广东省珠海市香洲区2023-2023学年八年级(上)期末数学试卷【解析版】

2023-2023学年广东省珠海市香洲区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是()A． B． C． D．2．下列计算正确的是()A．x6÷x3=x8 B．x3+x2=x6 C．（x2）3=x5 D．x2•x3=x53．下列各组长度线段能组成三角形的是()A．1cm，3cm，5cm B．1cm，1cm，2cm C．1cm，2cm，3cm D．1cm，2cm，2cm4．已知等腰三角形中一个角等于100°，则这个等腰三角形的底角等于()A．100° B．40° C．50° D．100°或40°5．以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高，其中画法正确的是()A． B． C． D．6．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是()A．4 B．5 C．6 D．77．如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠A′CB′=70°，则∠ACA′的度数是()A．20° B．30° C．35° D．40°8．若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值()A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的 D．是原来的一半9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式()A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣ab﹣2b210．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，则∠2的度数等于()A．50° B．30° C．20° D．15°二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．在平面直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为__________．12．当x__________时，分式有意义．13．分解因式：x3﹣xy2=__________．14．计算：2﹣2×46=__________．15．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为__________．16．如图，在△ABC中（AB＜BC），在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为3，则△BPC的面积为__________．三、解答题（共9小题，满分66分）17．计算：（x+1）（x﹣1）+2x（x+1）﹣3x2．18．解方程：+=1．19．已知：如图，点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且BF=CE．求证：∠B=∠C．20．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=3．21．如图，△ABC中，∠CAB=60°，∠B=30°．（1）作∠CAB的平分线与CB交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若CD=1，求DB的长．22．某超市购进草莓，第一次购进了1000元的草莓，很快售完，第二次又购进了800元的草莓，因为第二次购进的草莓个头小，所以单价只有第一次购进草莓的一半，但是质量比第一次多了30公斤，问这两次购进草莓的单价分别是多少？23．如图△ABC中，∠B=60°，∠C=78°，点D在AB边上，点E在AC边上，且DE∥BC，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．（1）若点A落在BC边上（如图1），求证：△BDF是等边三角形；（2）若点A落在三角形外（如图2），且CF∥AB，求△CEF各内角的度数．24．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=__________．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．25．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：AE=AF．（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME，判断△DEM的形状，并说明理由．2023-2023学年广东省珠海市香洲区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是()A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】依据轴对称图形的定义，即一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这条直线即为图形的对称轴，从而可以解答题目．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意．D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．下列计算正确的是()A．x6÷x3=x8 B．x3+x2=x6 C．（x2）3=x5 D．x2•x3=x5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、x6÷x3=x6﹣3=x3，选项错误；B、不是同类项，不能合并，选项错误；C、（x2）3=x6，故选项错误；D、x2•x3=x5，故选项正确．故选D．【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．3．下列各组长度线段能组成三角形的是()A．1cm，3cm，5cm B．1cm，1cm，2cm C．1cm，2cm，3cm D．1cm，2cm，2cm【考点】三角形三边关系．【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得A、1+3＜5，不能组成三角形，故此选项错误；B、1+1=2，不能组成三角形，故此选项错误；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、1+2＞2，能够组成三角形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．4．已知等腰三角形中一个角等于100°，则这个等腰三角形的底角等于()A．100° B．40° C．50° D．100°或40°【考点】等腰三角形的性质．【分析】先确定100°的内角是顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：根据三角形的内角和定理，100°的内角是顶角，所以，两个底角为：（180°﹣100°）=40°，故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，判断出100°的内角是顶角是解题的关键．5．以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高，其中画法正确的是()A． B． C． D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】找到经过顶点A且与BC垂直的AD所在的图形即可．【解答】解：A、没有经过顶点A，不符合题意；B、高AD交BC的延长线于点D处，符合题意；C、垂足没有在BC上，不符合题意；D、AD不垂直于BC，不符合题意．故选B．【点评】过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做高．6．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是()A．4 B．5 C．6 D．7【考点】多边形内角与外角．【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，∴这个多边形的边数是6．故选C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n﹣2），难度适中．7．如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠A′CB′=70°，则∠ACA′的度数是()A．20° B．30° C．35° D．40°【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的对应角相等求出∠ACB的度数，结合图形计算即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′=70°，∴∠ACA′=∠ACB﹣∠A′CB=40°故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键》8．若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值()A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的 D．是原来的一半【考点】分式的基本性质．【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案．【解答】解：分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值原来的，故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变．9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式()A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣ab﹣2b2【考点】平方差公式的几何背景．【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．10．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，则∠2的度数等于()A．50° B．30° C．20° D．15°【考点】平行线的性质．【分析】如图，由平行可知∠2=∠3，又可求得∠A=30°，结合外角的性质可求得∠2．