大学物理复习-量子力学初步

1.经典粒子是某种实在物理量随时间和空间作周期性变化，满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象。具有确定的质量,其运动规律遵循牛顿定律。2.经典波

经典意义下的粒子和波给定初始条件，其位置、动量及运动轨迹等就具有确定的数值。对波粒二象性的理解25量子力学初步25.1波函数及其统计解释1怎样理解微观粒子既是粒子又是波?──粒子看作是波包而粒子是稳定的。波是基本的波包要扩散、消失，──波是大量粒子相互作用形成的粒子是基本的单电子的双缝衍射实验：（1949前苏联费格尔曼）7个电子100个电子2单个电子具有的波动性，而不是电子间相互作用的结果。3000个20000个70000个31.粒子性指它与物质相互作用的“颗粒性”或“整体性”。但不是经典的粒子！在空间以概率出现。

没有确定的轨道应摒弃“轨道”的概念！正确理解微观粒子的波粒二象性2.波动性指它在空间传播有“可叠加性”，有“干涉”、“衍射”、等现象。但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的波动。4单色平面波一个沿x方向作匀速直线运动的自由粒子(能量为E,动量为px)由德布罗依关系式复数形式（三维）自由粒子波函数

25.1.1波函数的引入5由于进行了量子力学的基本研究特别是对波函数作出的统计解释玻恩（M.Born)英籍德国人(1882—1970）1954年获诺贝尔物理学奖25.1.2波函数的统计解释6德布罗意波是概率波玻恩1926年提出：物质波函数描述了粒子在各处出现的概率7波函数本身没有直接的物理意义。它并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而其模方表示t时刻微观粒子，在空间点出现的相对概率密度。式中：是空间坐标和时间坐标t的函数，是其复共轭。一个微观客体在时刻t状态,用波函数(一般是复函数)完全描述.波函数也称为概率幅8归一化条件根据波函数统计解释，在全空间各点的概率总和必须为1。注意波函数可以允许包含一个任意的常数因子对于概率分布来讲，重要的是相对概率分布和描写同一个概率波因为对于空间任意两点来说概率比值相同：25.1.3

波函数的标准化条件92.波函数的有限性粒子在空间某处出现的概率不能无限大1.波函数的单值性任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值波函数的标准化条件概率不能在某处发生突变3.波函数的连续性以上要求称为波函数的标准化条件10只打开a只打开b两缝同时打开波函数遵从叠加原理:实验证实如果都是体系的可能状态，那么它的线性叠加，也是这个体系的一个可能态。25.1.4.态叠加原理11波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念哥本哈根学派--爱因斯坦著名论战量子力学背后隐藏着还没有被揭示的更基本的规律，这个规律对量子力学有新的解释。上帝不会掷骰子波函数的概率解释是自然界的终极实质玻尔、波恩、海森伯、费曼等还有狄拉克、德布罗意等12上帝并不是跟宇宙玩掷骰子游戏。不确定性是物理实质，这样的主张并不是完全站的住的。将来对物理实在的认识达到一个更深的层次时，我们可能对概率定律和量子力学做出新的解释，即它们是目前我们尚未发现的那些变量的完全确定的数值演化的结果。我们现在开始用来击碎原子核并产生新粒子的强有力的方法可能有一天向我们揭示关于这一更深层次的目前我们还不知道的知识。阻止对量子力学目前的观点作进一步探索的尝试对科学发展来说是非常危险的，科学史告诉我们，已获得的知识常常是暂时的，在这些知识之外，肯定有更广阔的新领域有待探索。在我看来，我们还没有量子力学的基本定律，目前还在使用的定律需要作重要的修改……。当我们作出这样剧烈的修改后，当然，我们用统计计算对理论作出物理解释的观念可能会被彻底地改变。13海森伯（W.K.Heisenberg，1901-1976）

德国理论物理学家。他于1925年为量子力学的创立作出了最早的贡献，而于25岁时提出的不确定关系则与物质波的概率解释一起奠定了量子力学的基础。为此，他于1932年获得诺贝尔物理学奖金。25.2不确定关系14以电子束单缝衍射为例.........只计中央明纹区,角宽度一、位置和动量的不确定关系d1位置不确定量：ppypx15ppypxd1能量与时间不确定关系式16解子弹的动量动量的不确定范围位置的不确定量范围

例1一颗质量为10g的子弹，具有的速率.若其动量的不确定范围为动量的

(这在宏观范围是十分精确的),则该子弹位置的不确定量范围为多大?17谱线的自然宽度例：若原子处于激发态能级的寿命，求光谱线的自然宽度。则解：18问题的提出：物理讨论会（1926）薛定谔：你能不能给我们讲一讲DeBroglie的那篇学位论文呢？瑞士联邦工业大学

