计算水力学05课件

计算水力学第五章河网水流计算计算水力学

李光炽河网水流计算前面介绍单一河道水流的模拟计算。在实际的工程问题中，单一河道的情况比较少见，通常流域是由众多支流自上而下汇合形成的河系，流域河系的水流运动大都呈河网水流问题。本章介绍河网水流模拟的计算方法。在介绍河网水流计算之前，首先介绍与河网有关的概念。计算水力学

李光炽第一节

河网的基本概念天然状态下，流域的河系一般都呈网状，故称作河网。根据河网的特征，可分为树状河网和环状河网。一般流域上游水系有干流和支流之分，干流如树干，支流如树枝，故整个流域的河系结构如树干到树枝的结构，这种河系称之为树状河网，如图5.1所示。计算水力学

李光炽树状河网计算水力学

李光炽环状河网在平原地区水系，河道纵横交错，河道没有固定的流向，河系呈环形结构，这种河系称之为环状河网，在流域下游的平原地区水系都为这种河网，如图5.2所示。计算水力学

李光炽环状河网计算水力学

李光炽河网的节点河道的两端点，称之为河网的节点。 按节点处的蓄水面积可分为两类： 有调蓄节点 无调蓄节点 按节点的边界条件可分为两类： 一是节点处有已知的边界条件，称为外节点； 二是节点处的水力要素全部末知，称为内节点。计算水力学

李光炽环状河网节点、流向的定义 在环状河网计算中把内节点简称为节点，这时的节点是两条河道的交汇点。在河网水流计算中，涉及到河道流向的定义。在流域上游河系，河流从上游流向下游，河道的流向明确。在平原地区河网，由于河流流向取决于当时的水流条件，河道的实际流向未知，所以有必要对计算的流向进行定义。计算水力学

李光炽计算的流向河道计算的流向总是假定从断面号小的向大的方向流动，实际的流向由计算结果来判断。计算结果为正，表示实际流向与假定流向一致。计算流量结果为负表示实际流向与假定流向相反。计算水力学

李光炽河道分类在计算河网水流时，根据河道的端点条件，可把河道分为外河道和内河道两类。外河道是一端具有已知的边界条件的河道，即一端为外节点；内河道是两端水力要素全部未知的河道，即二端均为内节点。在树状河网，这两类河道的计算没有区别。在环状河网，这两类河道计算有很大的区别。下面就树状河网与环状河网分别介绍计算方法。计算水力学

李光炽第二节

树状河网水流计算树状河网结构的基本特征是任意河道都不会组成环形回路。根据这种结构特征，只要注意一定的计算次序，即可把河网分解为一系列的单一河道，用上一章介绍的追赶法求解。下面讨论树状河网的计算方法。计算水力学

李光炽一、树状河网计算方法树状河网计算的关键是确定计算河道顺序。计算顺序应遵循的原则是：从支流到干流，从上游到下游。这样可以把河网依次分解为一系列的单一河道，用单一河道的计算方法求解。计算水力学

李光炽计算水力学

李光炽河道1计算边界条件追赶方程计算水力学

李光炽河道2计算边界条件追赶方程计算水力学

李光炽节点3计算节点③的相容方程

河道1、２末断面的追赶方程

计算水力学

李光炽节点3计算联立求解得为河道3首断面的追赶方程

计算水力学

李光炽河道3计算利用递推公式可以计算河道3各断面的追赶系数

计算水力学

李光炽节点4计算最后一个方程与节点④的边界条件联立

求解可得，再回代到河道3的追赶关系求出各断面的水位和流量。把河道3的首断面的水位，回代到河道1、２的追赶关系求出各断面的水位和流量。计算水力学

李光炽有调蓄节点若内节点③是一个有调蓄节点，其相容方程为整理得

计算水力学

李光炽有调蓄节点利用河道1、2末断面追赶关系可解得

有调蓄节点的计算与无调蓄节点的计算相比，只有节点方程的差别，计算方法相同。计算水力学

李光炽二、树状河网编程技巧

计算水力学

李光炽1.数据准备(1)节点编码：对于河道的端点，统一编码，顺序可以任意。(2)河道编码：对于河道统一编码，编码代表计算的序号，编码的原则是：先支流，后干流，先上游，后下游。(3)断面编码：以上游向下游递增的原则，增加的方向代表流向。计算水力学