【解答】解：如图所示，∵a∥b，∴∠3=∠2，∵∠B=60°，∴∠A=30°，∴∠3=∠1+∠A=20°+30°=50°，∴∠2=50°，故选A．【点评】本题主要考查平行线的性质及外角的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．在平面直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12．当x≠﹣2时，分式有意义．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式的意义的条件：分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2，故答案是：≠﹣2．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于0．13．分解因式：x3﹣xy2=x（x+y）（x﹣y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y）．故答案为：x（x+y）（x﹣y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．14．计算：2﹣2×46=1024．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题；推理填空题．【分析】首先根据负整数指数幂的运算方法，求出2﹣2的值是多少；然后根据有理数的乘方的运算方法，求出算式2﹣2×46的值是多少即可．【解答】解：2﹣2×46=×46=1024．故答案为：1024．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．15．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为8．【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设正多边形的一个外角等于x°，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，即可得方程：x+3x=180，解此方程即可求得答案．【解答】解：设正多边形的一个外角等于x°，∵一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，∴这个正多边形的一个内角为：3x°，∴x+3x=180，解得：x=45，∴这个多边形的边数是：360°÷45°=8．故答案为：8．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．16．如图，在△ABC中（AB＜BC），在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为3，则△BPC的面积为．【考点】角平分线的性质．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AP=PD，然后根据等底等高的三角形面积相等求出△BPC的面积等于△ABC面积的一半，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵BD=BA，BP是∠ABC的平分线，∴AP=PD，∴S△BPD=S△ABD，S△CPD=S△ACD，∴S△BPC=S△BPD+S△CPD=S△ABD+S△ACD=S△ABC，∵△ABC的面积为3，∴S△BPC=×3=．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，利用等底等高的三角形的面积相等求出△BPC的面积与△ABC的面积的关系是解题的关键．三、解答题（共9小题，满分66分）17．计算：（x+1）（x﹣1）+2x（x+1）﹣3x2．【考点】整式的混合运算．【专题】计算题；整式．【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【解答】解：原式=x2﹣1+2x2+2x﹣3x2=2x﹣1．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．解方程：+=1．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2+x（x+2）=x2﹣4，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．19．已知：如图，点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且BF=CE．求证：∠B=∠C．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由中点的定义得出BD=CD，由HL证明Rt△BDF≌Rt△CDE，得出对应角相等即可．【解答】证明：∵点D是△ABC的边BC的中点，∴BD=CD，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴∠B=∠C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段中点的定义；由HL证明Rt△BDF≌Rt△CDE是解决问题的关键．20．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=3．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题；分式．【分析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•（x﹣1）2+3x﹣4=（x﹣2）（x﹣1）+3x﹣4=x2﹣3x+2+3x﹣4=x2﹣2，当x=3时，原式=9﹣2=7．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．如图，△ABC中，∠CAB=60°，∠B=30°．（1）作∠CAB的平分线与CB交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若CD=1，求DB的长．【考点】作图—复杂作图．【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB与于M、N，再分别以M、N长为半径画弧，两弧交于点E，再作射线AE，交BC于D；（2）利用三角形内角和定理可得∠C=90°，然后再根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=2CD，再根据等角对等边可得BD长．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵∠CAB=60°，∠B=30°，∴∠C=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB=30°，∴AD=2CD=2，∠B=∠DAB，∴DB=2．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及直角三角形的性质，关键是掌握角平分线的作法，以及30°角所对的直角边等于斜边的一半．22．某超市购进草莓，第一次购进了1000元的草莓，很快售完，第二次又购进了800元的草莓，因为第二次购进的草莓个头小，所以单价只有第一次购进草莓的一半，但是质量比第一次多了30公斤，问这两次购进草莓的单价分别是多少？【考点】分式方程的应用．【分析】设第一次购进的蓝莓的单价是x元，则第二次购进蓝莓的单价为0.5x元，根据第二次购买数量比第一次多了30公斤，可得出方程，解出即可．【解答】解：设第一次购进的蓝莓的单价是x元，则第二次购进蓝莓的单价为0.5x，由题意得+30=，解得：x=200经检验x=200是原分式方程的解．0.5x=100答：第一次购进的蓝莓的单价是200元，第二次购进蓝莓的单价为100元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是找到等量关系，注意分式方程要检验．23．如图△ABC中，∠B=60°，∠C=78°，点D在AB边上，点E在AC边上，且DE∥BC，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．（1）若点A落在BC边上（如图1），求证：△BDF是等边三角形；（2）若点A落在三角形外（如图2），且CF∥AB，求△CEF各内角的度数．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）利用平行线的性质得出∠ADE=60°，再利用翻折变换的性质得出∠ADE=∠EDF=60°，进而得出∠BDF=60°即可得出答案；（2）利用平行线的性质结合（1）中所求得出∠2，∠5+∠6的度数即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵∠B=60°，DE∥BC，∴∠ADE=60°，∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，∴∠ADE=∠EDF=60°，∴∠BDF=60°，∴△BDF是等边三角形；（2）解：如图2，由（1）得：∠1=60°，∵CF∥AB，∴∠2+∠3=60°，∠B=∠6=60°，∵∠B=60°，∠C=78°，∴∠A=∠3=42°，∴∠2=60°﹣42°=18°，∴∠5+∠6=60°+78°=138°，∴∠4=∠180°﹣18°﹣138°=24°．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质和等边三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，正确利用翻折变换的性质得出∠ADE=∠EDF是解题关键．24．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=（x﹣y+1）2．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．【考点】因式分解的应用．【分析】（1）把（x﹣y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；（2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；（3）将原式转化为（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=（x﹣y+1）2；（2）令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2；（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1=（n2+3n）