《机械控制工程基础》4-use

机械工程控制基础4.频率特性分析4.1频率特性的基本概念4.2典型环节频率特性4.3系统的频率特性(Nyquist图,Bode图绘制)4.4频域性能指标及其与时域性能指标的关系4.5频率特性实验法估计系统的数学模型14.频率特性分析2机械工程控制基础4.频率特性分析3机械工程控制基础

时域分析的缺陷高阶系统的分析难以进行；难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。4.频率特性分析4机械工程控制基础频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与研究系统特性的方法。频率特性包括幅频特性和相频特性，它在频率域里全面地描述了系统输入和输出之间的关系即系统的特性。频率特性在有些书中又称为频率响应。本书中频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。通过本章的学习将会看到，频率特性和频率响应是两个联系密切但又有区别的概念。4.频率特性分析机械工程控制基础5频率特性分析方法具有如下特点：这种方法可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得系统的动态特性。频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节，具有非常重要的意义。不需要解闭环特征方程。由开环频率特性即可研究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。4.频率特性分析机械工程控制基础6优点：无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向易于实验分析可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）；可方便设计出能有效抑制噪声的系统。4.频率特性分析7机械工程控制基础4.1.1频率特性概述解：例：求系统的传递函数为当输入信号为xi(t)=Asint时，系统的稳态响应。4.1频率特性的基本概念8机械工程控制基础由Laplace反变换得：系统的稳态输出为9机械工程控制基础幅值是频率的函数相位是频率的函数输出频率不变系统xi(t)x0(t)Asint稳态输出信号10机械工程控制基础2、频率特性

线性系统在谐波信号输入时，其稳态输出随频率变化的特性，称为该系统的频率特性.注意：频率特性是系统在频域的数学模型幅频特性A()相频特性φ()包括=输出相位-输入相位=φ()11机械工程控制基础4.1频率特性的基本概念4.1.1频率特性及物理意义

系统在正弦函数输入作用下的稳态响应称为频率响应。线性系统传递函数为G(s)，输入正弦信号：x(t)=Xsint,则系统的稳态输出即为频率与输入的正弦信号相同，只是幅值和相位与输入不同。机械工程控制基础12线性系统在正弦函数输入下的稳态响应记为：

y(t)=Y()sin[t+()]（4-1）

研究频率响应的意义：当信号频率变化时，幅值Y()与相位差()也随之变化。系统的幅频特性定义：输出信号与输入信号的幅值之比，记为：（4-2）

它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。4.1.1频率特性及物理意义机械工程控制基础13幅频特性A()和相频特性()统称为系统的频率特性，记作G(j)。频率特性G(j)是一个以频率为自变量的复变函数，它是一个矢量。如图4-2所示，矢量G(j)的模|G(j)|即为系统的幅频特性A()；矢量Ｇ(j)与正实轴的夹角∠G(j)即为系统的相频特性()。因此，频率特性按复变函数的指数表达形式，记为：(4-3)系统的相频特性定义：输出信号与输入信号的相位之差随频率的变化，记为()。4.1.1频率特性及物理意义机械工程控制基础1415机械工程控制基础(4-4)式中Re()是G(j)的实部，称为实频特性；Im()是G(j)的虚部，称为虚频特性。在机械测试技术中，实频特性和虚频特性又分别称为同相分量和异相分量。如图4-2，显然有：

(4-5)由于频率特性G(j)是一个复变量，因此它还可以写成实部和虚部之和，即：机械工程控制基础4.1.1频率特性及物理意义16频率特性G(j)的物理意义

(1)频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的“复现能力”或“跟踪能力”。在频率较低时,T<<1时，输入信号基本上可以按原比例在输出端复现出来，而在频率较高时，输入信号就被抑制而不能传递出去。对于实际中的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的“低通”滤波及相位滞后作用。机械工程控制基础17(2)频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系统显示出不同的特性。(3)频率特性反映系统本身的特点，系统元件的参数(如机械系统的k、c、m)给定以后，频率特性就完全确定，系统随变化的规律也就完全确定。就是说，系统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与外界因素无关。频率特性G(j)的物理意义

机械工程控制基础18二、频率特性的求法1、利用系统的频率响应来求xo(t)(稳态响应)频率响应Xo(s)=Xi(s)G(s)Laplace反变换xo(t)=limxo(t)t→∞19机械工程控制基础2、用传函G(s)的s换为j来求复数表示法：（1）代数表示法：a+jb（2）指数表示法：|A|ej（3）极坐标表示法：|A|∠φImReabA--------幅值-------相位20机械工程控制基础复数的运算法则：已知复数：