李光炽数据准备(4)计算河道边界信息：确定计算河道边界条件类型，水位型边界条件ＩＢ＝０，流量型边界条件ＩＢ＝１。对于最外一级河道，以实际的边界条件确定，对于其它河道，一律以流量型边界条件计算。(5)河道计算信息：根据(1)的节点编码和(3)的断面编码，确定河道计算的首节点号，末节点号，首断面号，末断面号。(6)计算河道的基本地形资料。计算水力学

李光炽2.计算编程

(1)边界条件初始化，边界条件累加器置初值，将已知的外节点边界PB、VB置已知值，对未知的内节点边界置PB、VB初始值为零。(2)对可调蓄节点，将蓄水量的变化表达成流量与水位的线性关系，作为对相应节点边界流量的贡献，迭加到PB、VB中。(3)根据河道编码的顺序，依次对各河道的追赶系数进行计算。计算水力学

李光炽计算编程(a)首断面边界条件：从首节点获取首断面的边界条件ＰL1、ＶL1。(b)按单一河道计算各断面追赶系数，Ｐ、Ｖ、Ｓ、Ｔ。(c)由末断面追赶系数PL2，VL2计算对末节点的边界流量的贡献，迭加到相应节点的PB、VB中。计算水力学

李光炽节点水量平衡方程计算水力学

李光炽计算编程(4)按计算追赶系数的逆顺序，回代出各河道断面的水位和流量。(a)由最后一条河道的边界条件，计算出节点水位。(b)ZL2=ZZ(末节点)，由P、V、S、T回代出断面的水位和流量。(c)将ZL1赋到对应的首节点的水位ＺＺ（首节点）中。计算水力学

李光炽计算框图

计算水力学

李光炽计算框图计算水力学

李光炽计算框图计算水力学

李光炽第三节环状河网水流计算

对于环状河网，可以利用显式差分求解，但工程上一般倾向于利用隐式求解。早期针对小型河网，以河道断面的水力要素为基本未知量，采用对所有未知量建立方程组直接求解的一级解法。在这种方法中,方程组系数矩阵过于庞大，难以应用于大型河网。为了适用于大型河网，其后发展了以河道首、末断面的水力要素为基本未知量的二级解法。计算水力学

李光炽环状河网水流计算

该法是在一级解法的基础上，对河道中间断面未知量形成的子矩阵先行求解，表达为基本未知量的函数，消去中间断面未知量，从而使得方程组的系数矩阵大大降阶，易于求解。为了进一步降低方程组的阶数，有效求解大型河网，对二级解法的基本未知量再进一步消元，形成以节点水位为基本未知量的三级解法，这就是目前最常用的方法。

计算水力学

李光炽环状河网计算示意图

计算水力学

李光炽一、外河道计算外河道的求解是通过边界条件确定首断面的递推关系，用追赶的方法求解各断面的水位与流量递推关系，得到汇入基本河网的末断面流量与内节点水位的关系。（１）对于水位型边界条件有如下追赶方程

计算水力学

李光炽外河道计算（２）对于流量型边界条件有如下追赶方程无论哪一类型边界条件的外河道，末断面的流量QL2都可表达成QL2=f(ZL2)=f(Z末)Z末为末节点水位。由河网联解求出节点水位ZL2，回代即可求得Zi、Qi。计算水力学

李光炽二、内河道计算设河道的首断面号为L1，末断面号为L2，有如下差分方程：有2(L2-L1+1)个未知量，2(L2-L1)个方程，方程的个数总比未知量个数少两个。以首、末断面水位为基本未知量，可利用双追赶方程求解，具体如下：计算水力学

李光炽内河道计算令：由L1河段的差分方程有消去QL1得

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李光炽内河道计算与追赶方程比较得

计算水力学

李光炽内河道计算把追赶关系代入差分方程

计算水力学

李光炽内河道计算令消去Zi－1得计算水力学

李光炽内河道计算与追赶方程比较可得

i=L1+2,L1+3,…,L2

计算水力学

李光炽内河道计算令：由L2-1河段的差分方程有

消去QL2得计算水力学

李光炽内河道计算与追赶方程比较得计算水力学

李光炽内河道计算把追赶关系代入差分方程

计算水力学

李光炽内河道计算令消去Zi+1得可以解得追赶方程的追赶系数计算水力学

李光炽内河道计算与追赶方程比较可得i=L2-2，L2-3，…，L1

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李光炽内河道计算由上述递推公式可以得到首、末断面流量表达为首、末节点水位的线性组合。环状河网的追赶方程，每个河段有6个需要保存的追赶系数。当首、末断面水位求得后，利用同一断面上的追赶关系可解得水位和流量。计算水力学

