第七章应力应变分析

第七章应力状态强度理论工程力学第七章应力状态强度理论

§7-1

应力状态的概念

§7-2

平面应力状态分析§7-3空间应力状态分析

§7-4

强度理论

§7-5

强度理论

§7-1

应力状态的概念

一、应力状态的概念1、低碳钢和铸铁的拉伸实验2、低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁

低碳钢和铸铁的拉伸?为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？低碳钢和铸铁的扭转低碳钢铸铁

(1)

拉中有剪，剪中有拉;(2)不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力;

(3)同一面上不同点的应力各不相同;(4)同一点不同方向面上的应力也是各不相同3、重要结论（Importantconclusions)哪一点？

哪个方向面？应力哪一个面上？

哪一点？4、一点的应力状态

过一点不同方向面上应力的情况，称之为一点的应力状态，亦指该点的应力全貌.二、应力状态的研究方法

1、单元体任意一对平行平面上的应力相等2、单元体特征3、主单元体各面上切应力均为零的单元体单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布3122314、主平面

切应力为零的截面5、主应力

主平面上的正应力

说明:一点处必定存在这样的一个单元体,

三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即123

三、应力状态的分类1、空间应力状态

三个主应力1、2、3均不等于零2、平面应力状态

三个主应力1、2、3中有两个不等于零3、单向应力状态

三个主应力1、2、3中只有一个不等于零312231221111例题

1画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面S平面254321543211x1x1x2x222333xzyalSF例题

2画出如图所示梁S截面的应力状态单元体

xzy4321zy4321FSMZT12yxzzy4321FSMZTxzy43213平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有x,xy

和y,yx§7-2

平面应力状态分析-解析法xxyzyxyyxxyxyyx一、斜截面上的应力(Stressesonanobliquesection)1、截面法(Sectionmethod)

假想地沿斜截面ef

将单元体截开,留下左边部分的单体元eaf

作为研究对象xyaxxyxxyefnefaxxyyxyαααnαxyaxxyxxyefn(1)由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正（2)正应力仍规定拉应力为正（3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正2、符号的确定efaxxyyxyαααnα设斜截面的面积为dA,ae的面积为dAcos,af

的面积为dAsinefaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcos

3、任意斜截面上的应力(Thestressactingonanyinclinedplane)

对研究对象列n和t方向的平衡方程得化简以上两个平衡方程最后得不难看出即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数二、极值正应力及方位1、极值正应力的方位令0和0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.2、极值正应力将0和

0+90°代入公式得到max

和min

(主应力）下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角(1)当x>y时，0

是x与max之间的夹角

(2)当x<y

时，0

是x与min之间的夹角(3)当x=y

时

，0

=45°，主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来则确定主应力方向的具体规则如下若约定|0|<45°即0

取值在±45°范围内三、极值切应力及方位1、极值切应力的方位令1和1+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.2、极值切应力将1和

1+90°代入公式得到max和min

比较和可见例题3简支梁如图所示.已知mm

截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为

=-70MPa，=50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.AmmalA解：把从A点处截取的单元体放大如图因为x

<y

，所以0=27.5°与min

对应xAA27.5o1313xyxy例题4

图示单元体，已知x

=-40MPa，y

=60MPa，xy=-50MPa.试求ef

截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef(1)求

ef

截面上的应力(2)求主应力和主单元体的方位x

=-40MPa

y

=60MPa

xy

=-50MPa=-30°因为x

<y

，所以0=-22.5°与min对应xyxy22.5°13解（1）求主平面方位因为x

=y

，且xy>0例题5求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.xy所以0=-45°与max对应45°（2）求主应力1=，2=0，3=-13

§7-2

平面应力状态分析-图解法

一、莫尔圆将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得因为x，y，xy

皆为已知量，所以上式是一个以，为变量的圆周方程。当斜截面随方位角变化时,其上的应力

，在-直角坐标系内的轨迹是一个圆

.1、圆心的坐标2、圆的半径此圆习惯上称为应力圆,或称为莫尔圆(1)建-坐标系,选定比例尺o二、应力圆作法1、步骤xyxxyxxyyyDxyo(2)量取OA=xAD

=xy得D

点xyxxyxxyxAOB=y(3)量取BD′=yx得

D′

点yByxD′(4)连接DD′两点的直线与轴相交于C

点(5)以C为圆心,CD

为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C(1)该圆的圆心C点到坐标原点的距离为(2)该圆半径为DxyoxAyByxD′C2、证明三、应力圆的应用1、求单元体上任一截面上的应力从应力圆的半径CD按方位角的转向转动2

得到半径CE.圆周上E

点的坐标就依次为斜截面上的正应力和切应力。DxyoxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn证明点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。说明AB夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。2OCBA2、求主应力数值和主平面位置

(1)主应力数值A1和B1两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1，212DxyoxAyByxD′C20FE2B1A120DxyoxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位由CD顺时针转20到CA1所以单元体上从

x

轴顺时针转0（负值）即到1对应的主平面的外法线0确定后，1对应的主平面方位即确定3、求极值切应力G1和G2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2因为最大最小切应力等于应力圆的半径o例题6从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,(1)绘出相应的应力圆(2)确定此单元体在

=30°和

=-40°两斜面上的应力。xyxy解:(1)画应力圆量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2,定出D点;ACBOB

=y=-0.4和，BD′

=yx=0.2,定出D′点.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

为直径绘出的圆即为应力圆。将半径CD

逆时针转动2=60°到半径CE,E

点的坐标就代表

=30°斜截面上的应力。(2)确定=30°斜截面上的应力E60°(3)确定

=-40°斜截面上的应力将半径

CD顺时针转2=80°到半径CF,F

点的坐标就代表

=-40°斜截面上的应力。F80°AD′CBoD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa-40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa例题7两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试绘出截面c上a,b

