【教案】余弦定理、正弦定理第3课时教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8/8§6.4.3余弦定理、正弦定理(第3课时）一、内容和内容解析内容：余弦定理、正弦定理应用举例．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第4节的内容．余弦、正弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端；用余弦、正弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型；在日常生活和工业生产中的应用又十分广泛.通过对余弦定理、正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养.二、目标和目标解析目标：（1）会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题,培养数学建模的核心素养．（2）培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，提升数学运算的核心素养．目标解析：（1）余弦定理、正弦定理的应用，主要指解三角形在实际问题中的应用，通过对实际问题的分析，建立相应的数学模型，把实际问题数学化，以此培养学生数学建模的核心素养，提高学生分析和解决问题的实际能力.（2）学生在了解相关专业术语的同时，能将专业术语数学化，结合图形，利用余弦定理和正弦定理进行计算，以此培养学生文字语言、图形语言、符号语言相互转译的能力．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在余弦定理、正弦定理应用举例的教学中，将实际问题转化为数学模型，进而利用数学模型的解解释实际问题，是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：将实际问题转化为数学问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：从日常中经常遇到的实际问题入手，结合具体体验，完成建立数学模型的过程.2．教学问题二：专业术语的数学解读是本节课的第二个教学问题．解决方案：借助信图形，将文字语言、图形语言、符号语言相互转译，数形结合，更加直观.基于上述情况，本节课的教学难点定为：能将实际问题转化为解三角形问题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生能够用余弦定理、正弦定理解决相关问题，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用小组讨论，代表发言的形式，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视数学建模的过程，让学生体会到数学思想方法的应用．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境生成问题[问题1]珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔8848.13米，29029英尺(此数据是在国家测绘局第一大地测量队的协助下，于1975年测定的，1992年又对其进行了复测)，是地球上的第一高峰，位于东经86.9°，北纬27.9°.这个珠峰原“身高”是如何测定的？教师1：提出问题1．学生1：对于那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法，我们可能感到不可思议，简单来说，那就是数字的测量与解三角形的应用.以实际问题引入，激发学生的学习兴趣.阅读课本获得新知[问题2]阅读课本，找到以下概念：（1）基线、（2）仰角和俯角、（3）方位角、（4）方向角[问题3]你知道的三角形的面积公式有哪些？[问题4]你知道的三角形中常用的边角性质有哪些？教师2：提出问题2．学生2：(1)基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．(2)仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．(3)方位角：指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.教师3：提出问题3．学生3：在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则①S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；②S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.③S△ABC＝eq\f(abc,4R)，其中R为△ABC的外接圆半径；④S△ABC＝2R2sinAsinBsinC，其中R为△ABC的外接圆半径；⑤S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，其中r为△ABC内切圆的半径；⑥S△ABC＝，其中p＝eq\f(a＋b＋c,2).教师4：提出问题4．学生4：三角形中有关边和角的常用性质：(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；(2)在△ABC中，a>b⇔A>B⇔sin_A>sin_B；(3)在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b.(4)在△ABC中，A为锐角⇔cosA>0⇔a2<b2＋c2；A为直角⇔cosA＝0⇔a2＝b2＋c2；A为钝角⇔cosA<0⇔a2>b2＋c2.通过复习前面所学，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.典例分析巩固落实1.测量距离问题例1.如图所示，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距eq\r(3)千米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离.例2.在平地上有A、B两点，点A在山坡D的正东，点B在山坡D的东南，而且在A的南偏西15°，且距A为150eq\r(2)m的地方，在A处测山坡顶C的仰角为30°，求山坡的高度．3.测量角度问题例3.某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10km的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10km/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以10eq\r(3)km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．4.三角形中的面积问题例4.在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝eq\f(31,32)且AD＝BD，求△ABC的面积.[课堂练习]1.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是______km.2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于()A．12B．eq\f(21,2)C．28D．6eq\r(3)教师5：完成例1．学生5：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3).在△BDC中，∵∠CBD＝180°－45°－(45°＋30°)＝60°，在△CBD中，由正弦定理得BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝2sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，∴AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝5＋eq\r(3)－(3eq\r(2)＋eq\r(6))(6-24)＝5，∴AB＝eq\r(5).故两目标A，B间的距离为eq\r(5)千米.教师6：完成例2．学生6：如图所示，在△ADB中，AB＝150eq\r(2)，∠ADB＝45°，∠DAB＝90°－15°＝75°，∴∠DBA＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，得AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(150\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝150eq\r(3).在Rt△ACD中，∵eq\f(CD,AD)＝tan30°，∴CD＝AD·tan30°＝150eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝150.∴山坡的高度为150米．教师7：完成例3．学生7：如图所示，设t小时后，舰艇与渔船在B处靠近，则AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，由题意得∠ACB＝45°＋(180°－105°)＝120°，在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．所以舰艇需1小时靠近渔船．此时AB＝10eq\r(3)，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2).又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝30°.所以舰艇航行的方位角∠BAD＝45°＋30°＝75°.答：舰艇航行的方位角为75°，航行的时间为1小时．教师8：完成例4．学生8：设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，在△CAD中，由余弦定理可知：cos∠CAD＝eq\f(（5－x）2＋42－x2,2×4×（5－x）)＝eq\f(31,32).解得x＝1.在△CAD中，由正弦定理可知：eq\f(AD,sinC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，∴sinC＝eq\f(AD,CD)·eq\r(1－cos2∠CAD)＝4eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,32)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(7),8)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sinC＝eq\f(1,2)×4×5×eq\f(3\r(7),8)＝eq\f(15\r(7),4).所以△ABC的面积为eq\f(15\r(7),4).教师9：布置课堂练习1、2．学生9：完成课堂练习，并核对答案．通过例题的讲解，让学生进一步理解正、余弦定理，提高学生解决与分析问题的能力.课堂小结升华认知[问题5]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()A．10kmB.eq\r(3)kmC．10eq\r(5)kmD．10eq\r(7)km2．某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB＝a,0<β<α<eq\f(π,2)，则水塔CD的高度为()A.eq\f(asinα－βsinβ,sinα)B.eq\f(asinαsinβ,sinα－β)C.eq\f(asinα－βsinα,sinβ)D.eq\f(asinα,sinα－βsinβ)3．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的货物与岸的距离AD为()A．30mB.