第6章线性系统的校正

系统（机械，电气，过程等）建模方法机理或实验数学模型（Tf,Ss,Zpk)性能分析稳定性、动态性能、鲁棒性等若性能不满足要求对系统进行校正校正方法（控制器设计方法）滞后-超前、PID、LQ最优等

第6章线性系统的校正方法为什么要介绍本章?前面讨论了系统分析的基本方法。系统分析的目的是为了设计一个满足要求的控制系统，当现有系统不满足要求时，需要找到如何改善系统性能的方法，这就是系统的校正。本章主要讲什么内容?本章介绍控制系统的校正方法。先介绍控制系统设计的一般步骤，阐明系统校正在系统设计中的地位和作用。然后着重介绍基于频率法的超前、滞后、滞后——超前分析法校正方法，介绍期望特性法的基本思想，着重介绍工程上应用广泛的按最佳二阶系统和典型三阶系统设计的工程设计方法。第6章线性系统的校正方法目前，工业技术界多习惯采用频率法，故通常通过近似公式进行两种指标的互换。控制系统的性能指标时域指标稳态型别、静态误差系数动态超调、调整时间频域指标开环频率、闭环带宽、谐振峰值、谐振频率增益穿越频率、幅值裕度和相位裕度

二阶系统频域指标与时域指标的关系谐振频率带宽频率截止频率相位裕度(6-5)谐振峰值(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)超调量调节时间

(6-7)(6-6)既能以所需精度跟踪输入信号，又能抑制噪声扰动信号。在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，而噪声信号是高频信号。系统带宽的选择带宽频率是一项重要指标。如果输入信号的带宽为则(6-11)选择要求图6-1系统带宽的选择噪声输入信号第6章线性系统的校正6.1引言

6.2超前校正6.3滞后校正6.4滞后-超前校正6.5串联校正的综合法6.6Simulink在控制系统仿真中的应用第6章线性系统的校正

6.1

引言

在已知一个自动控制系统的结构形式及其全部参数的基础上，研究其稳定性条件，以及在典型输入信号作用下，系统的稳态性能、瞬态性能与系统结构、参数和输入信号之间的关系问题，称为系统分析问题。在实际工程中，往往提出另外一个问题，即根据希望的稳态和瞬态性能指标，研究如何建立满足性能要求的控制系统，这称为系统设计问题（也称为系统综合问题）。在控制理论课程中，控制系统的设计问题主要是指校正装置的设计。6.1.1控制系统的设计（1）分析被控对象的工作原理，明确控制目标，制定控制方案；

控制装置执行元件-被控对象CR测量元件放大元件（6）设计校正装置。为了使设计的控制系统满足给定的性能指标，有必要在系统中引入一些附加装置，改变整个系统的性能，从而满足给定的各项性能指标要求。这些附加装置称为校正装置或补偿器。设计附加校正装置的过程就称为控制系统的校正。（2）选择执行元件（型式、特性和参数）；（3）选择测量元件（类型、特性和参数）；（4）选择放大元件（前置放大，功率放大），要求放大器增益可调；（5）由初步选定的测量元件、放大元件和执行元件等作为控制装置的基本组成元件，与被控对象一起，构成自动控制系统；6.1.2性能指标（1）常用的性能指标：

调节时间超调量静态误差系数相角裕度幅值裕度截止频率谐振峰值谐振频率带宽零频幅值比说明：1.不同的控制系统对动静态性能指标的要求应有不同的侧重。

2.

系统带宽的选择既要考虑信号的通过能力，又要考虑抗干扰能力。

3.性能指标的提出，应符合实际系统的需要与可能。

时域指标：开环频域指标：闭环频域指标：(2)高阶系统频域指标与时域指标的关系

谐振峰值

超调量

调节时间

相角裕度超调量

调节时间

6.1.3

校正的作用在系统初步设计阶段，先选择一些元部件（如执行元件、测量元件、放大元件）构成控制器的基本部分，一般情况下，除了放大器的增益，其它参数不易调整。然而在大多数实际情况中，仅仅调整增益不能使系统满足给定的各项性能指标。因此，有必要在系统中引入适当的校正装置以改变系统的结构和参数，从而满足给定的各项性能指标要求。引入校正装置的作用，从频域来说，可以在不同频段上对原系统开环频率特性曲线的形状进行相应的修改，使校正后的系统满足稳态性能和瞬态性能的要求。应取K≥100，设K=100，作出系统的开环频率特性曲线1，系统是不稳定的。

