大学物理学-第五章机械波

§5.1波的产生和传播§5.2平面简谐波的波动方程§5.3波的能量与能流声压与声强

§5.4波的衍射现象惠更斯原理§5.5波的叠加与干涉驻波§5.6多普勒效应

第5章波动作业：4、5、6、7、8、9、10、12、13、14、15、16、17、1§1波的产生和传播1.

机械波的产生产生条件:波源弹性媒(介)质振动的传播过程称为波动，简称波。机械振动在弹性媒质（各质元间以弹性力相联系）中的传播称为机械波，如声波、水波、地震波等；交变的电磁场通过本身的相互激发在空间传播，形成电磁波，如无线电波、光波、X射线等。近代物理的研究表明，微观粒子也具有波动性，称为物质波。波动是物质的一种常见的运动形式，具有一定传播速度，并伴随有能量的传播，能产生干涉和衍射现象等。本篇主要讨论机械波的规律。绪言2横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。2.横波和纵波3软绳软弹簧波的传播方向质点振动方向波的传播方向质点振动方向在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。4结论：(1)质元并未“随波逐流”波的传播不是媒质质元的传播(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现---波是振动状态的传播(4)

同相点----质元的振动状态相同波长相位差2相邻波是相位的传播沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。b点比a点的相位落后：abxx传播方向重要结论！5波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面(简称波面)。波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。平面波：波面为平面球面波：波面为球面3.波阵面和波射线平面波波线波阵面球面波波阵面波线6波的特征量1.波长：两相邻同相点间的距离,或一个振动周期内波传过的距离。2.波的频率:媒质质点(元)的振动频率即单位时间传过媒质中某点的波的个数。3.波速u:波速是振动状态的传播速度，数值上等于单位时间内振动状态传播的距离。波速u主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)当波长远大于介质分子间的距离时，宏观上介质可视为是连续的；若波长小到分子间距尺度时，介质不再具备连续性，此时不能传播弹性波。弹性波在介质中传播时存在一个频率上限。74.波的传播速度波速u

—振动状态(位相)的传播速度，又称相速。波速完全由媒质的性质(弹性和惯性)来确定。如液体、气体中的纵波，波速：容变弹性模量质量密度(惯性)固体中的横波，波速：切变弹性模量纵波，波速：杨氏弹性模量柔绳中的横波，波速：绳中的张力质量线密度8一列平面简谐波（假定是横波）坐标原点任设（不必设在波源处）波沿X

轴正向传播

若波沿+x向传播，空间任一点

p(x,y,z)的振动相位只和x与t有关，而和其它空间坐标无关——平面简谐波。

§5.2平面简谐波的波动方程如何描述任意时刻t、波线上距原点为x

的任一点P

的振动规律？取任意一条波线为x轴注意：P点振动相位落后0点设O点振动方程：uXY0P91.平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。10沿x

轴负方向传播的平面简谐波的表达式O

点简谐运动方程：由P

点的振动得到波动表示式：同一时刻，沿

x

轴正向，波线上各质点的振动时间和相位依次超前。yxo11例:已知求：平面简谐波的表达式解：SoxPb点比a点的相位落后：重要结论！12例:已知

解：sxoP求：平面简谐波的表达式133.波动表式的物理意义（1）给定x，波动表式给出该处质元的振动方程。（2）给定t，波动表式给出该时刻各质元离开平衡位置位移的分布情况，即该时刻的波形图。波形曲线(波形图)反映某时刻t各质元位移在空间的分布情况。

(

t时刻用照相机为所有质元拍的团体照)oxut

y14x=u

tt

时刻波形t+t

时刻波形不同时刻对应有不同的波形曲线（3）t

和

x

都变，波动表式给出任意质元在任意时刻t

的位移。即给出波形随时间而变化的情况。（1）给定x，波动表式给出该处质元的振动方程。（2）给定t，波动表式给出该时刻各质元离开平衡位置位移的分布情况，即该时刻的波形图。15（1）A点的速度大于零；（2）B点静止不动；（3）C点向下运动；（4）D点的振动速度小于零。请指出你认为是对的答案

以波速

u沿

X

轴逆向传播的简谐波

t

时刻的波形如下图随堂小议OXYuABCDA点向下运动，y<0；速度小于零。D点向下运动，y<0；速度小于零。ABCD16解:(1)平面简谐波的表达式例：已知：x0=/2处求:(1)平面简谐波的表达式，