李光炽内河道计算对同一断面上的流量联立求解得

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李光炽三、节点水位方程如何求解节点水位是河网求解的关键问题。求解河网节点水位，必须建立节点水位方程。节点水位方程建立的依据是水量守衡原理，即流进某一节点的水量之和等于该节点蓄水量的变化。计算水力学

李光炽节点水位方程把首、末断面流量的节点水位关系式代入节点水量平衡方程，得到与节点i相邻的节点水位为未知变量的线性代数方程：对河网每一个节点，都可建立这样的节点水位方程，形成以河网节点水位为基本未知变量的线性代数方程组：

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李光炽节点水位方程节点水位方程系数矩阵节点水位列阵右端项列阵

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李光炽节点水位方程以节点（8）为例，同该节点有直接联系的河道有6、7、17、18四条，这四条河道在节点（8）处的入流方程为：计算水力学

李光炽节点水位方程节点水量平衡条件为 可见方程中的节点水位只包含与该节点有直接联系的节点水位。计算水力学

李光炽四、求解步骤首先，确定基本河网。第二，对基本河网节点编码。第三，对计算河道编码。第四，计算断面编码。第五，根据边界条件，计算外河道的水位流量追赶方程。第六，计算内河道的水位流量追赶方程。计算水力学

李光炽求解步骤第七，建立节点水位方程。第八，求解节点水位方程组。第九，求得节点水位后，利用追赶关系求解内河道各计算断面上的水位和流量。第十，将节点的水位代入外河道的追赶方程，逐步回代求得外河道各断面的水位和流量。计算水力学

李光炽第四节最优编码解法一、最优编码解法河网水流的求解最终归结于节点水位方程的求解。节点水位方程的求解效率，决定河网计算的效率。因此，节点水位方程的求解显得相当重要。下面讨论一种常见的求解方法，最优编码解法。计算水力学

李光炽最优编码解法河网节点水位方程组的系数矩阵A，当矩阵的阶n较小时，可用任何一种方法求解，如高斯消元法。而随着n的增加，求解方程的工作量正比于n3。可见，当河网节点数较多时，会因为求解方程组的工作量庞大而无法实现。先分析矩阵的性质。计算水力学

李光炽最优编码解法计算水力学

李光炽最优编码解法系数矩阵特性：(1)非零元素对称分布于主对角线。(2)矩阵为一个稀疏矩阵，矩阵中的大多数元素为零，非零元素的个数相对于元素总数来说很少。(3)矩阵的非零元素集中在以主对角线为中心的斜带形区域。计算水力学

李光炽最优编码解法直接求解方程必须解决的问题：（１）排列方程和未知元，使得对角元是一个合适的主元，而且在消元过程中必须保持系数矩阵的稀疏性结构。（２）尽量避免零元素的存贮和运算。（３）存贮矩阵元素时应使矩阵的一行和一列元素能够有效的存取。

计算水力学

李光炽最优编码解法高斯消元法求解的步骤(1)用第1行的元素，消去第2行到第n行第1列的元素；(2)用第2行的元素，消去第3行到第n行第2列的元素；以此类推，用第i行的元素，消去第i+1行到第n行第i列的元素，直到第n行，使矩阵成为上三角矩阵，解出第n个变量。计算水力学

李光炽最优编码解法最后从n-1到1逐个回代求出所有未知变量。这是一般的解法，其求解运算的工作量正比于ｎ３。考虑到矩阵Ａ的性质，其非零元素集中在以主对角线为中心的斜带形区域内，带宽为ｗ。求解运算只需在代形域内进行，域外为零元素，不必参加运算。计算水力学