A=a+jb=A1∠

1

B=c+jd=B1∠

21）两复数相加：实部相加，虚部相加

A+B=(a+c)+j(b+d)2）两复数相减：实部相减，虚部相减

A-B=(a-b)+j(b-d)21机械工程控制基础3）两复数相乘：幅值相乘，相位相加

A×B=(A1×B1)∠1+

24）两复数相除：幅值相除，相位相减22机械工程控制基础相频特性：()=-arctanT例求惯性环节的频率特性23机械工程控制基础例求闭环传函为的频率特性24机械工程控制基础25机械工程控制基础263、实验方法求频率特性进而求G(s)

(当传函未知时采用)正弦发生器被测系统改变频率图形显示器27机械工程控制基础系统s传递函数j频率特性ddtsddtjsj微分方程28以上分析可归纳如下

(1)线性定常系统的频率特性可以通过系统的传递函数获得，即：G(j)=G(s)|s=j

(4-21)

系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s=+j在=0时的特殊情况。(2)若系统的输入信号为正弦函数，则系统的稳态输出也是相同频率的正弦函数，但幅值和相位与输入信号的幅值和相位不同。显然，若改变输入信号的频率，系统时域响应的稳态值也会发生相应的变化，而频率特性正表明了幅值比和相位差随频率变化的情况。机械工程控制基础29(3)系统频率特性与传递函数、微分方程、脉冲响应函数之间都存在内在的联系。它们之间可以相互转换，如图4-5所示。因此，频率特性也和微分方程、传递函数、脉冲响应函数一样，可以表征系统的动态特性，是系统数学模型的一种表达形式。这就是利用频率特性来研究系统动态特性的理论依据。

机械工程控制基础以上分析可归纳如下

30几点说明

频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。31机械工程控制基础应用频率特性分析系统性能的基本思路：

实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。32机械工程控制基础4.2.1频率特性表示法(1)极坐标图(奈奎斯特图Nyquist)频率特性的极坐标图也称为幅相频特性图或称为奈奎斯特图。由于频率特性G(j)是的复变函数，故可在复平面[G(j)]上表示。频率特性可由复平面上相应的矢量G(j)描述，如图4-6所示。4.2

典型环节频率特性机械工程控制基础33当从0→∞变化时，G(j)矢量端点的轨迹即为频率特性的极坐标曲线，该曲线连同坐标一起则称为极坐标图。这里规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线，由零度线起，矢量逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。图中用箭头标明从小到大的方向。主要缺点:不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作用，绘制较麻烦。极坐标图的优点:在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表明了系统的频率特性。机械工程控制基础(1)极坐标图(奈奎斯特图Nyquist)34绘制频率特性Nyqusit图的步骤

1）在系统传递函数中令s=j，写出系统频率特性G(j)；

2）写出系统的幅频特性|G(j)|、相频特性∠G(j)、实频特性Re()和虚频特性Im()；

3）令=0，求出=0时的|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()；

4）若频率特性矢端轨迹与实轴、虚轴存在交点，求出这些交点。令Re()=0，求出，然后代入Im()的表达式即求得矢端轨迹与虚轴的交点；令Im()=0

，求出，然后代入Re()的表达式即求得矢端轨迹与实轴的交点。(1)极坐标图(奈奎斯特图Nyquist)机械工程控制基础355）对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求=n时的|G(j)|、∠G(j)、

Re()、Im()。若此环节（或系统）的阻尼比0<<0.707，则还要计算谐振频率r

、谐振峰值Mr及=r时的Re()、Im()。6）在0<<∞的范围内再取若干点分别求|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()；8）在复平面[G(j)]中，标明实轴、原点、虚轴和复平面名称[G(j)]。在此坐标系中，分别描出以上所求各点，并按增大的方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标出增大的方向。7）令=∞，求出|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()

；(1)极坐标图(奈奎斯特图Nyquist)机械工程控制基础绘制频率特性Nyqusit图的步骤36（2）波德图（Bode图）

波德图也称为对数频率特性图。用两个坐标图分别表示幅频特性和相频特性。幅频特性图的纵坐标(线性分度)表示了幅频特性幅值的分贝值，为L()=20lg|G(j)|，单位是分贝(dB)；横坐标(对数分度)表示值，单位是弧度/秒或秒-1(rad/s或s-1

)。相频特性图的纵坐标(线性分度)表示G(j)的相位，单位是度；横坐标（同上）。这两个图分别叫做对数幅频特性图和对数相频特性图，统称为频率特性的对数坐标图，又称为波德图（Bode）。机械工程控制基础371）坐标轴分度（2）波德图（Bode图）