(2)t

=

0及t

=T/4时的波形P(x)xo距离o点x处取P点17(2)t

=

0及t

=T/4时的波形t=0时刻波形t=T/4时刻波形18解：例:已知：u=20m•s-1,

沿X轴负向传播,

t

=

0

的波形如图所示。求：振幅，波长，波的周期、波动表式。o设0点振动方程：v0019弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。考虑棒中的体积V，其质量为m

(m=V)。当波动传播到该体积元时，将具有动能Wk和弹性势能Wp。平面简谐波可以证明§3波的能量与能流声压与声强

1.波的能量体积元的总机械能20⑴由动能、势能公式来看，波在传播过程中任一质元的动能和势能都随时间变化，且在同一时刻，位相相同，大小相等。即动能达到最大值时，势能也达到最大；动能为零时，势能也为零。a点：位移最大处，动能为零；没有形变，形变势能为零。b点：位移为零处，动能最大；形变最大，形变势能最大。讨论:介质质元（m

=

V）的机械能21因为弹簧振子是保守孤立系统，质元却与周围介质有相互作用。⑵质元机械能不是常量，而是随时间作周期性变化，这与弹簧振子总的机械能是一常数不同。整个过程，介质不积累能量。所以波的传播过程也是能量的传播过程。⑶质元能量由0

逐渐增加为m2A2，表明该质元从外部吸收能量；由m2A2逐渐减少为0，表明该质元向外部输出能量。体积元的总机械能22能量密度：2.

能量密度（单位体积媒质中波的能量）T平均能量密度：23能流在介质中垂直于波速方向取一面积S

，在单位时间内通过S

的能量。平均能流：平均能流密度(波的强度)

通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用I

来表示，即3.波的强度24介质的特性阻抗

z

=

u,

I的单位:瓦特/米2(W.m-2)平面余弦行波振幅不变的意义:对于球面波,若介质不吸收能量通过两球面的总能流相等球面波表达式：式中a为波在离原点单位距离处振幅的数值。254.声波按频率范围划分：次声波f<20Hz

声波20<f<20000Hz超声波f>20000Hz声强是声波的平均能流密度，即单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声能量。痛觉阈：恰好能引起痛觉的最低声强。听觉阈：恰好能引起听觉的最低声强。声强的上下限值随频率而异。在1000Hz时，正常人听觉的最高声强为1W/m2,最低声强为10-12W/m2。将I0=10-12W/m2作为测定声强的标准。声强级单位为贝尔（bel）若采用分贝（dB），几种典型声音的声强级：细语—10dB炮声的声强级—110dB聚焦超声波的声强级—210dB26声波在理想气体中的传播速度：气体的摩尔质量：气体的比热容比T：气体的温度（K）R：气体常量

对同种气体、在同一状态下，各种不同频率的声波传播速度相同。标准状态下空气中的声速常温下（20℃)

空气中的声速常温下某些媒质中的声速铅1300

海水1510铁5000玻璃6000(m·s–1)媒质声速声波在媒质中传播的速度。声速与媒质的特性和媒质的温度有关。声速27例:用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，液体的密度为1g/cm3，声速为1500m/s，求这时液体质点振动的振幅。解因I=uA22/2，所以可见液体中声振动的振幅实际上是极小的。28波在弹性介质中运动时,任一点P的振动,将会引起邻近质点的振动。就此特征而言，振动着的P点与波源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他区别。因此，P

可视为一个新的波源。1678年，惠更斯总结出了以其名字命名的惠更斯原理：介质中任一波面上的各点，都可看成是产生球面子波的波源；在其后的任一时刻，这些子波的包络面构成新的波面。惠更斯§5.4波的衍射现象惠更斯原理1.惠更斯原理29障碍物的小孔成为新的波源原波阵面新波阵面S1S2t时刻t+Dt时刻uDt30当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向绕过障碍物发生偏折的现象，称为波的衍射。波在窄缝的衍射效应2.波的衍射315.5波的叠加与干涉驻波前面我们仅讨论了一列波在介质传播的情况，如果有几列波同时在同一介质中传播时而又相遇会怎么样？波的独立传播定律当几列波同时在同一介质中传播时，它们是各自独立地进行的，与其它波的存在与否无关。如乐队合奏、二重唱，空中无线电波很多(仍能分别接收各个电台)