两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。12015152709zab250KN1.6m2mABC+200kN50kN+80kN.m解:(1)首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图Mmax

=MC=80kN•mFSmax

=FC左

=200kN250KN1.6m2mABC12015152709zab(2)横截面C上a点的应力为a点的单元体如图所示axxxyyx由x，xy

定出D

点由y，yx

定出D′

点以DD′为直径作应力圆OC(3)做应力圆

x=122.5MPa，xy

=64.6MPa

y=0，yx

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1，A2两点的横坐标分别代表a

点的两个主应力

1和

3A1点对应于单元体上1

所在的主平面

axxxyyx01312015152709zab(4)横截面C上b点的应力b点的单元体如图所示bxxb点的三个主应力为1所在的主平面就是x

平面,

即梁的横截面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′1已知受力物体内某一点处三个主应力1、2、3利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。一、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力§7-3

空间应力状态分析31223113首先研究与其中一个主平面(例如主应力3所在的平面)垂直的斜截面上的应力122用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象21主应力3所在的两平面上是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力,

与3无关,只由主应力

1,2

决定与3垂直的斜截面上的应力可由

1,2作出的应力圆上的点来表示123321该应力圆上的点对应于与3垂直的所有斜截面上的应力

A1O2B与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力,

可用由1,3作出的应力圆上的点来表示C3与主应力１所在主平面垂直的斜截面上的应力,

可用由2,3作出的应力圆上的点来表示A1O2BC3结论三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标1A1O2BC3最大切应力则等于最大的应力圆的半径最大切应力所在的截面与2所在的主平面垂直，并与1和3所在的主平面成450角。二、各向同性材料的广义胡克定律（1）正应力：拉应力为正,压应力为负1、符号规定（2）切应力：对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针，则τ为正；反之为负（3）线应变：以伸长为正,缩短为负；（4）切应变：使直角减小为正,增大为负.xxyzyxyyxz22

x方向的线应变用叠加原理，分别计算出

1

,2,3分别单独存在时,x，y，z方向的线应变1

,2，

3，然后代数相加.2、各向同性材料的广义胡克定律单独存在时单独存在时

单独存在时xyyz3311在1

、2

、

3同时存在时,x

方向的线应变1为同理，在1

、2

、3同时存在时,y,z

方向的线应变为上式称为广义胡克定律

——沿x、y、z轴的线应变

例题11一直径d=20mm的实心圆轴，在轴的的两端加扭矩

m=126N·m.在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成

-45°方向的应变

=5.010-4,试求此圆轴材料的剪切弹性模量G.mmA45°x解：围绕A点取一单元体A13xyyx

-45°Abhzb=50mmh=100mm例题9已知矩形外伸梁受力F1，F2作用.弹性模量E=200GPa，泊松比=0.3,F1=100KN，F2=100KN。求：（1）A点处的主应变1，

2，3（2）A点处的线应变x，

y，zaAF1F2F2l解：梁为拉伸与弯曲的组合变形.A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力.（拉伸）（负）Ax=20xy

=30（1）A点处的主应变1，

2，3（2）A点处的线应变x，

y，z§7-4

材料的破坏形式一、材料破坏的基本形式1、屈服2、断裂——在构件上出现了一定量的塑性变形——在外力作用下，构件由于应力过大而产生裂缝并导致断裂如：低、中碳钢，铝、铜等塑性材料如：铸铁、高碳钢等脆性材料1、三向拉伸应力状态2、三向压缩应力状态二、应力状态对材料破坏形式的影响——塑性材料也发生脆性断裂——脆性材料表现出较大的塑性变形一、强度理论的概念

1、引言§7-5

强度理论轴向拉、压弯曲剪切扭转弯曲

切应力强度条件

正应力强度条件

(2)材料的许用应力，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的强度条件.上述强度条件具有如下特点(1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态；2、强度理论的概念

是关于“构件发生强度失效起因”的假说.基本观点

构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何复杂，其破坏形式总不外乎几种类型，而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的.根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式,进行分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料在单向应力状态时的试验结果,来建立材料在复杂应力状态下的强度条件.引起破坏的某一共同因素形状改变比能最大切应力最大线应变最大正应力二、四个强度理论

第一类强度理论

—以脆断作为破坏的标志包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论第二类强度理论—以出现屈服现象作为破坏的标志包括：最大切应力理论和形状改变比能理论根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料

就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏.

1、最大拉应力理论（第一强度理论）

基本假说：最大拉应力1是引起材料脆断破坏的因素.脆断破坏的条件：

1=b强度条件:1[2、最大伸长线应变理论（第二强度理论)

根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏.基本假说：最大伸长线应变1是引起材料脆断破坏的因素.脆断破坏的条件最大伸长线应变强度条件

3、最大切应力理论(第三强度理论)

基本假说:最大切应力max是引起材料屈服的因素.根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效.屈服条件

在复杂应力状态下一点处的最大切应力为强度条件

4、畸变能密度理论（第四强度理论）基本假说：畸变能密度

vd是引起材料屈服的因素.单向拉伸下，1=

s，

2=

3=0，材料的极限值

强度条件屈服条件三、相当应力把各种强度理论的强度条件写成统一形式r

称为复杂应力状态的相当应力.1、适用范围(2)塑性材料选用第三或第四强度理论；(3)在二向和三向等拉应力时，无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏，故选用第一或第二强度理论；四、各种强度理论的适用范围及其应用(1)一般脆性材料选用第一或第二强度理论；(4)在二向和三向等压应力状态时，无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论.2、强度计算的步骤(1)外力分析：确定所需的外力值；(2)内力分析：画内力图，确定可能的危险面；(3)应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主