李光炽最优编码解法所以，可以用ｎ×ｗ的矩阵来存贮对应各行的非零元素。求解的带宽为ｗ：计算水力学

李光炽最优编码解法用带形存贮的高斯消元法求解方程组的计算工作量正比于。所以，减小带宽不仅可以节省计算机内存，而且能有效提高计算的速度。对于特定的河网，带宽主要取决于节点编码，随着节点编码的好或坏而减小或增大。因此在求解河网水流时，存在着一个最优节点编码问题，即得到带宽最小的编码方法。计算水力学

李光炽编码A（W＝7）计算水力学

李光炽编码B（W＝7）计算水力学

李光炽编码C（W＝11）计算水力学

李光炽编码D（W＝11）计算水力学

李光炽最优编码原则(1)带宽由编码决定，取决于同一层的最多节点数。(2)最优编码不是唯一的。(3)最优编码应遵循的原则是：沿着节点数目少的方向顺序编码，即同一层的节点数尽可能的少。计算水力学

李光炽天然河网编码方法天然河网节点分布是非常不规则的，可以采用分层的办法进行优化编码。对结构复杂的河网常常不会导致最优编码，因为每一层中包含的节点数目相差太大。应当进行必要的调整，使每一层包含的节点数尽可能均匀，调整包含的节点数目最多的层次，减少该层所包含的节点数，反复试验，直到带宽无法减小为止。

计算水力学

李光炽二、编程技巧1.数据准备(1)节点编码：根据系数矩阵带宽最小原则，对内节点进行统一编码。(2)河道编码：分别内河道与外河道统一编码，编码顺序可以任意。(3)断面编码：对于内河道，以首节点对应于首断面，末节点对应于末断面，首断面向末断面方向递增，代表河道的计算流向。对于外河道，以外节点向内节点递增为原则。计算水力学

李光炽数据准备(4)外河道边界信息：按实际的边界条件类型确定。(5)河道的计算信息：根据(1)的节点编码和(3)的断面编码，确定内河道的首节点和末节点号，确定外河道的末节点号，确定河道的首断面号和末断面号。(6)计算河道的基本地形资料和边界条件资料。计算水力学

李光炽2.计算编程(1)计算外河道的边界条件，系数矩阵初始化。(2)对可调蓄节点，将蓄水量的变化表达成流量与水位的线性关系，迭加到相应的节点水位方程。计算水力学

李光炽计算编程(3)按外河道的顺序，依次计算外河道的追赶系数。(a)首断面的追赶系数由边界条件确定。(b)按单一河道计算追赶系数P、V、S、T。(c)将末断面的流量水位关系迭加到末节点水位方程。计算水力学

李光炽计算编程(4)按内河道的顺序计算内河道的追赶系数。(a)计算各河段的差分方程系数C、D、E、F、G、Φ。(b)计算各断面的追赶系数。(c)将首、末断面流量的水位表达式迭加到相应的节点水位方程。计算水力学

李光炽计算编程(5)用高斯消去法求解节点水位方程。(6)用节点水位回代求出各断面的水位和流量。计算水力学

李光炽第五节矩阵标识法

一、矩阵标识法

对于大型复杂河网，优化编码是困难的，节点编码常常因人而异，模型计算工作量也会因人而异，而且对于已建的大型河网模型应用于工程规划、管理、调度运行过程中，常有可能对河网进行修改和扩充，如在原河网中新增一条内河，这一微小变化，可能导致原河网节点编码不再是最优。必须重新进行节点编码优化，导致计算所需的基本数据必须重新整理。模型的可扩充性受到一定的限制。计算水力学

李光炽矩阵标识法迭代法求解具有编程简单的优点，必须考虑收敛性问题，先考察矩阵A的特点：对于一条内河道，在系数矩阵A内产生两个非零元素。对于一个具有ｍ条内河道，n个节点的河网，其对应的系数矩阵Ａ的非零元素总个数为n+2m，而Ａ的元素个数为n2。计算水力学

李光炽对于较大的n，n+2m<<n2，故系数矩阵Ａ为高稀疏矩阵。矩阵A是主对角占优矩阵，为考察Ａ的这一特性，以恒定流动为例来说明。根据河道流向的定义，流量从首节点流入末节点，恒定状态的流量可由谢才公式来表示计算水力学