。如果这几列波在空间某点处相遇，那么每一列波都将独立地保持自己原有的特性(频率、波长、振动方向等)传播。1.波的叠加32水滴圆起独立传播春意盈盈，细雨绵绵。33在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。这种波动传播过程中出现的各分振动独立地参与叠加的事实称为波的叠加原理。2.波的干涉相干条件：振动方向相同频率相同相位相同或相位差恒定相干波：满足相干条件的几列波称为相干波。相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。

波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布。34A2()A1()A()Pr1r221ss强弱分布规律两个相干波源波源S1和S2的振动方程分别为：S1和

S2单独存在时,在P点引起的振动的方程为:35P点的合振动方程为:振幅A和相位f0对于P点

为恒量，因此A也是恒量，并与

P点空间位置密切相关。36（合振幅最大）（合振幅最小）若10=20，上述条件简化为：（合振幅最大）（合振幅最小）波程差37两列相干波源为同相位时，在两列波的叠加的区域内，在波程差等于零或等于波长的整数倍的各点，振幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小。因若I1=I2，叠加后波的强度：38同频率、同方向、相位差恒定的两列波,在相遇区域内,某些点处振动始终加强,另一些点处的振动始终减弱,这一现象称为波的干涉。干涉现象的强度分布39同频率、同方向、相位差恒定的两列波,在相遇区域内,某些点处振动始终加强,另一些点处的振动始终减弱,这一现象称为波的干涉。40例5.4位于两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相差为，其相距30米，波速为400米/秒，求:A,B连线之间因相干涉而静止的各点的位置。解：x41因干涉而静止的点满足：因为：42驻波的形成驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播时叠加而成的。3.驻波43沿x轴的正、负方向传播的行波合成波驻波方程振幅分布因子它的绝对值表示位于坐标x处的振动质点的振幅。即描述振幅沿X轴的分布规律。驻波中各质点均以同一频率作简谐振动。谐振动因子44波节位置相邻两个波腹(节)间的距离为/2。波腹位置合成波的振幅与位置x

有关。OXY2l2l波节波腹45OACEFGHBD波节：OBDFH

波腹：ACEG

46弦线长度等于半波长的整数倍时形成驻波。——驻波条件两端固定一端固定4.弦线上的驻波47能量分布5.驻波能量分布与相位分布波节体积元不动，动能Ek=0。（1）其它各质点同时到达最大位移时：波腹及其它质点的动能Ek=0，波节处形变最大势能EP最大。波腹附近各点速度最大Ek最大，波节及其它点无形变EP=0。（2）其它各质点同时通过平衡位置时：驻波的能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移。也可从能流密度证明：因为能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和为零。48相位分布同一时刻，相邻两波节之间的各质点的振动相位相同；波节两侧的各质点的振动相位相反。驻波不是振动相位的传播过程，驻波的波形不发生定向传播。“驻”字的三层含义：（1）驻波波形不传播（2）驻波相位不传播（3）驻波不传播能量49驻波驻波入射波入射波反射波反射波波疏媒质波密媒质XOY由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射，在界面处，形成驻波时，总是出现波腹。反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相同。波阻：介质的密度和波速的乘积称为波阻。波阻较大的介质称为波密介质；波阻较小的介质称为波疏介质。6.半波损失50入射波入射波驻波驻波反射波反射波波密媒质波疏媒质2l2lXYO由波疏媒质入射在波密媒质界面上反射，在界面处，形成驻波时，总是出现波节。反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相反，即差了。半波损失折合成波程差51例5.5一平面简谐波沿正向传播，已知其所引起的坐标原点处质元的振动方程为：在离坐标原点为处3遇一波疏/波密媒质的分界面发生反射，求：（1）反射波方程（2）驻波方程XO波疏波密52XO波疏波密解：（1）PR53（2）波腹波节54例2：如图所示，一平面简谐波沿X轴正方向传播，BC为波密媒质的反射面。波由P点反射，OP

=

3/4，DP

=

/6。在t=0时，O处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求D点处入射波与反射波的合振动方程。（设入射波与反射波的振幅皆为A，频率为

。）oxDP入反波疏波密55当观察者与波源之间有相对运动时，观察者所测得的频率不同于波源频率的现象，称为多普勒效应。以机械波为例，在静止媒质中：设观察者和波源在同一直线上运动–––波源