从闭环谐振峰值Mr=1.25出发，可求得K=1，系统不满足指标。要求系统在斜坡函数作用下，稳态误差ess≤0.01，且闭环谐振峰值,试选择K。

例6-1

设控制系统的开环传递函数为：

可见，调整开环增益K无法同时满足系统稳态误差和谐振峰值的要求。解：

若引入校正装置，使系统的开环幅相曲线如中的实线3所示，则可同时满足系统稳态误差和谐振峰值的要求。

根据稳态误差的要求，6.1.4

校正方式校正装置原有部分原有部分CR－－校正装置原有部分CR－校正装置原有部分CR—+校正装置原有部分原有部分CR－+D串联校正

反馈校正

复合校正

按照校正装置在系统中的连接方式，控制系统校正方式可分为串联校正、并联、反馈校正、复合校正四种。其中，复合校正又分为按输入补偿的复合校正和按扰动补偿的复合校正。

顺馈校正

前馈校正

校正装置并联校正

6.1.5

校正装置的设计方法常用的方法有根轨迹法和频域法：根轨迹法：根轨迹设计方法通过在系统中增加适当的开环零、极点来修改系统原有的闭环根轨迹形状，使校正后的根轨迹能够经过希望的闭环极点。所需要增加的零、极点由校正装置实现。一般来说，当性能指标以时域量给出时，例如给出超调量、调节时间、希望的闭环主导极点等，采用根轨迹法进行设计更为有效和方便。频域法：系统开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态性能，中频段表征了闭环系统的动态性能，高频段表征了闭环系统的抗扰性能。在博德图上能方便地根据系统的开环频率特性和给定的频域指标确定校正装置的参数。如果系统校正时要求满足的性能指标属频域特征量，例如相位裕量、幅值裕量、谐振峰值和带宽等，则通常采用频域设计方法。反馈校正不需要放大器，可消除系统原有部分参数波动对系统性能的影响

串联校正串联校正装置有源参数可调整

在性能指标要求较高的控制系统中，常兼用串联校正和反馈校正

串联、并联、反馈和复合校正均改变闭环传递函数，前面三种方式改变闭环极点。6.1.6校正方法确定了校正方案以后，下面的问题就是如何确定校正装置的结构和参数。目前主要有两大类校正方法：分析法与综合法。分析法又称为试探法。这种方法是把校正装置归结为易于实现的几种类型。例如，超前校正、滞后校正、滞后—超前校正等，它们的结构是已知的，而参数可调。

综合法又称为期望特性法。它的基本思想是按照设计任务所要求的性能指标，构造期望的数学模型，然后选择校正装置的数学模型，使系统校正后的数学模型等于期望的数学模型。系统的校正可以在时域内进行，也可以在频域内进行。本章介绍频域设计方法。用频域法进行校正比较简单，但频域法的设计指标是间接指标。一般而言，当控制系统的开环增益增大到满足其静态性能所要求的数值时，系统有可能不稳定，或者即使能稳定，其动态性能一般也不会理想。在这种情况下，需在系统的前向通路中增加超前校正装置，以实现在开环增益不变的前提下，系统的动态性能亦能满足设计的要求。6.2超前校正及其特性无源校正网络超前校正有源校正网络6.2.1无源超前校正滞后校正滞后超前校正先讨论超前校正网络的特性，而后介绍基于频率响应法的超前校正装置的设计过程。

假设该网络信号源的阻抗很小，可以忽略不计，而输出负载的阻抗为无穷大，则其传递函数为图6-8无源超前网络时间常数分度系数(6-18)(a)(b)时间常数分度系数(6-18)注：j采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降a倍因此需要提高放大器增益加以补偿(6-19)图6-9带有附加放大器的无源超前校正网络此时的传递函数超前网络的零极点分布故超前网络的负实零点总是位于负实极点之右，两者之间的距离由常数决定。可知改变和T(即电路的参数超前网络的零极点可在s平面的负实轴任意移动。由于)的数值，

对应式(6-19)得(6-20)画出对数频率特性如图6-10所示。显然，超前网络对频率在(6-21)(6-19)之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。20dB/dec图6-10对数频率特性取ω？超前校正装置的主要作用是改变频率响应曲线的形状，产生足够大的相位超前角，以补偿原系统中的元件造成的过大的相角滞后。由(6-21)

(6-24)(6-22)(6-23)故在最大超前角频率处具有最大超前角正好处于频率与的几何中心的几何中心为即几何中心为(6-25)最大超前角频率求导并令其为零只与a有关，与T无关频率特性20dB/dec

(6-26)但a不能取得太大(为了保证较高的信噪比),a一般不超过20这种超前校正网络的最大相位超前角一般不大于如果需要大于的相位超前角，则要由两个超前网络相串联来实现，并在所串联的两个网络之间加一隔离放大器，以消除它们之间的负载效应。

