第3部分-无风险证券的投资价值

第3部分

无风险证券的投资价值

债券价值分析本章主要内容1.货币的时间价值2.

债券基本概念3.无风险条件下证券投资价值的评估4.债券价值分析5.债券收益衡量指标及其含义6.影响债券价值的因素7.债券定价原理8.利率的期限结构1.货币的时间价值无风险收益与货币的时间价值名义利率与实际利率

终值与现值

年金终值与现值

无风险收益与货币的时间价值无风险收益无风险收益是指投资无风险证券获得的收益。无风险证券是指能够按时履约的固定收入证券。无风险证券只是一种假定的证券。无风险收益与货币的时间价值货币的时间价值货币的时间价值是为取得货币单位时间内使用权支付的价格，它是对投资者因投资而推迟消费所作出牺牲支付的报酬，它是单位时间的报酬量与投资的比率，即利息率。名义利率与实际利率

名义利率名义利率是指利息（报酬）的货币额与本金的货币额的比率。实际利率实际利率是指物价水平不变，从而货币购买力不变条件下的利息率。

名义利率与实际利率名义利率与实际利率的关系其中：i——实际利率；r——名义利率；p——价格指数。终值与现值

终值终值是指现期投入一定量的货币资金，若干期后可以获得的本金和利息的总和。单利终值

其中:F——终值P——现值n——计息期数终值与现值复利终值其中:F——复利终值P——复利现值n——计息期数——终值系数，为简便计算，实际部门已编制复利终值系数表。终值与现值现值现值是指以后年份收入或支出资金的现在价值，即在以后年份取得一定量的收入或支出一定量的资金相当于现在取得多少收入或支出多少资金量。

单利现值其中：F——终值P——现值n——计息期数终值与现值复利现值其中：P——复利现值F——复利终值n——计息期数年金终值与现值

年金年金是指一定时间内每期金额相等的收支款项。普通年金年末支付的年金称为普通年金。普通年金的终值普通年金的终值是指一定时期每期期末等额收付款项的复利终值之和。其计算公式为：

年金终值与现值其中：F——普通年金终值A——年金数额N——计算期数

——年金复利终值系数，可查表得出。年金终值与现值普通年金现值普通年金现值是指一定时期内每期期末等额的系列收付款项的现值之和。其计算公式为：其中：P——普通年金现值A——年金数额N——计算期数

为年金现值系数，可查表得出。

2.债券基本概念金融市场与资金配置FUND金融市场资金盈余部门个人或家庭公司组织政府国外投资机构FUND股票债券商业票据股票债券商业票据资金短缺部门公司组织政府国外投资机构ReturnReturn

RiskRisk债券及其分类债券：发行者为筹集资金，向投资者发行的，在约定时间支付利息，并在到期时偿还本金的一种有价证券零息债券（贴现债券）息票债券可转换债券……息票债券的三要素债券面值---设定的票面金额息票利率---债券发行者承诺支付的利息率债券的剩余期限---从购买债券到债券到期时的时间债券：标准化的借款合同债券的价格债券（010110）的市场价格2001年记帐式国债（十年期）价格走势最新指标

