第七章二次曲线的射影性质

§

7.2Pascal定理与Brianchon定理

两个古老而美丽的定理.内容包括两个定理及其逆定理,以及它们的各种极限、退化形式.有着重要的应用意义！简单六点形简记为：123456三双对边12,45；23,56；34,61(间隔(n–2)/2条边)简单六线形简记为：123456§

7.2Pascal定理与Brianchon定理一、Pascal定理与Brianchon定理

定理4.7(Pascal)

定理4.7'(Brianchon)

定理4.8(Pascal逆定理)

定理4.8'(Brianchon逆定理)Pascal线Brianchon点§

7.3

配极变换一、极点与极线

在二次曲线理论中十分重要,与二次曲线的大部分重要性质有关.只讨论二阶曲线,总假定：非退化.设定义7.1

两点P,Q关于共轭.(如图)

定理7.13点P关于的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.

证明设P(pi),Q(qi).则PQ与

:S=0的交点M(pi+qi)满足§

7.3配极变换设两根为1,2.则交点为Mj(pi+jqi)(j=1,2).于是(PQ,M1M2)=–11/2=–11+2=0将qi改为流动坐标xi,得P关于的共轭点的轨迹为直线Sp=0.§

7.3配极变换一、极点与极线定理7.13点P关于的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.推论7.5两点P,Q关于共轭Spq=0.即注2P在上,则Spp=0,规定：上的点关于自共轭.注1验证两点P,Q关于共轭,只要验证上式.§

7.3配极变换2.极点与极线定义7.7对于点P,若则称P关于的共轭点轨迹p切线p为P关于的极线,方程为Sp=0.反之,称P为直线p关于的极点.§

7.3配极变换一、极点与极线

推论7.6平面上任一点P关于的极线存在唯一,方程为Sp=0.反之,平面上任一直线p关于的极点存在唯一.

证明只要证后半.设直线u:u1x1+u2x2+u3x3=0,求u关于的极点.

设P(pi)为其一个极点.

由于P(pi)的极线唯一存在为Sp=0,从而u与Sp=0为同一直线,即2.极点与极线§

7.3配极变换一、极点与极线2.极点与极线即§

7.3配极变换二、配极变换1.配极变换定义7.9称由决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线

:S=0的配极变换.注2任一非退化二阶曲线都决定了平面上的一个配极变换.

注1(4.18)即表示点x与直线u是关于

:S=0的极点极线关系.注4非异实对称矩阵类非退化二阶曲线配极变换§

7.3配极变换二、配极变换1.配极变换

注本定理为配极变换最基本的几何性质.

定理7.14(配极原则)点P关于的极线p通过点Q点Q关于的极线q通过点P.

定理7.14'(配极原则)直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极点Q在直线p上.§

7.4

二次曲线的射影分类一、二阶曲线的奇异点1.定义

定义7.20若点P0(p0i)的坐标是方程组的非零解,则称P0为二阶曲线：的一个奇异点.

注1.P0为的奇异点

P0在上,且Sp0=0.

注2.

:S=0有奇异点|aij|=0

为退化的.§

7.4

二次曲线的射影分类

注3.若秩(aij)=2,则有唯一奇异点；若秩(aij)=1,则有无穷多的奇异点,构成一条直线.2.性质(1).定理7.24.上一点P为奇异点P与上任一点连线上的点都在上.§

7.4

二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类1.|aij|0,秩(aij)=3.再作一次仅改变单位点的射影坐标变换S'=0又可化为去掉“''”之后,由于齐次性及x1,x2,x3的平等性,只有两种情况§

7.4

二次曲线的射影分类综上,非退化二阶曲线的方程必可化为上述两种标准方程之一.§

7.4

二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类2.|aij|=0,秩(aij)=2.

退化为两条相交直线m1,m2

取新的射影坐标系如图所示,的方程可化为即§

7.4

二次曲线的射影分类

综上,当二阶曲线退化且秩为2时,其方程必可化为上述两种标准方程之一.§

7.4

二次曲线的射影分类二、二阶曲线的射影分类3.|aij|=0,秩(aij)=1.