(b)最大超前角及最大超前角处幅值与分度系数的关系曲线dBoa6.2.2超前校正及其特性20lga10lgaa=10,T=1

10.1a=100,T=1a=20,T=1a=10,T=1a=4,T=140db20db30db14db(2)PD调节器如果超前校正环节的惯性较小，则传递函数可近似为一阶微分环节，即

（1）设计指标

依据的不是时域指标而是频域指标。通常采用相角裕量等表征系统的相对稳定性，用开环截止频率ωc表征系统的快速性。当给定的指标是时域指标时，首先需要转化为频域指标，才能够进行频域设计。6.2.3用频域法确定超前校正参数相位裕度超调量调节时间频率法对系统进行校正的基本思路是：通过所加校正装置，改变系统开环频率特性的形状，即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点：用频率法对系统进行超前校正的基本原理，是利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统的相位裕量，以达到改善系统瞬态响应的目的。为此，要求校正网络最大的相位超前角出现在系统的截止频率（剪切频率）处。中频段的幅频特性的斜率为-20dB/dec,并具有较宽的频带，这一要求是为了系统具有满意的动态性能；高频段要求幅值迅速衰减，以较少噪声的影响。低频段的增益满足稳态精度的要求；

（2）一般设计步骤1）根据给定的稳态指标，确定系统的开环增益K。因为超前校正不改变系统的稳态指标，所以第一步仍然是先调整放大器，使系统满足稳态性能指标。

2）利用1）求得的K，绘制系统的伯德图。

3）在伯德图上量取未校正系统的相角裕量γ0和幅值裕量，并计算为使相位裕量达到给定指标所需补偿的超前相角（超前校正使系统的截止频率增加）

4）取

即所需补偿的相角由超前校正装置来提供。

5）使超前校正装置的最大超前相角出现在校正后系统的截止频率

取未校正系统幅值为-10lga(dB)时的频率作为校正后系统的截止频率

6）由计算参数T

7）校验指标：绘制系统校正后的伯德图，检验是否满足给定的性能指标。

是用于补偿因超前校正装置的引入，使系统截止频率增大而增加的相角滞后量。值通常是这样估计的：如果未校正系统的开环对数幅频特性在截止频率处的斜率为-20dB/dec，一般取如果为-60dB/dec则取如果为-40dB/dec则取设计步骤是按照主要用于对截止频率没有具体要求的情况。注意：如果对截止频率有明确要求，设计步骤可按照只需要将上述设计步骤中a的求取改为：（4）令未校正系统在处的幅值确定的值；再由确定。（3）令校正装置的最大超前相角频率等于希望的截止频率；（1）校正装置提供正相角补偿，改善了系统的相对稳定性，使系统具有一定的稳定裕量。（4）超前校正提高了系统幅频曲线在高频段的幅值，校正后的系统抗高频干扰能力下降。超前校正的特点：（2）从对数幅频曲线看，截止频率由校正前的提高到校正后的，使校正后系统频带变宽，动态响应变快。（3）为了充分利用超前校正装置的相角补偿作用，校正装置的转折频率和应分设在校正前截止频率和校正后截止频率的两边，最大相角频率设在处。

当系统要求响应快、超调量小时，可采用串联超前校正。但是，串联超前校正受以下两种情况的限制：（2）对系统抗高频干扰要求比较高时，一般也不宜采用串联超前校正。因为若未校正系统不稳定，为了得到要求的相角裕量，需要超前网络提供很大的超前相角。这样，超前网络的值必须选得很大，从而造成已校正系统过大，使系统抗高频噪声的能力下降，甚至使系统失控。超前校正的使用条件（1）超前校正网络提供的最大相位超前角一般不应大于60°。在截止频率附近相角迅速减小的系统，一般不宜采用串联超前校正。（因为随着截止频率的增大，未校正系统的相角迅速减小，在处需要补偿的相角会很大，超前校正变得无效。）

解

1）根据给定的稳态指标，确定符合要求的开环增益K。本例要求在单位斜坡输入信号作用下,例6.1设控制系统如图所示。若要求系统在单位斜坡输入信号作用下，位置输出稳态误差，开环系统截止频率。相角裕度

幅值裕度

说明校正后的系统仍应是1型系统，(P92,表3.1),因为

，所以应有，取K=10。。试选择超前校正参数。

2）绘制原系统的伯德图如图所示。

例6.1未校系统的伯德图3)相角裕量也可以由计算得到4)