机械工程控制基础对数幅频特性382）渐近线的斜率绘制对数幅频特性图时，一般常只画出它的渐近线。当要求精确时，再加以修正。所以在画渐近线之前，先要确定渐近线的斜率。渐近线的斜率是用频率增高到一倍或十倍时，L()变化的分贝数来表示的。在对数坐标图上，若2=21。则1和2两点间的距离就称为“倍频程”（octave），或简写成oct。若2=101，则1和2两点间的距离就称为“十倍频程”（decade）或简写成dec。倍频程和十倍频程的含义也可从图4-7看出。机械工程控制基础对数幅频特性39

若频率增高到一倍，L()衰减6分贝，则斜率为“每倍频程负6分贝”，记为“-6dB/oct”。相似地，若频率增高到十倍，L()衰减20分贝，则称斜率为“每十倍频程负20分贝”，记为“-20dB/dec”。2）渐近线的斜率机械工程控制基础对数幅频特性40设某环节的对数幅频特性为

L()=-20lg则频率=1和101时的对数幅值为：

L()=L(1)=-20lg1L()=L(101)=-20lg1-20lg10=-20lg1-20即该对数幅频特性渐近线的斜率为-20dB/oct。机械工程控制基础对数幅频特性2）渐近线的斜率413）对数幅频特性曲线的渐近线设某环节的幅频特性为这一环节的对数幅频特性曲线（4-22）渐近线可求得如下：当

<<1/T时，T22与1相比可以略去不计，故在这一频段的对数幅频特性，可近似地取为

L()=20lg5=14(4-23)这是一条距横坐标轴距离为14分贝，斜率为0dB/dec。机械工程控制基础42当

>>1/T时，1与T22相比可以忽略，故在这一频段的对数幅频特性，可近似的取为即(4-24)显然，这是一条斜率为-20dB/dec的直线。因此，（4-22）所示的对数幅频特性，可用式（4-23）和（4-24）所示的两条直线近似。这两条直线就是所求的渐近线。3）对数幅频特性曲线的渐近线机械工程控制基础434）转角频率两条渐近线相交处的频率称为转角频率T。转角频率可通过联解两条渐近线方程而求得。求得其实，系统对数幅频特性曲线上的各个转角频率，就是系统各组成环节的时间常数的倒数或无阻尼自然频率。对数幅频特性曲线的渐近线的斜率，在转角频率处要发生突变，所以在绘制波德图时要确定各个转角频率。机械工程控制基础445）幅值穿越频率对数幅频特性曲线与横坐标轴相交处的频率称为幅值穿越频率或增益交界频率,用c表示。穿越频率可通过求解由高频段渐近线方程和L()=0组成的联立方程而得到。如式（4-22)所示的对数幅频特性曲线的幅值穿越频率,可解联立方程

L()=20lg5-20lgTL()=0得到c=5/T45对数相频特性图的横坐标轴的分度与对数幅频特性图的相同，是按频率的对数分度；对数相频特性图的纵坐标轴是按相位的度数或弧度数线性分度的。对数相频特性对数相频特性是指频率特性函数的相位随而变化的关系。

()=∠G(j)

相位穿越频率或相位交界频率（g）对数相频特性曲线与-180°线相交处的频率，或者说频率特性函数的相位等于-180°时的频率。机械工程控制基础46波德图表示频率特性有如下优点：

1）可将串联环节幅值的乘、除，化为幅值的加、减。因而简化了计算与作图过程。2）可用近似方法作图。先分段用直线作出对数幅频特性的渐近线，再用修正曲线对渐近线进行修正，就可得到较准确的对数幅频特性图。3）可分别作出各个环节的波德图，然后用叠加方法得出系统的波德图，并由此可以看出各个环节对系统总特性的影响。4）由于横坐标为对数坐标，所以

=0的频率不可能在横坐标上表现出来，因此，横坐标的起点可根据实际所需的最低频率来决定。机械工程控制基础474.2.1典型环节的频率特性（1）比例环节的频率特性1）极坐标图由于

G(s)=K即

G(j)=K(4-27)幅频特性

|Ｇ(j)|=K(4-28)相频特性∠G(j)=0°(4-29)这表明，当从0→∞时，Ｇ(j)的幅值总是K，相位总是0°，Ｇ(j)在极坐标图上为实轴上的一定点，其坐标为（K，j0），如图4-9所示。机械工程控制基础482）波德图对数幅频特性

20lg|Ｇ(j)|=20lgK(4-30)对数相频特性

()=∠Ｇ(j)=0°其曲线是一条水平线，分贝数为20lgK。图4-10中，K＝10，故对数幅频特性的分贝数恒为20dB，而相位恒为零，故其对数相频特性曲线是与0°重合的一直线。因为由若干环节串联而成的系统的增益等于各环节增益之积，即K＝K1·K2···Kn，故系统增益的对数幅值等于各个环节增益的对数幅值之和。机械工程控制基础49（2）积分环节的频率特性1）极坐标图由于即(4-31)

