完全平方公式的逆用、联用、造用

PAGEPAGE17初中数学微专题练悟试卷完全平方公式、平方差公式之逆用、联用、造用一、回顾原始公式（记住这些“旧模式”）1、“和”的完全平方公式：；2、“差”的完全平方公式：；3、平方差公式：；二、公式的逆用1、形如：“”或“”的代数式，可以收缩为：的形式，即：；2、形如：“”或“”的代数式，可以收缩为：的形式，即：；3、形如：“”的代数式，可以转化为：的形式，即：；解读与建议：①、代数式“”或“”都是“完全平方式”，它们属于“展开形式”的完全平方式，其特征是：首平方来尾平方，二倍乘积放中央；②、代数式“（和的平方）”或“（差的平方）”也都是“完全平方式”，它们属于“收缩形式”的完全平方式。特别声明，这只是“二项式”的完全平方，其特征是：括号耳朵是平方，里面俩数随便装；③、代数式“”是“平方之差”的形式，代数式“”是“两数之和”与“两数之差”的“乘积”的形式，代数式“”是“平方之和”的形式；④、常见思考策略：（ⅰ）、见到两数“平方之和”的架构，可往逆用“完全平方公式”的方向联想；（ⅱ）、见到两数“平方之差”的架构，可往逆用“平方差公式”的方向联想；三、逆用公式训练题1、已知，，则；2、若，则，；3、若，则；4、若，则；若，则；若，则；5、已知，，则；6、若，，则；7、若，则，；8、；9、已知，，，则；10、；11、若，则；12、若，，则；13、阅读理解：由易知，∴当时，代数式有最小值；同理，由易知，从而可知：，∴当，即当时，代数式有最大值；请问当________时，代数式有最________值为_________.14、；15、求的值？请写出解答过程：四、联用（多个公式，会涉及逆用）训练题1、=；2、方程的解是；3、=；4、计算：；解法一（易想难算）：原式=；点评：此法确实易想，但也不太难算啊！解法二（难想易算）：原式==；点评：此法不太难想，却又确实易算啊！5、=；感叹：本题用什么方法？自己看着办吧！6、计算：；解法一（易想易算）：原式=；点评：此法确实易想，也确实易算啊！咋滴啊？有谁不服吗？解法二（难想难算）：原式=；点评：此法确实不易想到，而且也有点难算！不咋滴？连我也这样认为！7、计算：；建议：用两种方法来解，各有简便之处！五、完全平方公式的常用“变形技巧”（属公式的逆用、造用）1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、要留意：备注：我们通常把以上7个公式，称为完全平方公式的“魔法宝典（涉及到和、积变换的经验公式，或曰有趣结论）”，这些公式不需同学刻意去背，但要有“笼统的”印象，即知道有并熟悉。在以后的解题中，根据“题目的特征”，当产生“想尝试”用这些公式来搞试验时，届时才通过临场的组合、拼凑，召唤出“宝典”中的某一精灵来帮忙即可。也就是说，数学思维的素养，不在于比拼记忆，而在于合理联想、应需构造，这就涉及到了公式的造用与创用。亲爱的同学啊，我所崇敬的魔法师们，有大批妖孽正在我们城堡外面叫嚣，大家快穿上魔袍，操起魔杖，召唤精灵驱魔去吧！百年妖精：1、已知，，则；2、已知，则________，__________；3、已知，且，则__________；4、已知，则_____；5、已知，则_____；6、已知，，则________，__________；7、已知，，则__________，__________；8、已知，，则__________；9、已知，，则________，__________；10、已知，，则__________；11、已知，，则__________；12、已知，，则；千年妖王：13、若，则_____________；14、若，则_____________