大学数学应用基础-线性代数﹒概率论与数理统计下册湖南教育出版社

大学数学应用根底

——线性代数﹒概率论与数理统计(下册)湖南教育出版社第十章行列式10.1二阶、三阶行列式10.2三阶行列式的性质10.3高阶行列式克莱姆法那么湖南教育出版社下页10.1二阶、三阶行列式1.二阶行列式2.三阶行列式上页下页首页10.1二阶、三阶行列式时,方程组(Ｉ)有唯一解1.二阶行列式〔Ⅰ〕二阶行列式:行列式的元素.上页下页首页主对角线次对角线线性方程(Ｉ)的解可以表示为:二阶行列式的展开式10.1二阶、三阶行列式上页下页首页如果记:那么线性方程(Ｉ)的解可以简单的表示为:行列式D是方程组(Ｉ)的系数行列式.10.1二阶、三阶行列式上页下页首页例1

用行列式解二元一次方程组:解

10.1二阶、三阶行列式上页下页首页(Ⅱ)

10.1二阶、三阶行列式2.三阶行列式上页下页首页10.1二阶、三阶行列式三阶行列式三阶行列式的展开式上页下页首页10.1二阶、三阶行列式于是方程组的解可以简单表示为:上页下页首页例2计算以下行列式:10.1二阶、三阶行列式解三角行列式上页下页首页例3

用行列式解三元线性方程组:解

10.1二阶、三阶行列式上页下页首页10.2三阶行列式的性质把行列式的行和列依次互换,得到行列式D的转置行列式上页下页首页性质1行列式和它的转置行列式相等,即例如10.2三阶行列式的性质上页下页首页10.2三阶行列式的性质性质2

交换行列式的任意两行(列),行列式仅改变符号.推论如果行列式有两行〔列〕的对应元素相同，那么此行列式的值为零．上页下页首页10.2三阶行列式的性质性质3把行列式的某一行〔列〕中所有元素都乘以同一数,等于以数乘以此行列式．推论1行列式中某一行〔列〕的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2如果行列式某行〔列〕的元素全为零，那么此行列式的值等于零．上页下页首页10.2三阶行列式的性质推论3如果行列式某两行〔列〕的元素对应成比例，那么此行列式的值等于零.上页下页首页10.2三阶行列式的性质性质4如果行列式的某一行〔列〕的各元素都是二项的和，那么这个行列式等于两个行列式的和.上页下页首页性质5

把行列式的某一行(列)的各元素乘以常数k,加到另一行上,行列式的值不变.10.2三阶行列式的性质(性质4、推论3)

上页下页首页例1

计算行列式10.2三阶行列式的性质解

(性质4的推论3)上页下页首页10.2三阶行列式的性质例2计算行列式：解上页下页首页10.2三阶行列式的性质注意:互换第i、j两行．:互换第i、j两列．:将行列式的第行i〔i列〕乘以数k．:将行列式的第j行(j列)乘以k加到第i行(i列)．上页下页首页余子式代数余子式10.2三阶行列式的性质上页下页首页性质6

行列式等于它的任意一行(列)的各元素与对应的代数余子式的乘积的和.(行列式的展开性质)10.2三阶行列式的性质上页下页首页例3

用行列式的展开性质计算行列式解

10.2三阶行列式的性质上页下页首页10.2三阶行列式的性质性质7

行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积的和等于零.例如

上页下页首页10.3高阶行列式克莱姆法那么1.高阶行列式2.克莱姆(Gramer)法那么上页下页首页划去元素所在的第i行第j列上所有的元素后形成的n-1阶行列式10.3高阶行列式克莱姆法那么1.高阶行列式n阶行列式代数余子式余子式主对角线上元素

次对角线上元素

上页下页首页阶数n大于3的行列式称为高阶行列式.三阶行列式的所有性质对于高阶行列式都成立.10.3高阶行列式克莱姆法那么上页下页首页10.3高阶行列式克莱姆法那么例1

计算解

将行列式按第1行展开,得上页下页首页例2计算以下三角行列式(即主对角线上方的所有元素都为零的行列式):10.3高阶行列式克莱姆法那么解

按第一行展开,得上页下页首页对上式中的右边的n-1阶行列式再按第一行展开,得如此下去做n次,得10.3高阶行列式克莱姆法那么上页下页首页2.克莱姆(Gramer)法那么n元线性方程组(Ⅲ)系数行列式为10.3高阶行列式克莱姆法那么上页下页首页10.3高阶行列式克莱姆法那么定理(克莱姆法那么)如果线性方程组〔Ⅲ〕的系数行列式那么该方程组有且只有惟一解上页下页首页证10.3高阶行列式克莱姆法那么行列式的展开性质上页下页首页例3用克莱姆法那么解方程组10.3高阶行列式克莱姆法那么解上页下页首页且10.3高阶行列式克莱姆法那么上页下页首页10.3高阶行列式克莱姆法那么注意克莱姆法那么有两个条件：一是方程组的未知数的个数等于方程的个数，二是系数行列式不等于零．上页下页首页当方程组(Ⅲ)的常数项不全为零时,称为非齐次线性方程组.(Ⅳ)10.3高阶行列式克莱姆法那么齐次线性方程组零解上页下页首页推论2如果齐次线性方程组有非零解,那么它的系数行列式D必为零.推论1如果齐次线性方程组的系数行列式,那么它只有零解.10.3高阶行列式克莱姆法那么上页下页首页10.3高阶行列式克莱姆法那么例4

k取何值时,齐次线性方程组有非零解?解上页下页首页课堂小结一内容提要本章的主要内容有行列式的概念,行列式的性质,行列式的计算和克莱姆法那么