幅频特性

|Ｇ(j)|=1/(4-32)相频特性∠Ｇ(j)=-90°(4-33)由此有：当

=0时，|G(j)|=∞,∠G(j)=-90°;当

=∞时，|G(j)|=0,∠G(j)=-90°。可见，当从0→∞时，G(j)的幅值由∞→0，相位总是-90°，积分环节频率特性的极坐标图是虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点，如图4-11所示。机械工程控制基础502）波德图

对数幅频特性为：

20lg|G(j)|=20lg=-20lg

(4-34)对数相频特性()=∠G(j)=-90°

于是：当=0.1rad/s时，20lg|(G(j)|=20dB，对数幅频特性经过点（0.1，20）；当=1rad/s时，20lg|(G(j)|=0dB，对数幅频特性经过点（1，0）；当=10rad/s时,20lg|(G(j)|=-20dB，对数幅频特性经过点（10，-20）。（2）积分环节的频率特性机械工程控制基础51积分环节的对数相频特性如图4-12下半部所示，它与无关，是一条过点（0，-90°)且平行于横轴的直线。

故积分环节的对数幅频特性如图4-12上半部所示。它是一条过点（1，0）的直线，其斜率为

-20dB/dec(dec表示十倍频程，即横坐标的频率由增加到10)。（2）积分环节的频率特性机械工程控制基础52

解：因，即，

例4-2作的波德图。相频特性∠G(j)=-180°

对数幅频特性为：

对数相频特性

()=∠G(j)=-180°当

=1、K=10时,20lg|G(j)|=20dB，对数幅频特性过点(1，20)。=10、K=10时，20lg|G(j)|=-20dB，对数幅频特性过点(1，-20)故幅频特性

机械工程控制基础53系统的对数幅频特性为一过点(1，20)而斜率为-40dB/dec的直线，如图4-13幅频特性图中粗实线所示，显然，它是一个比例环节(K=10)与两个积分环节(1/s)的对数幅频特性的叠加，而这两个积分环节的对数幅频特性如图4-13中虚线所示。例4-2作的波德图。机械工程控制基础54由图4-12与图4-13可知，增加一个串联的积分环节，就使对数幅频特性的斜率增加-20dB/dec，而使相位增加-90°；增加一个串联的比例环节后，其对数幅频特性垂直平移20lgK，而其相位不变。对数相频特性是一条过点(0，-180°)且平行于横轴的一直线，如图4-13所示，当然也是一个比例环节和两个积分环节的对数相频特性的叠加。例4-2作的波德图。机械工程控制基础55（3）理想微分环节的频率特性1）极坐标图由于

G(s)=s

即

G(j)=j(4-35)显然，实频特性恒为0；虚频特性为。

故幅频特性

|G(j)|=(4-36)相频特性∠G(j)=90°(4-37)机械工程控制基础56可见，当从0→∞时，G(j)

的幅值由0→∞，其相位总是90°。微分环节的频率特性的极坐标图是虚轴的上半轴，由原点指向无穷远点，如图4-14所示。由此有：当=0时，

|G(j)|=0，∠G(j)=90°；当=∞时，

|G(j)|=∞，∠G(j)=90°

（3）理想微分环节的频率特性机械工程控制基础572）波德图

对数幅频特性20lg|G(j)|=20lg

(4-38)对数相频特性()=∠G(j)=90°当

=0.1时，20lg|G(j)|=-20dB

，当

=1时，20lg|G(j)|=0dB。可见，微分环节的对数幅频特性是过点(1，0)，而斜率为20dB/dec的直线。对数相频特性是过点(0，90°)，且平行于横轴的直线。这说明输出的相位总是超前于输入相位90°。微分环节的波德图如图4-15所示。

（3）理想微分环节的频率特性机械工程控制基础5859（4）惯性环节的频率特性1）极坐标图显然，实频特性为；虚频特性为

故幅频特性

(4-37)

相频特性(4-38)

机械工程控制基础

由于即(4-36)