做直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于,取满足的要求。5）超前校正的传递函数为例6.1校正环节的伯德图例6.1校正前、后系统的伯德图例6.1校正前、后系统的单位阶跃响应曲线例6.1校正后系统的单位斜坡响应曲线

（1）无源超前校正网络6.2.3超前校正装置

（2）有源超前校正网络1）PD控制器：

2）带惯性的PD控制器

6.3.1滞后校正及其特性

6.3

滞后校正-20dB/dec同超前网络，滞后网络在时，对信号没有衰减作用时，对信号有积分作用，呈滞后特性时，对信号衰减作用为同超前网络，最大滞后角，发生在几何中心，称为最大滞后角频率，计算公式为(6-28)(6-29)a越小，这种衰减作用越强由图6-12可知具有相位滞后，相位滞后会给系统特性带来不良影响。解决这一问题的措施之一是使滞后校正的零极点靠得很近，使之产生的滞后相角很小，这是滞后校正零极点配置的原则之一；措施之二是使滞后校正零极点靠近原点，尽量不影响中频段，这是滞后校正零极点配置的原则之二。从伯德图幅频特性可以看出，滞后校正的高频段是负增益，因此，滞后校正对系统中高频噪音有削弱作用，增强抗扰能力。我们将利用滞后校正的这一低通滤波所造成的高频衰减特性，降低系统的截止频率，提高系统的相位裕度，以改善系统的暂态性能，这是滞后校正的作用之一。“超前校正”是利用超前网络的超前特性,但“滞后校正”并不是利用相位的滞后特性，而是利用其高频衰减特性。滞后校正相对超前校正来说，具有完全不同的概念。如果在滞后校正网络后串联一个放大倍数为的放大器，则对数幅频特性变为如图所示，而相频特性不变。这时中高频增益为0db，因此滞后校正不影响系统的中高频特性，但低频增益增加了20lgdB，滞后校正利用这一特性，提高了系统的稳态精度，而又不改变系统暂态性能，这是滞后校正的作用之二。(参考92页，表3.1)系统串联滞后校正环节后，能够在保证暂态性能不变的前提下，允许把开环增益提高(1/a)倍，而不是它本身能把开环增益提高。3）在原系统的伯德图上量取6.3.2用频率法确定滞后校正参数1）按稳态性能指标要求的开环放大系数绘制未校正系统的伯德图。2）在原系统的伯德图上找出相角为的频率作为校正后系统的截止频率，为补偿滞后校正的相位滞后的的分贝值，并令由此确定参数a(a<1)4）取并由a求参数T5）绘制校正后系统的伯德图，校验各项性能指标原则：使滞后校正环节的相角滞后不要超过近似：cot----ctg例6.2设控制系统不可变部分的传递函数为要求：试确定滞后校正参数a,T

解1）取K=5使系统满足稳态性能要求。按K=5绘制原系统伯德图。相角裕度-20°，不稳定例6.2未校系统的伯德图线，与原系统相频特性曲线交点的横坐标为作

取3）在原系统伯德图上量得由得a=0.1。

2）

4）

T=125滞后校正的传递函数为验证系统的性能要求。5）例6.2校正前、后系统的伯德图

例6.2校正后系统的单位斜坡响应曲线6.3.3滞后校正装置

（1）无源滞后校正网络为了满足传递函数的推导条件，一般在滞后校正网络后串接一个运算放大器，起隔离作用。

（2）有源滞后校正网络1）滞后校正：采用运算放大器的有源滞后校正网络的一种实现2）PI控制器：采用运算放大器的有源滞后校正网络的另一种实现超前校正需要增加一个附加的放大器，以补偿超前校正网络对系统增益的衰减。串联超前校正和串联滞后校正方法的适用范围和特点超前校正是利用超前网络的相角超前特性对系统进行校正，而滞后校正则是利用滞后网络的幅值在高频衰减特性；用频率法进行超前校正，旨在提高开环对数幅频渐近线在截止频率处的斜率(-40dB/dec提高到-20dB/dec)，和相位裕度，并增大系统的频带宽度。频带的变宽意味着校正后的系统响应变快，调整时间缩短。对同一系统超前校正系统的频带宽度一般总大于滞后校正系统，因此，如果要求校正后的系统具有宽的频带和良好的瞬态响应，则采用超前校正。当噪声电平较高时，显然频带越宽的系统抗噪声干扰的能力也越差。对于这种情况，宜对系统采用滞后校正。滞后校正虽然能改善系统的静态精度，但它促使系统的频带变窄，瞬态响应速度变慢。如果要求校正后的系统既有快速的瞬态响应，又有高的静态精度，则应采用滞后-超前校正。有些应用方面，采用滞后校正可能得出时间常数大到不能实现的结果。超前校正:给系统中频段增加理论上不超过90，实际上一般不超过65°的相角，提高系统的稳定裕度。但降低了抗干扰性能（高频）。滞后校正:降低系统的截止频率，提高系统的相角裕度。但降低了快速性。（带宽减小降低快速性）问题：原系统需要补偿的相角超过65，甚至超过90度，用超前校正不能够提供这么大的正相角。原系统截止频率不能降得太低，保证快速性。怎么解决？——采用滞后—超前校正。发挥滞后、超前校正两者的优点，共同改善系统性能。基本思路：用滞后校正降低系统的截止频率，提高系统的相角裕度；用超前校正在截止频率处增加超前相角，进一步提高系统的相角裕度。6.4