（2009年11月10日）┌──────┬──────┬────┬────┬────┬──────┐

│剩余年限(年)│剩余天数(天)│净价(元)│全价(元)│应计天数│应计利息(元)│

├──────┼──────┼────┼────┼────┼──────┤

│

1.8767

│

685│

102.400│

102.764│

45│

0.3637│

├──────┼──────┼────┼────┼────┼──────┤

│当前起息日期│

当前收益率

│基点价值│久期│凸性│

到期收益率

│

├──────┼──────┼────┼────┼────┼──────┤

│

2009-09-25

│

2.8707│

0.0190│

1.848│

5.123│

1.6395│

└──────┴──────┴────┴────┴────┴──────┘

3.无风险条件下债券投资价值的评估

贴现债(或贴水债)券投资价值评估

单利债券价值评估

复利债券价值评估

债券估值分类贴现债券有息债券－－－

单利计息永久债券

复利计息债券估值的基本理念未来产生的现金流现值的和现值可以用单利计息，也可以用复利计息每期利息(I1，I2，……In)到期本金(F)若：I1＝I2＝I3＝

＝In-1＝In债券价值等于其预期现金流量的现值。▲债券一般估价模型3.1贴现债(或贴水债)投资价值评估1年以上偿还的贴现债券其投资价值计算公式为：其中：V0表示价值F表示面值r表示贴现率n表示债券到期时间3.1贴现债(或贴水债)投资价值评估1年以内偿还的贴现债券其投资价值计算公式为：其中：V0表示价值F表示面值r表示贴现率n表示残余天数3.1贴现债(或贴水债)投资价值评估例8：2002年8月29日购入2003年4月27日到期偿还的面值100元的贴现债，期望报酬率为12%，则该债券在购入日的价值评估为：即在投资者看来，该债券的内在价值为108.58元。3.2单利债券价值评估计单利、一次还本付息债券其投资价值计算公式为：其中

：V0表示价值F表示面值i表示年利率t表示偿还期限（债券总的期限）n表示债券到期期限r表示贴现率3.2单利债券价值评估例3：设某债券面值100元，年利率10%，2000年1月1日发行，2007年1月1日到期，单利计息，一次还本付息。投资者于2005年1月1日购买该券，期望报酬率为12%(单利)，其价值评估为：即：在投资者看来，该债券的内在价值为137.10元。

3.2单利债券价值评估单利计息、到期还本、每年支取利息并按单利法再投资的债券其投资价值计算公式为：其中：V0表示价值F表示面值i表示年利率t表示偿还期限n表示债券到期期限r表示贴现率3.2单利债券价值评估例4：设某债券面值100元，年利率10%，2000年1月1日发行，2007年1月1日到期，单利计息，每年付息一次，到期还本。投资者每年将利息按单利进行再投资。投资者于2005年1月1日购买该券，期望报酬率为12%(单利)，其价值评估为：即：在投资者看来，该债券的内在价值为96.77元。3.2单利债券价值评估单利计息、到期还本、每年支取利息并按复利法再投资的债券其投资价值计算公式为：V0表示价值F表示面值i表示年利率t表示偿还期限n表示债券到期期限r表示贴现率投资者持有债券到期无违约(利息和本金能按时、足额收到）收到利息能以相同的收益率再投资以相同的收益率再投资例如：在收益率模型中，3.2单利债券价值评估例5:设某债券面值100元，年利率10%，2000年1月1日发行，2007年1月1日到期，单利计息，每年付息一次，到期还本。投资者每年将利息按复利进行再投资。投资者于2005年1月1日购买该券，期望报酬率为12%(单利)，其价值评估为：即：在投资者看来，该债券的内在价值为96.62元。3.3复利债券价值评估

每年1次计息且一次还本付息的复利债券

其投资价值计算公式为：其中：V0表示价值F表示面值i表示年利率r表示贴现率n表示残存年限N表示还本年限3.3复利债券价值评估例6：设某债券面值100元，年利率10%，2000年1月1日发行，2007年1月1日到期，复利计息，一次还本付息。投资者于2005年1月1日购买该券，期望报酬率为12%(复利)，其价值评估为：即：在投资者看来，该债券的投资价值为155.35元。3.3复利债券价值评估每年计取并支付利息1次的复利债券其投资价值计算公式为：其中：V0表示价值F表示面值i表示年利率n表示残存年限r表示贴现率3.3复利债券价值评估例7：设某债券面值100元，年利率10%，2000年1月1日发行，2007年1月1日到期，复利计息并每年支付1次，到期还本。投资者于2005年1月1日购买该券，期望报酬率为12%(复利)，其价值评估为：即在投资者看来，该种债券的内在价值为96.67元。3.3复利债券价值评估每年两次付息的复利债券其投资价值计算公式为：美国方式r＝2r′(r为年复利率，r′为半年复利率)3.3复利债券价值评估AIBD方式r=(1+r′)2-13.4永久债券（统一公债）例:假设面值为1000元、票面利率为5%的永久公债，每年付息一次，如果投资者的预期年收益率是10%，那么该债券的内在价值是多少？▲可赎回债券估价模型

