拉压杆的变形与叠加原理

当杆件承受轴向载荷时，其轴向和横向尺寸均发生变化。杆件沿轴线方向的变形称为轴向变形；垂直于轴线方向的变形称为横向变形。§6.8拉压杆的变形与叠加原理FF1集装箱运载桥DABCP轴向拉杆下面我们将所圈区域放大2目的：刚度问题；拉压静不定问题

方法：几何法，叠加法，能量法FFR2FR1CAB30①②P刚度问题拉压静不定问题3

工程上使用的大多数材料，其应力应变关系的初始阶段都是线弹性的，亦即当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，这就是胡克定律，可以写成1ＥoabFF一、拉压杆的轴向变形4由得ll+lb+bbFF——胡克定律EA——拉压刚度（抗拉刚度）胡克定律5三个弹性常数之间的关系：二、拉压杆的横向变形试验表明横向正应变为泊松(Poisson)比ll+lb+bbFF6只适用于计算在长度l内FN及EA均为常值的情况，即在l长度内变形是均匀。——l1l2ABF1CF2三、分段均匀和非均匀拉压杆的变形l1l2ABF1CF27如果变形是分段均匀的，则总变形按右式分段求和：杆变形的计算方法1l1l2ABF1CF2l1l2ABF1CF28如果变形是非均匀的，例如考虑自重的竖杆、变截面杆等，轴力N(x)或截面积A(x)是x的函数。则总变形按右式积分求和：杆变形的计算方法2lABlABF9ABCF1ABCF2l1l2ABF1CF2由此可见，几个载荷同时作用时产生的总效果，等于各个载荷单独作用时产生的效果的总和。此原理称为叠加原理。（线性范围）=四、叠加原理10[例1]如图螺栓内径为d=10.1mm,拧紧后在计算长度l=80mm内产生的总伸长量为l=0.03mm。螺栓材料的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.3

。试计算螺栓内的应力、螺栓的预紧力和螺栓的横向变形。解：拧紧后螺栓内的轴向正应变为11l1l2ABFCF[例2]如图所示圆截面杆，已知F=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa，为保证杆件正常工作，要求其轴向总伸长量不超过0.10mm，即许用变形[l]=0.10mm。试求截面直径d。解：分析。这是一个刚度设计问题，需要通过计算变形来确定杆的直径。因此首先需要计算杆的变形与其直径之间的关系。12l1l2ABFCFF=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa，[l]=0.10mm。1、计算轴力2、计算轴向变形总伸长：3、刚度设计要求：l

[l]取d=8.7mm13[例3]如图所示涡轮叶片，当涡轮等速旋转时承受离心力作用。叶片横截面面积为A，弹性模量为E，单位体积的质量为，涡轮的角速度为，试计算叶片上的正应力与轴向变形。解：1、叶片的外力2、叶片的内力与应力（截面法Fx=0）xdxR0nnFN(x)R0R1dxnndF14xdxR0nn3、叶片的变形微段dx的变形叶片的总变形FN(x)15解：1、叶片的外力2、dF单独作用效果n-n截面上的正应力：叶片的变形：3、所有离心力作用效果的总和n-n的正应力：叶片的总变形：R0dR1xnndF另法：叠加原理16

桁架是由二力杆铰接，外力作用在节点的结构模型。其变形通常用节点的位移来表示。[例4]图示桁架，①②杆材料为钢，E＝200GPa，横截面积A1＝200mm2，A2＝250mm2，①杆长l1＝2m。试求P＝10kN时，节点A的位移。CAB30①②P五、桁架的节点位移17解：1．求轴力2．计算变形（拉伸）（压缩）由节点A的平衡条件可得杆①、杆②的轴力分别为（伸长）（缩短）CAB30①②PFN1FN2PA30183．求A点位移。变形后的A点是分别以C点和B点为圆心，以CD和BE为半径所作圆弧的交点A"。由于变形很小，上述弧线可近似地用切线代替，于是过D点和E点，分别作CD和BE的垂线，其交点A′即可视为A的新位置。（伸长）（缩短）DCAB30①②PEA"A'19因此，A点的水平位移和垂直位移为：DAEFG

应该强调指出，在小变形条件下，通常可按结构原有几何形状和尺寸计算支反力和内力，也可采用以切线代圆弧的方法确定位移。利用小变形概念，可以使许多问题的分析计算大为简化。20构件因变形而贮存的能量，叫做应变能或变形能，用V表示。对于由零开始地缓慢加载，由能量守恒定律可知，贮存在构件内的应变能V，在数值上等于外力所作的功W，即，W=V。利用应变能的概念，可以作出构件或结构的变形或位移计算，从而解决构件或结构的刚度或静不定等问题，这种方法就称为应变能法或能量法。§6.9拉压和剪切应变能ABF121条件：载荷从0开始缓慢的增加。W等于P-l曲线下的面积。当p时，有一、轴向拉压应变能22对于在长度l内、N=P及EA均为常值的情况，即均匀拉伸：利用以上两式以及能量守恒定律有：从上式可以看出，V恒为正。对于线弹性情况，p时，23图a所示桁架，①②杆材料为钢质，E＝200GPa．横截面积A1＝200mm2，A2＝250mm2，①杆长l1＝2m。试用能量法求P＝10kN时，节点A的垂直位移。解：1．求轴力。由节点A的平衡条件可得杆①、杆②的轴力分别为[例4]CAB30①②P（拉伸）（压缩）FN1FN2PA30242．应变能计算。CAB30①②P253．位移计算。设节点A的铅垂位移为，由于与P同向，则外力所作的功为W=P/2，由能量守恒定律可得为正，说明与P同向的假设是正确的。由于V恒为正，因此当只有一个外载荷P作功时，必与P同向。！这里介绍的能量法只能求载荷方向的位移。从而有：CAB30①②P26dxdzdyyxz

v为单位体积内的应变能，称为应变能密度。p时，有,代入上式得:单向受力二、拉压与剪切应变能密度，p27dxdzdyyxzp时，有，代入上式得:剪切应变能密度： 剪切应变能：纯剪切，p28FDdh刚杆刚套橡皮管(a)rF(b)图(a)所示精密仪器底板隔振器，由圆截面钢杆、圆环截面橡皮管和钢套组成，且相互之间牢固连接，设钢杆和钢套可视为刚体，橡皮管的切变模量为G，试求钢杆的位移。解：1．应力分析。由于钢杆和钢套与橡皮管牢固连接，因此，当F作用时，橡皮管内外壁相当于受到一对剪力的作用，因此，可以假设橡皮管处于纯剪切状态，且设切应力沿高度方向均匀分布。取一同轴圆柱面，其应力分布如图(b)，由力的平衡可得得[例5]292．应变能