理价格应为多少？举例解：首先，根据CAPM模型，可得A股票的必要收益率为：

k=Rf+βA[E(RM)-Rf]

=0.05+1.8×（0.16-0.05）

=0.248其次，根据股票现金流估价模型中的不变增长模型得出A公司股票当前的合理价格为：

P=D0×（1+g）/（k-g）

=1.5×（1+12%）/（24.8%-12%）

=13.125（元）第四节套利定价理论资本资产套利定价理论（APT）是一个决定资产价格的均衡模型，它认为证券的实际收益率要受更多普遍因素的影响，证券分析的目标在于识别经济中的这些因素以及证券收益对这些因素的不同敏感性。一、APT的研究思路APT要研究的是，如果每个投资者对各种证券的预期收益和市场敏感性都相同的话，各种证券的均衡价格是如何形成的。拓展问题的思路：首先，分析市场是否处于均衡状态；其次，如果市场是非均衡的，分析投资者会如何行动；再次，分析投资者的行为会如何影响市场并最终使市场达到均衡；最后，分析在市场均衡状态下，证券的预期收益由什么决定。一、APT的研究思路APT认为，套利行为是现代有效市场形成（亦即市场均衡价格形成）的一个决定因素。APT认为，如果市场未达到均衡状态的话，市场就会存在无风险的套利机会。套利机会不仅存在于单一证券上，还存在于相似的证券或组合中，也就是说，投资者还可以通过对一些相似证券或组合部分买入、部分卖出来进行套利。具有相同因素敏感性的证券或组合必然要求有相同的预期收益率。二、因素模型（一）单一因素模型：假设条件：随机误差项与因素不相关，任何两种证券的随机误差项不相关ri=ai+biF+ei其中：ri-证券i的收益率。ai-没有因素F的期望收益。F-市场因素的价值。bi-证券i对因素F的敏感系数。ei-随机误差项。（一）单一因素模型T根据单一因素模型，证券i的预期收益率为：证券i的方差以及证券i和证券j的协方差分别为：其中，为因素风险，为非因素风险。（二）多因素模型ri=ai+bi1F1+bi2F2+…+biNFN+ei其中，F1、F2、…FN…是影响证券收益的各共同因素，b1b2…bN是证券i对这些因素的灵敏系数。（二）多因素模型多因素模型也适用于证券组合将多因素模型公式代入式中，ap,bp1,bp2…bpN,ep是它们所包含的各个证券ai,bi1,bi2…biN,ei的加权平均数，权数为各证券在组合中的投资比率。在多因素模型中，投资组合同样能实现分散投资效应。三、套利定价模型（一）套利定价模型的假设APT与CAPM相同的假设：投资者有相同的预期；投资者追求效用最大化；市场是完美的。APT的最基本的假设就是：投资者都相信证券I的收益随意受k个共同因素的影响，证券I的收益与这些因素的关系可以用下面这个k因素模型表示出来：式中：ri是任意一种证券i的收益；E（ri）是证券i的预期收益，包含了到目前为止所有可知的信息；bik（k=1，2，…，n）是证券i相对于第k因素的敏感度；ei是误差项，也可认为是只对个别证券收益起作用的非系统因素；Fk（k=1，2，…，n）是对所有资产都起作用的共同因素，也称系统因素。三、套利定价模型（二）套利定价模型