退化为一条完全由奇异点构成的直线.取此直线为坐标三点形的一边,比如A'2A'3,

则S=0必可化为

综上,当退化且秩为1时,的方程必可化为上述标准方程.

由以上讨论,二阶曲线被分成5个等价类,属于同一等价类的二阶曲线的方程必可化为上述5种标准方程之一.§

7.5

二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系

定义7.21对于任意的二阶曲线,

若交l于两个相异的实点重合的实点共轭的虚点,则称为双曲型的抛物型的.椭圆型的若非退化,则称为双曲线抛物线.椭圆双曲线抛物线椭圆约定本节与下节,仅在射影仿射平面上讨论,即指定l:x3=0.§

7.5

二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系设其中xi为射影仿射坐标,则x1,x2地位平等而x3特殊.与l的交点为解出x1:x2即得交点(x1,x2,0).于是,对于x1:x2,有两个相异的实根重合的实根共轭的虚根为双曲型的抛物型的.椭圆型的§

7.5

二次曲线的仿射理论

定理7.25对于二阶曲线

:S=0,A33的符号为仿射不变的.由于l：x3=0为仿射不变的,因此二阶曲线与l的相交情况也是仿射不变的,所以有下列定理§

7.5

二次曲线的仿射理论二、二阶曲线的中心

定义7.22l关于的极点C称为的中心.(1)通常点C为的中心C为的对称中心(即C为过C的弦的中点).

(2)双曲线,椭圆的中心为有穷远点；抛物线的中心为无穷远点.双曲线椭圆有心二阶曲线无心二阶曲线抛物线§

7.5

二次曲线的仿射理论因为中心C为l的极点,设C(c1,c2,c3).则中心方程组为于是,中心坐标为：有心二阶曲线：(A31,A32,A33).无心二阶曲线：(A31,A32,0).即(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0).易犯之错：A32的符号！§

7.5

二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径(1).直径仿射定义解几定义

无穷远点P的有穷远极线(过中心的通常直线).

一组平行弦中点的轨迹.(XY,ZP)=–1(2).共轭直径

直径AB的共轭直径为AB上无穷远点P的极线EF(相互通过对方极点的两直径).

直径AB的共轭直径为平行于AB的弦的中点轨迹EF.(XY,ZP)=–1仿射定义解几定义(3).共轭方向：与一对共轭直径平行的方向.l不是任何二阶曲线的直径！利用中心坐标,可直接写出的直径方程为或者§

7.5

二次曲线的仿射理论四、渐近线1.定义.二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线.注1.等价定义：过中心的有穷远切线称为渐近线.注2.与渐近线平行的方向称为渐近方向.注3.双曲线椭圆有两条实虚渐近线,一对渐近方向；抛物线无渐近线.从而,渐近线只对有心二阶曲线讨论.§

7.5

二次曲线的仿射理论§

7.6

二次曲线的仿射分类问题：在射影仿射平面上,给定适当选取射影仿射坐标系,将的方程化为射影仿射标准方程.

依据：

的秩,A33的符号,将双曲型、抛物型、椭圆型三类曲线进一步细分为若干射影仿射等价类,得到每一类的标准方程.

注意：由l

：x3=0在射影仿射平面上的特殊性,故在选取新的射影仿射坐标系时必须保持A1',A2'总在l上.§

7.6

二次曲线的仿射分类一、非退化|aij|0,秩(aij)=3.1.A33≠0,有心二阶曲线.

以A1'A2'A3'为坐标三点形,适当选取单位点E'(按单位点规则),建立新的仿射坐标系.注意到x1,x2地位平等,而x3特殊,从而有下列三个射影仿射等价类在射影仿射平面上,有心二阶曲线皆可化为上述标准方程之一.§

7.6

二次曲线的仿射分类一、非退化|aij|0,秩(aij)=3.2.A33=0,无心二阶曲线,即抛物线.在射影仿射平面上,无心二阶曲线(抛物线)皆可化为上述标准方程.