60当=0时，|G(j)|=1

，∠G(j)=0°

当=1/T时，

|G(j)|=0.707

，∠G(j)=-45°

当=∞时，|G(j)|=0

，∠G(j)=-90°

根据上述实频和虚频特性两式，可分别求得不同值的Re()和Im()，从而作出极坐标图。

此时，频率特性曲线为一半圆。证明如下：

设实频特性为

虚频特性为

机械工程控制基础（4）惯性环节的频率特性61所以将其代入实频特性表达式中则有，将此式整理得

（4-39）

此式是一个圆方程，但由于∠G(j)=-arctanT

，所以当0<<∞时，极坐标图是下半圆，因为此时∠G(j)与Im()恒为负值，如图4-16所示。

机械工程控制基础（4）惯性环节的频率特性622）波德图如令，此频率称为转角频率

对数幅频特性

（4-40）

对数相频特性

当<<1/T时，对数幅频特性为：

（4-41）

当>>1/T时，对数幅频特性为：

（4-42）

机械工程控制基础63即在低频段，渐近线是一条0dB/dec水平线，在高频段是一条斜率为-20dB/dec的直线，该两条渐近线相交处的转角频率为

惯性环节的对数幅频特性曲线的穿越频率和转角频率相等，即cr=T

渐近线L()=-20lgT的绘制方法：设=i

，则有L(i)=-20lgiT，如果频率i变化了十倍频程，即=10i

，则有从上式可以看出：当频率每变化十倍频程时，幅值L()衰减20dB，即斜率为-20dB/dec。机械工程控制基础2）波德图64惯性环节的对数相频特性取值如下：

当=0时，

()=-0°;从图4-17可知，对数相频特性斜对称于点(T，-45)而且在≤0.1T时，()→-0°，在T≥10时，()→-90°。准确的相频特性曲线应把每个值代入对数相频特性()=∠G(j)=-arctanT中计算所得。当=T时，

()=-45°;当=∞时，

()=-90°。2）波德图机械工程控制基础65表4-1惯性环节取不同频率时所对应的()

(rad/s)1/10T1/5T1/2T1/T2/T5/T10/T()-5.7°-11.3°-26.2°-45°-63.4°-78.7°-84.3°由图4-17可知，惯性环节有低通滤波器的特性。当输入频率>T时，其输出很快衰减，即滤掉输入信号的高频部分；在低频段，输出能较准确地反映输入。

渐近线与精确的对数幅频特性曲线之间有误差e()。由图4-18可知，最大误差发生在转角频率T处，其误差为-3dB，在2T或T/2的频率处。e()为-0.91dB，即约为-1dB，而在10T

或T/10的频率处，e()

就接近于0dB，据此可0.1T

~10T范围内对渐近线进行修正。

2）波德图机械工程控制基础66机械工程控制基础67（5）一阶微分环节的频率特性1）极坐标图由于G(s)=1+TS

即G(j)=1+jT(4-43)显然实频特性恒为1；虚频特性为T

。故幅频特性

(4-44)

相频特性∠G(j)=arctanT(4-45)由此有：当

=0时，|G(j)|=1,∠G(j)=0°；

当

=1/T时，|G(j)|=,∠G(j)=45°；

当

=∞时，|G(j)|=∞,∠G(j)=90°。

机械工程控制基础68可见，当从0→∞时，G(j)的幅值由1→∞，其相位由0°→90°。一阶微分环节频率特性的极坐标图始于点(1，j0)，平行于虚轴，是在第一象限的一条垂线，如图4-19所示。机械工程控制基础（5）一阶微分环节的频率特性69当

<<1/T时，20lg|G(j)|≈0dB，即低频渐近线是0dB水平线；

当

>>1/T

时，20lg|G(j)|≈20lgT，即高频渐近线为一直线，其始于点(1/T

，0)，斜率为20dB/dec。显然，一阶微分环节的转角频率T=1/T

。一阶微分环节的对数相频特性取值如下：

当

=0时，()=0°；

当

=T

时，()=45°；当

=∞时，()=90°。2）波德图对数幅频特性对数相频特性()=∠G(j)=arctanT

机械工程控制基础70由图4-20可知，对数相频特性斜对称于点(T，45)，

且在

≤0.1T时()→+0°，

≥10T

时，()→+90°。

比较图4-20与图4-17可知，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性分别对称于0dB线和0°线。

对数幅频特性的精确曲线与渐近线的误差修正曲线如图4-18所示，只是其分贝数取正值。

2）波德图机械工程控制基础71（6）二阶振荡环节的频率特性1）极坐标图

如令

则

(4-47)

1)(2)(1)(22++=wzwwjTjTjG(4-48)

机械工程控制基础72实频特性为

虚频特性为故幅频特性为(4-49)相频特性(4-50)