可赎回债券价值为其预期现金流量的现值。赎回前正常的利息收入

(I1，I2，……In)赎回价格（面值+赎回溢价）【例2-2】

ABC公司按面值1000元发行可赎回债券，票面利率12%，期限20年，每年付息一次，到期偿还本金。债券契约规定，5年后公司可以1120元价格赎回。目前同类债券的利率为10%。

要求：计算ABC公司债券市场价格计算。

♠

若债券被赎回，债券价值为：♠若债券没有赎回条款，持有债券到期日时债券的价值为：

差额19.94元，表示如果债券被赎回该公司将节约的数额4.债券价值分析2种方法债券内在价值与市场价格债券到期收益率4.债券价值分析债券内在价值与市场价格◎债券的内在价值是其理论价值，市场价格并不必然等于其理论价值。当市场价格等于其理论价值时，市场处于均衡状态。净现值法可以被用来作为投资决策的依据。4.债券价值分析净现值法的决策原则4.债券价值分析债券到期收益率◎债券的到期收益率是使得债券投资获得的现金流的现值等于其市场价格的折现率，即净现值为零时的折现率，也就是内部收益率（IRR）。到期收益率通常采用年化（annualizingreturns）的形式，即到期年收益率，票面利率指的也是年收益率。4.债券价值分析债券到期收益率的计算4.债券价值分析内部收益率法的决策原则4.债券价值分析到期收益率的计算例：假设面值为1000元、票面利率为5%、每年付息一次的息票债券，其市场价格是946.93元，它的到期收益率是多少？4.债券价值分析到期收益率的年化问题◎我们在计算债券的理论价值或债券的到期收益率的时候，通常假定每年付息一次，这个假设只是为方便起见而不是必须的，计息周期可以是年、半年、季、月等。周期性利率可以折算成年利率。4.债券价值分析到期收益率的年化问题◎尽管将半年的利率转换成年利率可以采取上述公式，但债券市场的惯例是将半年的利率乘以2来得到年利率。通过这种方法计算出来的到期收益率也被称为债券的等价收益率。4.债券价值分析到期收益率的年化问题例：假设面值为1000元、票面利率为10%、期限为2年、每半年付息一次的息票债券，其市场价格是965.43元，它的到期收益率是多少？5.债券收益衡量指标及其含义（1）即期利率（名义收益率）（2）远期利率（3）到期收益率（实际收益率）（4）当期收益率：市场收益率（票面收益/市场价格）（1）即期利率

即期利率是指债券票面所标明的利率或购买债券时所获得的折价收益与债券面值的比率。

有息债券的即期利率即为票面利率无息债券的即期利率由以下公司计算：其中：St为即期利率Mt为票面面值t为债券的期限（1）即期利率例1：设某2年期国债的票面面额为100元，投资者以85.73元的价格购得，问该国债的即利率是多少？解：根据公式，即期利率St可由下式求解=8%求解得该国债的即期利率为8%。（2）远期利率远期利率

远期利率是指隐含在给定的即期利率中从未来的某一时点到另一时点的利率。

远期利率的一般计算式为：其中：ft表示第年的远期利率St表示即期利率

（2）远期利率例2：设某票面面额100元，期限为2年的无息票国债售价为85.73元。求该国债第二年的远期利率。解：由求即期利率的公司可求得该国债的即期利率为8%。则根据远期利率公式可得：ft=9.01%解得该国债第2年远期利率为9.01%。即期利率与远期利率之间的关系

（3）收益率到期收益率到期收益率，可以使投资购买债券获得的未来现金流量的现值等于债券当前市价的贴现率。它是投资者按照当前市场价格购买债券并且一直持有到满期时可以获得的年平均收益率。债券到期收益率的计算公式为:其中:F为债券的面值，C为按按票面利率每年支付的利息，Pm为债券的当前市场价格，r为到期收益率债券收益的衡量——到期收益率到期收益率的近似简便计算公式：