；15、已知，，则________，__________，即__________________；16、已知，，则__________；17、已知，，则__________；18、已知，则________，________；万年妖帝：19、已知，则__________，__________，________，________；20、已知，且，求：①、的值；②、的值；21、已知，，，求的值；十万年妖魔仙：22、已知，，，求：①、；②、；六、完全平方公式的“项数推广”与“类比联想”1、项数推广①、由公式，可联想到：建议：应该记住这个有趣结论。一个多项式的完全平方，等于其中每一个单项式的，再加上。②、直接写出结果：。2、类比联想①、根据乘方的意义可知：②、根据以上结论，直接写出结果：。③、根据乘方的意义可知：④、直接写出结果：。3、调整形式，丰富联系（即把结果与“宝典”中的“和、积变换”联系起来）①、依据：去类比：，易得：②、依据：去类比：，易得：但，若考虑：，似乎更易操作。七、平方差公式、完全平方公式的拼补、构造1、计算：。2、求的值。3、已知、、是⊿ABC的三边，且，试判断⊿ABC的形状。4、已知，，求的值。5、四个连续自然数的乘积，再加上1所得的数是完全平方数吗？请证明。6、已知，，求的值。﹤申述一﹥：如果，解题者“甲”熟悉“六-3-①”的公式：，那么，对此题而言，他就是一个“内幕知情者”，他可以作如下书写：解答：由，可得：∴，∴==；﹤申述二﹥：如果，解题者“乙”压根儿就不知道以上那个“新魔法”公式，那么，凭借“对比观察，创设联络”的思维策略，他可以作如下思考：分析：首先，对比“”和“”，产生尝试“升次”的念头，∴由，可得，即：，也即：，又∵，∴，即：，也即：，∴，然后，就算他假装自己“类比”不出公式：，他仍可经由“”与“”的“对比观察”，继续发挥“升次”的老伎俩：由，可得，即得：，又∵，∴=；“创设联络”告捷！亲爱的同学，请你压抑住扮演“甲”的冲动，去充分领悟“乙”的思维“念头”吧！请你帮“乙”把解答过程展示出来：﹤申述三﹥：甲、乙二法并无优劣之分。会用“甲”的魔法师应扪心自问“能领悟乙吗？能学习乙吗”？会用“乙”的大师们应自我反思提炼，学习甲以提高解答效率。要晓得单独甲和单独乙都不“港火”（四川话，大意是值得自豪）。只有经历“先乙后甲”的蜕变才能“优术熟技，深耕谋略”，这体现了数学的精神与魅力。7、百万年妖祖降临：已知，，，求：（建议：各位魔杖之主对本题把玩“甲”、“乙”两种不同风格）；﹤寄语﹥：各位尊敬的魔法师啊！魔法的高远境界不是满足于熟练已有的魔法，也不是停留在融合已有的魔法，其实我们可以继承类比的思想，构造出似曾相识却又不乏新颖的魔法，甚至我们可以发挥自我的奇思异想去开创崭新的魔法领域。各位亲爱的魔法师，数学王国的法皇们对现世的古老魔法自然早已优术熟技（即熟练掌握前双基），并且还对其追寻深耕谋略（即有意实践后双基）。在这片为众多魔法师所熟悉的大陆中，他们立足数学的思想方法与精神文化，操持数学的基本方法与思维策略，把其思维的触角伸向了众人易见却又被忽略着的异域空间，他们静静地探索着，凝结着。附件：1、计算：。提示：利用“六-1-①”公式，借助“对比观察”就可以直接写出最终答案。2、求的值。提示：题目特点给人的“第一感觉”是可能要使用“平方差公式”，这就是“数感”。但是要想使用平方差公式，在构架上还缺少什么？可以把“缺少的东西”修补出来吗？但要注意保持原式的“恒等性”。3、已知、、是⊿ABC的三边，且，试判断⊿ABC的形状。提示：题目特点给人的“第一感觉”是可能要逆用公式“六-1-①”，但后来我们容易否定此念头。