BJ1111-Chapter6二维单元及二维问题分析

第六章二维单元及二维问题分析孙会本章内容一、二维单元（重点、掌握）二、等参单元（重点、掌握）三、平面应力问题（重点，熟悉）四、轴对称问题（了解）五、ANSYS中的二维单元（重点，掌握）六、ANSYS应用（重点，掌握）七、结果验证（重点，熟悉）一、二维单元1、矩形单元2、二次四边形单元3、线性三角形单元4、二次三角形单元5、轴对称单元1、矩形单元以直散热片为例当温度沿X方向和Y方向均发生变化时，此时需采用二维单元描述散热片的温度分布情况。图

使用矩形单元描述二维温度分布的例子1、矩形单元（局部坐标）对任意矩形单元：图

典型的矩形单元

得到各个形函数1、矩形单元（局部坐标）进一步可推广到任一变量：1、矩形单元（自然坐标）自然坐标：无量纲，且局部坐标系x，y的原点与自然坐标点=－1，＝－1一致。图

自然坐标下的四边形单元

1、矩形单元二维矩形单元形函数的性质：形函数在相应节点处的值为1，而在其它节点处的值为0；形函数的和为1。2、二次四边形单元8节点二次四边形单元：4节点四边形单元的高阶单元，适合对曲线形边界问题建模。与线性单元相比，对于同样数目的单元，二次单元要提供的结果更精确。图8节点的二次四边形单元

2、二次四边形单元8节点二次单元的一般形式：形函数的推导：利用节点值，求解方程组2、二次四边形单元各角节点的形函数：中间节点的形函数：3、线性三角形单元双线性矩形单元最主要的缺点：不能很好地满足弯曲边界的要求。相比之下，描述二维温度分布的三角形单元就能较好地描述弯曲边界。图

使用三角形单元描述二维温度分布

3、线性三角形单元三角形区域内的独立变量，如温度的变化：图

三角形单元

为求解未知系数，需利用节点值：3、线性三角形单元A是三角形单元的面积：3、线性三角形单元（整体坐标）3、线性三角形单元三角形形函数的基本性质：形函数在相应节点处的值为1，而在其它节点处的值为0；形函数的和为1。3、线性三角形单元（自然/面积坐标）设三角形区域内有一坐标为（X，Y）的点P，将点P和节点i、j、k相连，则这个三角形的面积就分为3个更小的面积A1、A2、A3。图

三角形单元的自然（面积）坐标

3、线性三角形单元（自然/面积坐标）一般而言，三角形单元的自然(面积)坐标、、定义：注意只有两个自然坐标是独立的。因为三角形自然（面积）坐标与形函数Si、Sj、Sk完全相同：4、二次三角形单元相对于线性三角形单元，二次三角形单元可以提供更为准确的结果。由自然坐标表示的二次三角形单元的形函数：图

二次三角形单元

5、轴对称单元实际工程应用中存在一类特殊的三维问题，其几何形状和载荷都关于轴对称，这类问题可应用二维轴对称单元来分析。图

轴对称单元模型

5、轴对称单元（三角形单元）对于三角形线性单元，其上任一未知量：以r和z坐标的形式重新表达上面的形函数，这种坐标常用于轴对称三角形单元中。5、轴对称单元（三角形单元）典型轴对称三角形单元及其坐标如图所示。用r和z替换X和Y得到如下形函数：图

轴对称三角形单元

5、轴对称单元（矩形单元）矩形单元形函数：用r代替x，用z代替y，并利用如下关系：图

轴对称矩形单元

5、轴对称单元（矩形单元）轴对称矩形单元的形函数：二、等参单元一维问题中的等参公式和等参单元： 使用单一一组参数（如形函数）定义u，v，T等未知变量，并使用同样的参数（同一形函数）表示几何关系对于二维单元也存在相似情况。二、等参单元以固体力学问题为例：单元内任意一点的位移:单元内任意一点的位置:图平面应力问题中的四边形单元

三、平面应力问题1、基本概念与相关公式2、单元刚度矩阵（针对三角形等参单元）3、单元载荷矩阵（针对三角形等参单元）4、单元刚度矩阵（针对四边形等参单元）1、基本概念与相关公式微元法材料体内任一点图