=债券面值

=当前债券价格

=购买债券到债权赎回的日期（年）

=每年利息额

=每年利息额

6.影响债券价值的因素6.1到期期限（LENGTHOFTIMETOMATURITY）6.2息票利率（COUPONRATE）6.3赎回或卖出条款（CALLPROVISIONS）6.4税收待遇（TAXSTATUS）6.5流动性（MARKETABILITY）6.6违约风险（LIKELIHOODOFDEFAULT）6.1到期期限当债券的预期收益率y和债券的到期收益率k上升时，债券的内在价值和市场价格都将下降。当其他条件完全一致时，债券的到期时间越长，债券价格的波动幅度越大。但是当到期时间变化时，债券的边际价格变动率递减。

无论是溢价发行的债券还是折价发行的债券，若债券的内在到期收益率不变，则随着债券到期日的临近，债券的市场价格将逐渐趋向于债券的票面金额表5-4:20年期、息票率为9%、内在到期收益率为12%的债券的价格变化剩余到期年数以6%贴现的45美元息票支付的现值(美元)以6%贴现的票面价值的现值(美元)债券价格(美元)20677.0897.22774.3018657.94122.74780.6816633.78154.96788.7414603.28195.63798.9112564.77256.98811.7510516.15311.80827.958454.77393.65848.426377.27496.97874.244279.44627.41906.852155.93792.09948.02182.50890.00972.5200.001000.001000.00表5-5:20年期、息票率为9%、内在到期收益率为7%的债券的价格变化剩余到期年数以3.5%贴现的45美元息票支付的现值(美元)以3.5%贴现的票面价值的现值(美元)债券价格(美元)20960.98252.571213.5518913.07289.831202.9016855.10332.591190.6914795.02381.661176.6712722.63437.961160.5910639.56502.571142.138544.24576.711120.956434.85611.781096.634309.33759.411068.742165.29871.441036.73185.49933.511019.0000.001000.001000.00折(溢)价债券的价格变动当债券价格由预期收益率确定的现值决定时，折价债券将会升值，预期的资本收益能够补足息票率与预期收益率的差异；相反，溢价债券的价格将会下跌，资本损失抵消了较高的利息收入，投资者仍然获得相当于预期收益率的收益率。因此，虽然利息收入和资本收益的比重有所不同，不同息票率的债券提供给投资者的收益率是相同的。零息票债券的价格变动

零息票债券的价格变动有其特殊性。在到期日，债券价格等于面值，到期日之前，由于资金的时间价值，债券价格低于面值，并且随着到期日的临近而趋近于面值。如果利率恒定，则价格以等于利率值的速度上升。

6.2息票利率在其他属性不变的条件下，债券的息票率越低，债券价格随预期收益率波动的幅度越大。

例子假设：5种债券，期限均为20年，面值为100元

，息票率分别为4%、5%、6%、7%和8%，预期收益率都等于7%，可以利用式

(2)分别计算出各自的初始的内在价值。如果预期收益率发生了变化(上升到8%和下降到5%)，相应地可以计算出这5种债券的新的内在价值。具体结果见表5-6。

从表5-6中可以发现面对同样的预期收益率变动债券的息票率越低，债券价格的波动幅度越大。表：内在价值

(价格)变化与息票率之间的关系息票率预期收益率内在价值变化率(7%到8%)内在价值变化率(7%到5%)7%8%5%4%686087-11.3%+28.7%5%7870100-10.5%+27.1%6%8980112-10.0%+25.8%7%10090125-9.8%+25.1%8%110100137-9.5%+24.4%6.3可赎回条款可赎回条款，即在一定时间内发行人有权赎回债券。