由此有：当

=0时，|G(j)|=1，∠G(j)=0°；当

=1/T时，|G(j)|=1/2，∠G(j)=-90°；当

=∞时，|G(j)|=0，∠G(j)=-180°。1）极坐标图机械工程控制基础73当从0→∞，G(j)的幅值由1→0，其相位由0°→-180°，振荡环节的频率特性的极坐标图始于点(1,j0)，而终于点（0,j0）。曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率n，此时的幅值为1/(2)，曲线在第三、四象限，取值不同，G(j)的极坐标图形状也不同，如图4-21所示。1）极坐标图机械工程控制基础74在阻尼比较小时，幅频特性|G(j)|在频率为

r

处出现峰值如图4-21所示。此峰值称为谐振峰值Mr，对应的频率r

称为谐振频率。可如下求出：由求得(4-51)

即，当频率=r时，|G(j)|出现峰值，当1-22≥0（0.707

）时，r才有意义，其谐振峰值为(4-53)

(4-52)1）极坐标图机械工程控制基础75

越小，r

就越大；

=0时，r→1/T=n；由于无阻尼自然频率n和有阻尼固有频率d的关系是，对于欠阻尼系统(0<<1)，谐振频率r总小于有阻尼固有频率d

。2）波德图

幅频特性

相频特性

振荡环节的对数幅频特性为：(4-54)

1）极坐标图机械工程控制基础76对数相频特性(a).振荡环节的对数幅频特性渐近线当T<<1时，

20lg｜G(j)｜≈0dB

(4-55)即低频渐近线是0dB水平线。当T>>1时，

20lg｜G(j)｜≈-40lgT(4-56)当=1/T时，高频渐近线20lg｜G(j)｜=0dB。可见，高频渐近线为一直线，始于点(1,0)，斜率为-40dB/dec。2）波德图机械工程控制基础77

由此可知，振荡环节的渐近线是由一段0dB线和一条起始于点(1,0)(即在r=n/T处)，斜率为-40dB/dec的直线所组成。n又可称为振荡环节的转角频率，如图4-22所示，注意，图中横坐标均为以对数刻度表示的/n。2）波德图78(b)振荡环节的对数幅频特性的误差修正曲线2）波德图机械工程控制基础79由式（4-54）可知，振荡环节的对数幅频特性精确曲线不仅与n

有关，而且与也有关。由图4-22可知，越小，n

处或它附近的峰值越高，精确曲线与渐近线之间的误差就越大。并根据不同的n和值可作出如图4-23所示误差修正曲线。根据此修正曲线，一般在0.1n~10n范围内对渐近线进行修正，即可得到精确的对数幅频特性曲线。表4-2为二阶振荡环节对数幅频特性修正表。(c)振荡环节的对数相频特性

由图4-22所示的振荡环节的对数相频特性可知：

当

=0时，()=0;当

=n时，()=-90°

当

=∞时，()=-180°。

2）波德图机械工程控制基础80表4-2二阶振荡环节对数幅频特性修正表

/n0.10.20.40.60.811.251.662.55100.10.0860.3481.483.7828.09413.988.0943.7821.480.3480.0860.20.080.3251.363.3056.3457.966.3453.3051.360.3250.080.30.0710.2921.1792.6814.4394.4394.4392.6811.1790.2920.0710.50.0440.170.6271.1371.13701.1371.1370.6270.170.0440.70.0010.00-0.08-0.472-1.41-2.92-1.41-0.472-0.080.000.0011-0.086-0.34-1.29-2.76-4.296-6.20-4.296-2.76-1.29-0.34-0.086机械工程控制基础2）波德图81由图4-22还可知，点(/n=1，-90)是相频特性的斜对称点。/n0.10.20.512510200.1-1.2º-2.4º-7.6º-90º-172.4º-177.6º-178.8º-179.4º0.2-2.3º-4.8º-14.9º-90º-165.1º-175.2º-177.7º-178.8º0.3-3.5º-7.1º-21.8º-90º-158.2º-172.9º-176.5º-178.3º0.5-5.8º-11.8º-33.7º-90º-146.3º-168.2º-174.2º-177.1º0.7-8.1º-16.3º-43.0º-90º-137.0º-163.7º-171.9º-176.0º1.0-11.4º-22.6º-53.1º-90º-126.9º-157.4º-168.6º-174.0º表4-3二阶振荡环节的相频特性()2）波德图机械工程控制基础82(d)振荡环节的谐振频率r和谐振峰值Mr

在本章中已求得

而且只有当1<0.707时才存在r

。由图4-22可知，越小,r

越接近于n

(即r/n越接近于1);增大,

r离n

的距离就增大。应指出，1>≥0.707

时，可认为r=0。

在前面，已求得

=r

时，G(jr)的幅值为：2）波德图机械工程控制基础83记|G(jr)|=Mr，由式(4-52)作出Mr-

关系曲线，如图4-24所示。当<0.707时，越小，Mr越大；→0时，Mr→∞；当1>≥0.707时，可认为Mr=1。值得指出的是，在一般的幅频特性坐标图与相频特性坐标图上，在=0.707或略小于此值时，幅频特性曲线与相频特性曲线在低频段近于直线。2）波德图机械工程控制基础84（7）二阶微分环节的频率特性由于即(4-57)它的极坐标图如图4-25所示。1）极坐标图机械工程控制基础852）波德图其幅频特性与相频特性如图4-26所示。864.3