一月以后：薛定谔向大家介绍了德布罗意的论文。你这种谈论太幼稚，作为索末菲的门徒，都知道：处理波要有一个波动程方才行啦！德拜薛定谔25.3薛定谔方程19瑞士联邦工业大学又过了几个星期原来薛定谔方程是利用经典物理，用类比的办法得到的，或者说开始只不过是一个假定，尔后为实验证实。物理讨论会（1926）20定态薛定谔方程：如果粒子所处的势场U(r)与时间无关(即 不显含时间),可用分离变量法求解.令除以得这是两个微分方程21(1)的解对比自由粒子波函数,常数E就是能量定态薛定谔方程称能量算符或哈密顿算符式称为的本征方程E称为的本征值称为的本征函数22势阱内则其通解势阱外oaxU25.4.1一维无限深方势阱23式中A,B为待定系数与本征值En对应本征函数24阱外x0,xa势阱内x正向波x反向波25一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度0a0a/2o26(2)无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀n越大,能级间隔越大。其余称为激发态(3)势阱中粒子波函数是驻波基态除x=-0,x=a无节点.第一激发态有一个节点,

k激发态有k=n-1个节点.(4)概率密度分布不均匀当n时过渡到经典力学(1)无限深方势阱中粒子能量量子化

n是量子数，En称为能级.E1E2E3E4a0Xa0X归纳：在某些极限条件下,量子规律可以转化为经典规律。2725.4.2.势垒穿透和隧道效应考虑E＜U0的情况研究穿透问题ⅠⅡⅢU(x)x0aU0ⅠⅡⅢ28上述各方程的解ⅠⅡⅢⅠⅡⅢU(x)x0aU0穿透系数29经典隧道效应量子3031例:设粒子在一维无限深方势阱中运动,能量的量子数为n,试求:(1)距势阱内壁四分之一宽度以内发现粒子的概率;(2)n为何值时在上述区域内找到粒子的概率最大;(3)当n时该概率的极值,并说明这一结果的物理意义.解:无限深方势阱为00<x<a

x0,xa其归一化波函数为概率密度a/40U(x)ax(x)(x)3a/43132(1)在距内壁四分之一宽度内发现粒子的概率为其中(2)n=3时上述区域找到粒子的概率最大,其值为:(3)与经典结果相同,在势阱内粒子在各处出现的概率相等,量子力学过渡到经典力学.32例:设粒子处在[0,a]范围内的一维无限深方势阱中,波函数为试求粒子能量的可能测量值及相应的概率.解:在一维无限深方势阱中能量本征值相应的能量本征函数为题中所给波函数为本征函数的线性组合,做变换如下:33测量能量为其概率为其概率为342.一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度a必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。(1)试由此求出粒子能量的本征值为：(2)在核(线度1.0×10-14m)内的质子和中子可以当成是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一激发态到基态转变时，放出的能量是多少MeV？解：在势阱中粒子德布罗意波长为粒子的动量为：35粒子的能量为：(2)由上式，质子的基态能量为(n=1):第一激发态的能量为：n=1,2,3…36从第一激发态转变到基态所放出的能量为：讨论：实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就是几MeV,上述估算和此事实大致相符。n=1n=2n=337解：首先把给定的波函数归一化做积分得3.设粒子处于由下面波函数描述的状态：当当A是正的常数。求粒子在x轴上分布的概率密度;粒子在何处出现的概率最大?38因此，归一化的波函数为当当归一化之后，就代表概率密度了，即当当概率最大处:即x=039双原子分子势能曲线双原子分子，晶体中的原子都在平衡位置附近作微小振动

1.线性谐振子定态薛定谔方程25.4.3一维谐振子40讨论1.能量量子化能量本征值的零点能2.波函数41线性谐振子的位置概率密度分布线性谐振子的波函数423.量子力学n较小时,位置的概率密度分布与经典完全不同.随着n,如n=11时量子和经典在平均上比较符合.43一、算符的定义作用在一个函数上得到另一函数的运算(变换)符号算符算符只是一种运算符号，它单独存在是没有意义的。它作用于波函数上，实现相应的运算才有意义。25.5力学量的平均值与算符例如44三、算符的本征（特征）值方程对于算符，如果ln

为常数则称ln为的本征值。为与相应的本征函数。45例.力学量经典定义算符位置动量角动量

动能

总能量46五、对易关系经典力学量交换律，可对易量子力学？不对易记算符和的对易关系若算符和是对易的47基本对易关系不对易，不能同时具有确定值48在球极坐标中分别和对易，因而分别和同时有确定值，注意；当与同时有确定值时，和就不确定了。2，复习：利用49可求出比较；（处理H原子时用）50例粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动。求：（1）粒子处于某一能级上的位置平均值；（2）粒子处于基态时，出现在0.45a—0.55a区域内的概率。解：(1)由势阱内本征函数以及平均值求法：力学量的平均值