李光炽矩阵标识法谢才公式当i为首节点时，流入i节点的流量为：当i为末节点时，流入i节点的流量为：计算水力学

李光炽矩阵标识法系数矩阵A有如下关系

系数矩阵A为主对角占优矩阵。可采用迭代法求解。超松弛法迭代计算公式

计算水力学

李光炽矩阵标识法

由于零元素运算不影响结果，如果能避免所有零元素运算，即可提高求解运算的效率。 对非零元素随机分布的稀疏矩阵A，按行将A的非零元素依次排成一个元素序列{b}={b1，b2，…，bt}，存放于一维系数数组B［1:t］中。计算水力学

李光炽矩阵标识法对应的元素列标排成序列{Dr}={Dr1，Dr2，…，Drt}，存放于标识代码数组Dr［1:t］中。同时把每一行的第一个非零元素在B中的序号排成系列{Ri}={Ri1，Ri2，…，Rin}，存放于行代码指示数组Ri［1:n］中，其中t为矩阵A的非零元素的总个数，ｎ为矩阵Ａ的阶。计算水力学

李光炽矩阵标识法利用矩阵标识代码数组Dｒ，行代码指示数组Ri和系数数组Ｂ，超松弛法迭代计算公式可写成计算水力学

李光炽矩阵标识法由此可见，对系数矩阵的非零元素进行代码标识，完全可以只对非零元素进行运算，避免所有零元素运算，从而高效率求解节点水位方程。矩阵标识法求解的基本思想是：根据节点水位方程系数矩阵的高稀疏性，对矩阵非零元素进行代码标识。按照代码指示，把非零元素用一维数组存贮，排除零元素，节约内存。求解时，由代码指示，只对非零元素进行运算，从而大大提高方程组求解计算的效率。计算水力学

李光炽矩阵标识法矩阵标识法具有如下的特点：（１）由于只存贮非零元素，节约计算机的内存资源。（２）求解只对非零元素进行运算，提高了计算效率。（３）求解的工作量只取决于河网的结构，与河网节点的编码无关。（４）采用这种方法求解河网时，河道、节点的编码可以任意，使模型软件具有可扩充性，可移植性和通用性。计算水力学

李光炽数据准备(1)节点编码：对河网内节点进行统一编码，编码顺序可以任意。(2)河道编码：分别内河道与外河道统一编码，编码顺序可以任意。(3)断面编码：对于内河道，以首节点对应于首断面，末节点对应于末断面，首断面向末断面方向递增，代表河道的计算流向。对于外河道，以外节点向内节点递增为原则。计算水力学

李光炽数据准备(4)外河道边界信息：按实际的边界条件类型确定。(5)河道的计算信息：根据(1)的节点编码和(3)的断面编码，确定内河道的首节点和末节点号，确定外河道的末节点号，确定河道的首断面号和末断面号。(6)计算河道的基本地形资料和边界条件资料。计算水力学

李光炽计算编程

(1)计算矩阵标识代码数组{Dr}、{Ri}及内河道节点方程定位数组NBE和NEB。(2)计算外河道的边界条件，系数矩阵初始化。(3)对可调蓄节点，将蓄水量的变化表达成流量与水位的线性关系，迭加到相应的节点水位方程。计算水力学

李光炽计算编程(4)按外河道的顺序，依次计算外河道的追赶系数：(a)首断面的追赶系数由边界条件确定；(b)按单一河道计算追赶系数P、V、S、T；(c)将末断面的流量水位关系迭加到末节点水位方程。计算水力学

李光炽计算编程(5)按内河道的顺序计算内河道的追赶系数：(a)计算各河段的差分方程系数C、D、E、F、G、Φ；(b)计算各断面的追赶系数；(c)将首、末断面流量的水位表达式迭加到相应的节点水位方程。

计算水力学

李光炽计算编程(6)用SOR法求解节点水位方程。(7)用节点水位回代求出各断面的水位和流量。计算水力学

李光炽本章要点河网的概念树状河网的求解方法树状河网通用编程思想环状河网的求解方法三系数追赶法节点水位方程优化编码矩阵标识法计算水力学

李光炽截断误差和相容性

以ＦＴＢＳ格式为例

i-1ijj+1图3—3．ＦＴＢＳ格式差分图如果当Δｘ、Δｔ->０时，差分方程的截断误差的某种范数‖Ｒ‖也趋近于零即： ，则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容。如果截断误差的范数不趋于零，则称为不相容，这样的差分方程不能用来逼近微分方程。

离散误差与收敛性

所谓相容性,是指当