控制系统的对数频率特性4.3.1控制系统开环波德图的绘制

控制系统一般总是由若干典型环节组成，直接绘制系统的开环玻德图比较繁琐，但熟悉了典型环节的频率特性后，就不难绘制出系统的开环玻德图。控制系统的开环传递函数一般形式为

(4-58)机械工程控制基础87故其对数幅频特性为（4-59）对数相频特性为（4-60）机械工程控制基础88绘制系统的开环波德图的步骤把系统开环传递函数化为标准形式（即时间常数形式），如（4-58）式所表示的形式；选定对数幅频特性图上各坐标轴的比例尺；求出惯性、一阶微分、振荡环节及二阶微分的转角频率，并沿频率轴上由小到大标出；根据比例环节K，计算20lgK(dB);在半对数坐标纸上，找到频率

=1rad/s及幅值为20lgK的一点，通过此点作斜率为-20N(dB/dec)的直线，N为积分环节的个数。如不存在积分环节，则作一条幅值为20logK的水平线；机械工程控制基础4.3.1控制系统开环波德图的绘制

89在每个转角频率处改变渐近线的斜率，如果为惯性环节，斜率改变为-20(dB/dec)；二阶振荡环节，斜率改变为-40(dB/dec)；一阶微分环节，斜率改变为+20(dB/dec)；如此，作到最后一段，最后一段渐近线的斜率应为

-20(N+p+2q-m)dB/dec

N为积分环节的个数；p为惯性环节的个数；

q为二阶振荡环节的个数；m为微分环节的个数可以应用上述结论验证图形绘制是否正确。如果要求精确对数幅频特性图，可对渐进线进行修正；画出每一环节的对数相频特性图，然后把所有组成环节的相频特性在相同的频率下相叠加，即可得到系统的开环对数相频特性。机械工程控制基础4.3.1控制系统开环波德图的绘制

90例4-3已知系统的开环传递函数要求绘制系统开环波德图。解：

1．将G(s)化成由典型环节串联组成的标准形式可见系统由比例环节、一阶微分环节、积分环节、惯性环节和振荡环节串联组成。其频率特性为机械工程控制基础91

2．比例环节K=7.5，20lgK=17.5dB3．转角频率由小到大分别为1.414，2，34．通过点（=1rad/s，20lgK=17.5）画一条斜率为-20dB/dec的斜线，即为低频段的渐近线。此渐进线与通过1=1.414的垂线相交点，因1是二阶振荡环节的转角频率，所以要在此点改变渐进线的斜率-40dB/dec，因此渐进线的斜率由-20dB/dec改变为-60dB/dec，此渐进线又与通过一阶惯性环节的转角频率2=2的垂线相交点改变渐进线的斜率由-60dB/dec改变为-80dB/dec。当渐进线通过一阶微分环节的转角频率3=3的垂线相交点时改变渐进线的斜率由-80dB/dec改变为-60dB/dec，这几段渐进线的折线即为对数幅频特性。4.3.1控制系统开环波德图的绘制

机械工程控制基础例4-3925．在转角频率处，利用误差修正曲线对对数幅频特性曲线进行必要的修正。6．根据式（4-60）画出各典型环节的相频特性曲线，线性叠加后即得系统的相频特性曲线。系统的开环玻德图如图4-27所示。4.3.1控制系统开环波德图的绘制

机械工程控制基础例4-393944.3.2最小相位系统最小相位传递函数：若传递函数G(s)的所有零点和极点均在复平面［s］的左半平面内，则称G(s)为最小相位传递函数。最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统。机械工程控制基础954.3.2最小相位系统(0<T<T1)(0<T<T1)具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角变化范围是最小的。例如两个系统的传递函数分别为非最小相位传递函数：若传递函数G(s)在复平面［s］的右半平面内存在零点或极点，则称G(s)为非最小相位传递函数。非最小相位系统：具有非最小相位传递函数的系统。机械工程控制基础96图4-28(a)表示两个系统的零、极点分布图，显然G1(s)属于最小相位系统。这两个系统具有同一个幅频特征，但它们却有着不同的相频特性，如图4-28(b)所示。4.3.2最小相位系统机械工程控制基础97(1)在=∞时，对数幅频特性曲线的斜率为Lk(∞)=-20(n-m)dB/dec（4-61）(2)对于最小相位系统的相位特性；