任一点上的应力分量外力作用产生内力产生应力、应变如何描述材料体内任一点的应力、应变状态？1、基本概念与相关公式(1)任一点的应力状态

采用6个独立的应力分量表示，其中XX、YY、ZZ正应力，XY、YZ、XZ剪应力。

三维问题变为平面应力问题：Z方向没有施加力备注：在应力分量的表示中，第一个下角标对应应力所在面的法向方向，第二个下角标对应应力的方向。1、基本概念与相关公式图

平面应力状态1、基本概念与相关公式(2)任一点的应变状态

采用6个独立的应力分量表示，其中

XX、

YY、

ZZ正应变，

XY、

YZ、

XZ剪应变。

Z方向没有位移w=0三维问题变为平面应变问题1、基本概念与相关公式(3)应力和应变的关系---虎克定律

E弹性模量；泊松比；G弹性剪切模量。1、基本概念与相关公式对于平面应力问题，虎克定律变为：应变和位移的关系：2、单元刚度矩阵采用最小总势能法： 对于由n个单元m个节点构成的稳定系统，平衡位置上产生的位移总会使系统的总势能最小：对应单元刚度矩阵对应单元载荷矩阵2、单元刚度矩阵对于平面应力问题，应变能：关键：构造应变矩阵的表达形式2、单元刚度矩阵（三角形单元）以线性三角形单元为例：等参公式2、单元刚度矩阵（三角形单元）求关于节点位移的微分：

得到单元刚度矩阵K(e)：V是单元的体积3、单元载荷矩阵（三角形单元）对于最小总势能法： 对于由n个单元m个节点构成的稳定系统，平衡位置上产生的位移总会使系统的总势能最小：对应单元刚度矩阵对应单元载荷矩阵关键：获得功的表达形式3、单元载荷矩阵（三角形单元）集中载荷Q：

3、单元载荷矩阵（三角形单元）分量为px和py的分布载荷所做的功：如使用三角形单元 表示位移，则分布载荷所做的功：u和v：x和y方向的位移；A：分布载荷作用范围的面积，其大小为单元厚度t和分布载荷作用边长的乘积。3、单元载荷矩阵----推导过程推导过程：3、单元载荷矩阵----推导过程3、单元载荷矩阵----推导过程3、单元载荷矩阵沿k－i边：沿i－j边：沿j－k边：4、四边形等参单元上面针对平面应力问题，采用最小总势能法，以线性三角形单元为例，推导获得了单元刚度矩阵和单元载荷矩阵。实际上，对于四边形等参单元，其方法类似，只不过过程更加繁琐，这里给出最终结果。4、单元刚度矩阵（四边形单元）四边形等参单元的单元刚度矩阵：te

单元厚度；四、轴对称问题轴对称问题：几何形状和载荷关于某个轴对称，可用二维轴对称单元进行分析。轴对称单元刚度矩阵的推导步骤与平面应力问题类似。差别在于，平面应力问题采用直角坐标系；而轴对称问题使用柱坐标系。轴对称三角形单元的刚度矩阵：七、ANSYS中的二维单元ANSYS提供了许多二维单元，这些单元大多数是基于线性、二次四边形和三角形形函数的。下面举例说明一些二维结构力学单元。五、ANSYS中的二维单元PLANE2：二维6节点三角形单元每个节点有2个自由度，即在节点的x和y方向都能平移。图ANSYS中的二维单元

五、ANSYS中的二维单元PLANE42：二维4节点四边形单元，常用于固体力学问题建模。每个节点有2个自由度，即每个节点都能在x和y方向平移。图ANSYS中的二维单元

五、ANSYS中的二维单元PLANE82：二维8节点四边形单元，常用于二维结构问题的建模。PLANE42的高阶形式，可用于对含曲线边界的问题建模，且计算精度更高。每个节点有2个自由度，即能在x和y方向平移。图ANSYS中的二维单元

五、ANSYS中的二维单元使用高阶单元：可获得更好的结果和更高的精度；计算时间通常会更长，这是因为它涉及到的单元矩阵数值积分也更多。六、ANSYS应用设有一支撑书架的钢托架，E＝29106lb/in2，＝0.3。该托架上表面承受均布载荷，左端固定。试在给定的载荷和约束下，绘制托架变形后的形状，并确定托架的主应力和vonMises应力。六、ANSYS应用图

钢托架示意图六、ANSYS应用具体过程软件演示。七、结果验证基本原理基于静力平衡条件。具体操作可取