滞后-超前校正6.4.1

滞后—超前校正网络超前滞后

滞后—超前校正网络的Bode图6.4.2用频域法确定滞后-超前校正参数

例6.3设有单位反馈系统具有如下的开环传递函数要求：K=10,,h=10dB

试确定滞后—超前校正参数。解：1）根据稳态性能指标，绘制未校正系统的伯德图未校系统的伯德图2）选择校正后的截止频率

若性能指标中对系统的快速性未提明确要求时，一般对应的频率作为3）确定校正参数由超前部分应产生的超前相角而定4）确定滞后校正部分的参数一般取因此滞后部分的传递函数为：5）确定超前部分的参数直线，由该直线与0db线交点坐标确定6）将滞后校正部分和超前校正部分的传递函数组合在一起,即得滞后-超前校正的传递函数为7）绘制校正后的伯德图，检验性能指标过点做因此超前部分的传递函数为：校正前、后系统的伯德图校正后的伯德图校正后系统的单位阶跃响应

6.5

串联校正的综合法

前面介绍的串联校正分析法是先根据要求的性能指标和未校正系统的特性，选择串联校正装置的结构，然后设计它的参数，这种方法是带有试探性的，所以称为试探法。6.5.1基本控制规律（1）比例（P）控制规律(6-12)

（a）P控制器(b)PD控制器（2）比例-微分（PD）控制规律(6-13)提高系统开环增益，减小系统稳态误差，但会降低系统的相对稳定性。PD控制规律中的微分控制规律能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性。在串联校正时，可使系统增加一个的开环零点，使系统的相角裕度提高，因此有助于系统动态性能的改善。具有积分（I）控制规律的控制器，称为I控制器。(6-14)输出信号与其输入信号的积分成比例。为可调比例系数消失后，输出信号有可能是一个不为零的常量。不宜采用单一的I控制器。

（3）积分（I）控制规律I控制器

当在串联校正中，采用I控制器可以提高系统的型别（无差度），有利提高系统稳态性能，但积分控制增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生的相角滞后，于系统的稳定不利。具有积分比例-积分控制规律的控制器，称为PI控制器。

PI控制器输出信号同时与其输入信号及输入信号的积分成比例。为可调比例系数开环极点，提高型别，减小稳态误差。左半平面的开环零点，提高系统的阻尼程度，缓和PI极点对系统产生的不利影响。只要积分时间常数足够大，PI控制器对系统的不利影响可大为减小。（4）比例-积分（PI）控制规律(6-15)为可调积分时间系数PI控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。（5）比例（PID）控制规律具有比例-积分-微分控制规律的控制器，称为PID控制器。(6-16)(6-17)如果PID控制器I积分发生在低频段，稳态性能(提高)D微分发生在高频段，动态性能(改善)增加一个极点，提高型别，稳态性能两个负实零点，动态性能比PI更具优越性两个零点一个极点串联校正综合法，它是根据给定的性能指标求出系统期望的开环频率特性，然后与未校正系统的频率特性进行比较，最后确定系统校正装置的形式及参数。综合法的主要依据是期望特性，所以又称为期望特性法。综合法的基本方法是按照设计任务所要求的性能指标，构造具有期望的控制性能的开环传递函数然后确定校正装置的传递函数

是满足给定性能指标的“期望特性”。

6.5.1综合法的基本方法6.5

串联校正的综合法串联校正综合法的一般步骤如下：绘制原系统的对数幅频特性曲线按要求的设计指标绘制期望特性曲线求得串联校正环节的对数幅频特性曲线

写出相应的传递函数；确定具体的校正装置及参数。从上面步骤可以看出期望特性法的关键是绘制期望特性。在工程上，一般要求系统的期望特性符合下列要求：对数幅频特性的中频段为且有一定的宽度，保证系统的稳定性；截止频率应尽可能大一些，以保证系统的快速性；低频段具有较高的增益，以保证稳态精度