(∞)=-90º(n-m)(4-62)这里n和m分别为传递函数中分母和分子多项式的阶次。在最小相位系统中，对数幅频特性的变化趋势和相频特性的变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或者减少时，相频特性的角度也随之增加或者减少），因而由对数幅频特性即可唯一地确定其相频特性。

一个最小相位系统满足下面的条件:机械工程控制基础4.3.2最小相位系统984.3.3

闭环频率特性（4-63）（1）由开环频率特性估计闭环频率特性对于如图（4-29）所示的系统，其开环频率特性为G(j)H(j)。而该系统闭环频率特性为机械工程控制基础99

因此，已知开环频率特性，就可以求出系统的闭环频率特性，也就可以绘出闭环频率特性。设系统为单位反馈，即（4-64）（4-65）（4-66）由于上式也是的复变函数，所以上式的幅值M()和相位()分别表示为：机械工程控制基础4.3.3闭环频率特性100

逐点取值，计算出在不同频率时(j)的幅值和相位，则可分别作出M-图（闭环幅频特性图）和-图（闭环相频特性图），如图4-30所示。这样逐步计算工作量很大，但是随着计算机的应用日益普及，闭环频率特性的绘制就变的很容易了。101（4-67）显然，此式右边的后一项可看作是单位反馈系统的频率特性，其前向通道频率特性为G(j)H(j),再乘以1/H(j)，即得到(j)。令GK(j)=G(j)H(j)则研究单位反馈系统的(j)与G(j)之间的关系并不丧失问题的一般性，因为在一般情况下：4.3.3

闭环频率特性机械工程控制基础102（2）频率特性的性能指标

在频域分析中，评价控制系统性能优劣的特征量称为频域性能指标，它体现了系统的快速性、稳定性等动态品质。系统的带宽

指闭环系统的对数幅值不低于-3dB时所对应的频率范围(0≦BW≦b)。

带宽表征了系统响应的快速性。对系统带宽的要求，取决于两方面因素的综合考虑。1）截止频率b和带宽BW截止频率

指闭环对数幅值20lgM()下降到-3dB[即振幅M()

衰减到0.707M(0)]时的角频率。闭环系统将高于截止频率的信号分量滤掉，而允许低于截止频率的信号分量通过。响应速度的要求响应越快，要求带宽越宽。高频滤波的要求为滤掉高频噪声，带宽又不能太宽。4.3.3

闭环频率特性机械工程控制基础1034.3.3闭环频率特性机械工程控制基础1042）谐振峰值Mr和谐振频率r

闭环频率特性幅度值的极大值Mr，称为谐振峰值。以二阶系统为例。从知，系统的阻尼越小，Mr值越大，越易振荡。阻尼比越大，Mr越小，越易稳定下来。故Mr标志着系统的相对稳定性。当1≦Mr≦1.4（相当于对数幅值0≦Mr≦3dB）时，对应的阻尼比为0.4≦≦0.707。若<0.4

，则系统的超调量过大；>0.707，则系统不出现谐振峰值，故一般取Mr≦1.4。系统谐振峰值处的频率，称为谐振频率r，r表征了系统的响应速度。从图4-31可见，b>r，谐振频率r越大，系统带宽越宽，故响应速度越快。4.3.3闭环频率特性机械工程控制基础1053）剪切率

指对数幅值曲线在截止频率附近的斜率，该处曲线斜率越大，高频噪音衰减的越快。因此，剪切率表征了系统从噪音中辨别信号的能力。开环频率特性性能指标中，描述系统相对稳定性的增益裕度、相位裕度等将在第五章介绍。4.3.3闭环频率特性机械工程控制基础106主要介绍二阶系统的闭环频率特性的评价性能指标。的幅频特性将M(b)=0.707代入二阶系统（1）截止频率b中，可求得如下关系机械工程控制基础4.4频域性能指标及其与时域性能指标的关系107（2）谐振频率r和谐振峰值Mr：由式（4-45）得峰值时间tP与n和的关系为得调整时间ts与n和的关系为式中：=2%或=5%得机械工程控制基础108由于最大超调量和谐振峰值分别为所以由以上公式可以看出：（2）谐振频率r和谐振峰值Mr：机械工程控制基础1094.5频率特性实验法估计系统传递函数在分析和设计控制系统时，首先要建立系统的数学模型。我们已经介绍了通过解析法获取数学模型的方法。但是实际系统是复杂的，有些系统由于人们对其结构、参数及其支配运动的机理不很了解，常常难于从理论上导出系统的数学模型。因此，这里我们再介绍一种用频率特性实验分析法来确定系统数学模型的方法