赎回价格(Callprice)：初始赎回价格通常设定为债券面值加上年利息，并且随着到期时间的减少而下降，逐渐趋近于面值。赎回价格的存在制约了债券市场价格的上升空间，并且增加了投资者的交易成本，所以，降低了投资者的投资收益率

。赎回保护期，即在保护期内，发行人不得行使赎回权，一般是发行后的5至10年

。6.3可赎回条款可赎回条款的存在，降低了该类债券的内在价值，并且降低了投资者的实际收益率。息票率越高，发行人行使赎回权的概率越大，即投资债券的实际收益率与债券承诺的收益率之间的差额越大。为弥补被赎回的风险，这种债券发行时通常有较高的息票率和较高的承诺到期收益率。在这种情况下，投资者关注赎回收益率

(yieldtocall,YTC)，而不是到期收益率(yieldtomaturity)。

例子：

30年期的债券以面值1000美元发行，息票率为8%，比较随利率的变化，可赎回债券和不可赎回债券之间的价格差异的变化。在图，如果债券不可赎回，其价格随市场利率的变动如曲线AA所示。如果是可赎回债券，赎回价格是1100美元，其价格变动如曲线BB所示。随着市场利率下降，债券未来支付的现金流的现值增加，当这一现值大于赎回价格时，发行者就会赎回债券，给投资者造成损失。在图中，当利率较高时，被赎回的可能性极小，AA与BB相交；利率下降时，AA与BB逐渐分离，它们之间的差异反映了公司实行可赎回权的价值。当利率很低时，债券被赎回，债券价格变成赎回价格1100美元。图赎回收益率定义：

赎回收益率也称为首次赎回收益率(yieldtofirstcall)，它假设公司一旦有权利就执行可赎回条款。赎回收益率VS.到期收益率？例5-13：

30年期的可赎回债券，面值为1000美元，发行价为1150美元，息票率8%(以半年计息)，赎回保护期为10年，赎回价格1100美元

。赎回收益率(YTC)：求得：YTC=6.64%期收益率(YTM)：求得：YTM=6.82%6.3可赎回条款可赎回条款是有利于发行人的条款。可赎回条款的存在，降低了该类债券的内在价值，并且降低了投资者的实际收益率。作为对投资者的补偿，一般这种债券的息票率较高。

注意折价发行：如果债券折价较多，价格远低于赎回价格，即使市场利率下降也不会高于赎回价格，公司就不会赎回债券，也即折价债券提供了隐性赎回保护。对折价债券主要关注到期收益率。

溢价发行：

溢价债券由于发行价较高，极易被赎回。所以，对溢价债券投资者主要关注赎回收益率。6.4税收待遇不同种类的债券可能享受不同的税收待遇

同种债券在不同的国家也可能享受不同的税收待遇

债券的税收待遇的关键，在于债券的利息收入是否需要纳税

我国税法规定：个人取得的利息所得，除国债和国家发行的金融债券利息外，应当缴纳20%的个人所得税；个人转让有价证券获得资本利得的，除国债和股票外，也应缴纳20%的个人所得税。

税收待遇是影响债券的市场价格和收益率的一个重要因素

，6.4税收待遇享受免税待遇的债券的内在价值一般略高于没有免税待遇的债券，但收益率一般低于没有免税待遇的债券。

6.4税收待遇例如，某30年期的零息票债券，面值为1000美元，预期收益率10%，则发行价为1000/（1+10%）=57.31（美元）。一年后，预期收益率不变时，债券价格为1000/（1+10%）=63.04（美元）。价差63.04-57.31=5.73（美元）作为利息收入来纳税。如果预期收益率下降为9.9%，债券价格变为1000/（1+9.9%）=64.72（美元）。若债券被卖掉，价差64.72-63.04=1.68（美元）作为资本收益以相应税率纳税；若债券没有卖掉，则1.68美元的价差作为未实现的资本收益不需纳税。