再看原式的特点是：具有“平方项”和“交叉项”，这也容易让我们往“完全平方公式”的方向思考，但用什么手段才能把“1倍交叉项”转化成“2倍交叉项”呢？4、已知，，求的值。提示：初看，感觉题目没有任何显著特征能让我们冒出任何念头。两个方程，解三个未知数，行吗？不行！那么本题多半要用“整体法”，但需把待求式中的什么地方看作一个整体呢？好像也抓不出任何线索啊！咋办呢？题目中共有“三元”，可以考虑消元吗？消谁呢？消元后就保证一定能破题吗？那倒未必！但是暂无他法啊！只有死马当作活马医，先消掉“一元”，再走走瞧瞧吧。点评：其实“消元”本身就属于一种“化简”的手段，这本就符合“连续化简走着瞧，有了眉目再微调”的“基本解题规律”。5、四个连续自然数的乘积，再加上1所得的数是完全平方数吗？请证明。提示：在尝试对“”进行因式分解的过程中，有没有看出可以把“某个东西”当作一个整体，因为施行整体换元后，目标的结构将变得更加醒目，能让人一目了然。6、已知，，求的值。﹤甲解法﹥：由，可得：∴，∴﹤乙解法﹥：由，可得：，又∵，∴，即：，（假如乙装疯卖傻）那么他：又由，可得：，故，.﹤再次点评、申述﹥：甲的解答显然比乙干练、快捷。但甲的破题思维就优越于乙的破题思维吗？非矣！飞矣！甲的破题思维和解答书写，体现了让数学解题成为数学技能的对应操作，体现了让数学解题印证数学经验的波动润滑；而乙的破题思维和解答书写，反映了让数学解题体现数学思想的应用落实，反映了让数学解题回归数学思维的自然流露。甲、乙两种破题思维并无优劣之分，但解完题后的乙确实该考虑可否对自己的解答书写进行优化，可否让它变得更简捷？当然对甲也要提出一个问题：你能学习如乙那般思考吗？你能体会出“对比创造找思路”这句活，可能给破题带来的一线转机吗？甲的简捷解答，或说破题念头取决于他恰好知道那个“关键的”经验公式，并且在求解该题的节骨眼上仍然对这个公式记忆犹新，也就是说甲根本没有淘过神，就把该题给成功破解了！或者还有另外一种可能，就是甲其实也淘过神。比如，在解题之初，甲对该题之结构形式所产生的数感告诉他该题的破解多半要用到那个“关键的”魔法技能，可是甲对它的记忆却是模糊不清的，咋办呢？于是甲在草稿纸上作了一番推证、微调，最终把那个“要命的”技能重新找了回来，真是急得满头大汗啊，但是随后的成功破题让甲喜笑颜开。这又能说明什么？这个对解题起关键作用的魔法技能，即：，教材上本来就没有，对知情者而言它是一种“飞升技能”，其他人不知道它的存在当然属于正常的现象，而且那些曾经记忆过它的人后来又把它搞忘了也是合情合理的。但我们在过去捕捉这类“有趣结论”的过程中所经历的“后双基”体验却能让我们得益匪浅，这些体验能让我们在回忆或重新推证“回忆对象”的过程中更加轻车熟路。我想不管是教材要求的“必备技能”，还是从教材中暗涌出来的“飞升技能”，我们都应该去处理好“渔与鱼”的关系。据此而论，我认为本文之“第六大点”谈及的“完全平方公式的项数推广与类比联想”就是一种可以适时点播的课堂节目。这是藏匿在数学教学中的数学教育，它其所涉及的“鱼”虽并非教材要求的基本技能，但蕴含于其中的各种“浅水渔术”、“深水渔术”却是考试要求的，也是数学教育在追求的“后双基”技能。简言之，不怕遗忘结论带来解题无望，只要深刻过程就能回忆开创！最后再强调，乙的破题思维本身就体现着“后双基”中的某些技巧，这是凌驾于“前双基”之上的的“思想方法”和“思维策略”，它们对数学解题具有迁移性和有效性。让我们来重温其中的某些技巧：连续化简走着瞧，有了眉目就微调，综合分析两头顾，对比创造找思路。7、已知，，，求：（建议：各位魔杖之主对本题把玩“甲”、“乙”两种不同风格）；﹤甲的解题心理活动﹥：我的数感告诉我本题可以用一个“魔法技能”来解决，但这个技能对我而言是陌生的，我从来没有在任何地方见识