6.5流动性定义：流通性，或者流动性，是指债券投资者将手中的债券变现的能力。

通常用债券的买卖差价的大小反映债券的流动性大小。买卖差价较小的债券流动性比较高；反之，流动性较低。

在其他条件不变的情况下，债券的流动性与债券的名义到期收益率之间呈反比例关系

。债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。6.5流动性债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系，但与债券的收益率呈反比例关系，即流动性高的债券收益率较低，流动性低的债券收益率较高。通常买卖价差小的债券流动性较高，反之，流动性较低。6.6违约风险定义：债券的违约风险是指债券发行人未履行契约规定支付的债券本金和利息，给债券投资者带来损失的可能性。

债券评级是反映债券违约风险的重要指标

：标准普尔公司(Standard&Poor’s,S&P)和穆迪投资者服务公司(Moody’sInvestorsServices)。债券评级分为两大类：投资级（BBB或Baa及其以上）或投机级

（BB或Ba及其以下）。由于违约风险的存在

，投资者更关注的是期望的到期收益率(expectedyieldtomaturity)，而非债券承诺的到期收益率

。6.6违约风险违约风险越高，投资收益率越高，反之，投资收益率越低。债券评级是反映债券违约风险的重要指标。债券评级依据的主要财务比率有：

固定成本倍数、杠杆比率、流动性比率、盈利性比率、现金比率等。附：

债券（优先股）评级债券评级（Rating）是对债券质量的一种评价制度，主要是对债券发行者的信誉评级，核心是违约的可能性。债券评级不是面向投资者的评级，不是对当前某种债券的市场价格是否合理进行评级，也不是推荐你要去投资某一种债券，而只是给债券贴上了商标。问题：高等级的债券的收益是否一定高于低等级的债券？美国的垃圾债券，违约风险相当高，等级非常低，但是其收益是所有债券中最高的。评级是发行者的自愿行为，在西方国家，如果债券没有评级，往往不被投资这所认可，难以体现债券的特色，债券评级类似市场细分，就难以找到销路。问题：债券评级需要花费巨大的评级费用，谁来支付？由债券发行者支付，所以评级是面向筹资者的，筹资者需要将此信息向市场公布，投资者就可以免费获得信息，或者说，评级是筹资者花钱做的广告。上海规定：只有债券达到一定的等级才能发行，合理吗？评级的依据仅仅介绍标准普尔（standardpoor）债券评级违约的可能性：还本付息的能力和意愿债务的性质和条款：债权人是否优先，在破产清算和利息支付中的位置，是否有担保等。非常情况下的债权人的权利保障情况。评级的步骤收集足够的信息来对发行人和所申报的债券进行评估，在充分的数据和科学的分析基础上评定出适当的等级。监督已定级的债券在一段时期内的信用质量，及时根据发行人的财务状况变化的反馈作出相应的信用级别调整，并将此信息告知发行人和投资者。问题：一个公司的不同债券的级别是否相同？一个企业的同种债券在不同时候级别是否相同？主要级别投资级AAAAABBBAAA-AA＋A-A+表示略高于或低于该级别CCC其他级别BBBCCDDDDDDC投机级AAA是信用最高级别，表示无风险，信誉最高，偿债能力极强，不受经济形势任何影响；AA是表示高级，最少风险，有很强的偿债能力；A是表示中上级，较少风险，支付能力较强，在经济环境变动时，易受不利因素影响；BBB表示中级，有风险，有足够的还本付息能力，但缺乏可靠的保证，其安全性容易受不确定因素影响，这也是在正常情况下投资者所能接受的最低信用度等级，或者说，以上这四种级别一般被认为属投资级别，其债券质量相对较高。后几种级别（到C为止）则属投机级别，其投机程度依此递增，这类债券面临大量不确定因素。特别是C级，一般被认为是濒临绝境的边缘，也是投机级中资信度最低的。D等信用度级别，则表示该类债券是属违约性质，根本无还本付息希望，如被评为D级，那发行人离倒闭关门就不远了。因此，是三个D还是两个D意义已不大。可转换性对债券价值的影响

可转换债券息票率和承诺的到期收益率通常较低

。因为可转换债券对投资者有利，投资者会选择对自己有利的时候实现转换。可延期性对债券价值的影响

可延期债券的息票率和承诺的到期收益率较低.因为可延期债券对投资者有利，它给予了投资者一种终止或继续拥有该债券的权利。如果市场利率低于息票率，投资者将继续拥有该债券，反之则放弃。

7.债券定价原理债券定价原理

（马尔基尔1962）定理一：债券的价格与债券的收益率成反比例关系。

定理二：当债券的收益率不变，即债券的息票率与收益率之间的差额固定不变时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正比关系。

定理三：随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。

定理四：对于期限既定的债券，由收益率下降导致的债券价格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度。

定理五：对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度之间成反比关系。

久期、凸度与免疫一、久期

马考勒久期：

由马考勒(F.R.Macaulay,1938)提出，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。

计算公式

：

其中，D是马考勒久期，是债券当前的市场价格，ct是债券未来第t次支付的现金流(利息或本金)，T是债券在存续期内支付现金流的次数，t是第t次现金流支付的时间，y是债券的到期收益率，PV(ct)代表债券第t期现金流用债券到期收益率贴现的现值。

决定久期的大小三个因素：

各期现金流、到期收益率及其到期时间

债券组合的马考勒久期

计算公式：其中，Dp表示债券组合的马考勒久期，Wi表示债券i的市场价值占该债券组合市场价值的比重，Di表示债券i的马考勒久期，k表示债券组合中债券的个数。

马考勒久期定理

定理一：只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到期时间。

定理二：直接债券的马考勒久期小于或等于它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的马考勒久期等于它们的到期时间，并等于1。定理三：统一公债的马考勒久期等于

，其中y是计算现值采用的贴现率。

定理四：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。定理五：在息票率不变的条件下，到期时间越长，久期一般也越长。定理六：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。马考勒久期与债券价格的关系假设现在是0时刻，假设连续复利，债券持有者在ti时刻收到的支付为ci(1≤i≤n)，则债券价格P和连续复利到期收益率

的关系为：

债券价格的变动比例等于马考勒久期乘上到期收益率微小变动量的相反数

修正久期当收益率采用一年计一次复利的形式时，人们常用修正的久期(ModifiedDuration，用D*表示)来代替马考勒久期。

修正久期的定义：修正的久期公式：二、凸度(Convexity)

定义：凸度(Convexity)是指债券价格变动率与收益率变动关系曲线的曲度。如果说马考勒久期等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格，我们可以把债券的凸度(C)类似地定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格。即：久期的缺陷现实生活中，债券价格变动率和收益率变动之间的关系并不是线性关系，而是非线性关系

。如果只用久期来估计收益率变动与价格变动率之间的关系，那么从公式(5-18)可以看出，收益率上升或下跌一个固定的幅度时，价格下跌或上升的幅度是一样的。显然这与事实不符.(见图5-5)图5-5.价格敏感度与凸度的关系

用久期近似计算的收益率变动与价格变动率的关系

不同凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的真实关系

图5-5说明的问题：当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；当收益率上升时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。

这说明：(1)当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变动率就不准确，需要考虑凸度调整；(2)在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。考虑凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的关系

考虑了凸度的收益率变动和价格变动关系：当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系就可以近似表示为

：三、免疫

久期免疫：免疫技术：由雷丁顿(Readington,1952)首先提出，投资者或金融机构用来保护他们的全部金融资产免受利率波动影响的策略。两种作用相互抵消的利率风险：价格风险和再投资风险，久期免疫：如果资产组合的久期选择得当，这一资产组合的久期恰好与投资者的持有期相等时，价格风险与再投资风险将完全抵消，到期时投资组合的累积价值将不受利率波动的影响。免疫资产的构造：先计算实现承诺的现金流出的久期，然后投资于一组具有相同久期的债券资产组合。久期免疫的进化

久期免疫的缺陷：

久期是对债券价格变化的一阶近似，因此，一般来说，久期会低估利率变动带来的预期收益或损失