杆件变形分析

第4章杆件变形分析4.1杆件轴向拉压变形4.3积分法求梁弯曲变形4.4叠加法求梁弯曲变形4.5提高梁弯曲刚度的一些措施目录14.2圆杆扭转变形·刚度条件§1杆件轴向拉压变形1.纵向变形

22.横向变形泊松比横向应变上述比例关系成立的应力条件：单向应力状态，线弹性范围内.

当时当时33.正应变与正应力的关系——虎克定律前面已知:当EA---抗拉(压)刚度应用：（1）当FN、EA在分段内不变化时（2）当FN(x),A(x)取dx段后再积分。（3）利用杆件的变形可计算节点的位移。E---弹性模量同一材料制成的拉压杆，正应变随截面位置的变化——由正应力确定当

时解:内力计算FN(x)=F+gAxFxF应力计算变形计算※注意内力为x的函数已知:F,l,A,E,g，求：例题1.14例题1.2

AB长2m,面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。解：1)计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象2)根据胡克定律计算杆的变形。AF300斜杆伸长水平杆缩短53)节点A的位移（以切代弧）AF30067§2圆杆扭转变形

·刚度条件1.扭转变形②若两截面间值变化，则应分段应用上式任意相距

dx

两截面间相对扭转角相距

l两截面间相对扭转角①若两截面间值均不变(常数):l代数求和（离散变化）或积分（连续变化）x8阶梯形圆轴,求解：T（N·m）[例2.1]（思考：代数和＋－？）1400620ACB1400N·m620N·m780N·m9ACBLM已知m[例2.2]xxT(x)解：T图前已解出：dx(微段dx

的相对扭转角）(A-B相对扭转角=无数微段相对扭转角集合）求A、B间相对扭转角钻杆，（已知L

、G、IP

）设工件阻力矩m沿杆长度均匀分布.（思考:如何求A-C之间相对扭转角?）mdφ10单位扭转角：2.刚度条件GIp反映截面抵抗扭转变形的能力，称为截面抗扭刚度（许用单位扭转角）刚度条件

轴类零件除满足强度条件外，还不应有过大的扭转变形，如：工程中扭转变形可通过单位扭转角控制

车床丝杠、磨、镗床传动轴若扭角过大，则易影响进刀或引起扭振，影响加工精度、光洁度11500400P1P3P2

ACB

[例2.3]某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率P1=368KW，输出功率分别P2=147KW,P3=221KW，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m

，试确定：①AB

段直径d1和BC段直径d2

？②若全轴选同一直径，应为多少？解：①扭矩图Tx–7.024–4.21(kNm)7.0244.212.814③主动轮与从动轮如何安排合理？12

.由刚度条件：综上：②全轴选同一直径时.由强度条件：–7.024–4.21G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m(kNm)T13Tx–4.21(kNm)2.814T–7.024–4.21(kNm)500400

ACB

500400

ACB

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位.7.0244.212.8147.0244.212.814换位后,扭矩图所示,轴此时最大直径为75mmx14（连续光滑)①转角②挠度挠曲线挠度－转角关系：截面形心x方向位移极微小,忽略不计(小变形)弯曲前后，横截面始终垂直于轴线——

（导数之几何意义）截面绕中性轴转过的角度.截面形心的竖向位移,截面间夹角＝轴线间夹角逆时为正向上为正.1.梁的挠度和转角§3积分法求梁弯曲变形

15

曲率-曲线

微分关系：略去高阶小量2.挠曲线近似微分方程(考虑全梁各个截面)xo

中性层曲率半径M(x)>0＋－号—与坐标取向、有关弯矩符号规定——二阶挠曲近似微分方程

16挠曲线近似微分方程：再积分一次挠度方程：二阶线性非齐次——逐次积分，降阶积分一次转角方程：3.用积分法求弯曲变形

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积分常数由梁支承条件和连续条件确定：（-弹簧变形）裂断1)支承条件2)连续条件AAAAA分界点A

18ABqC

[例3.1]求转角和挠度方程，并求最大转角和挠度（θ）dxdwEI=（梁EI已知）1）列挠曲微分方程解3）定积分常数支承条件连续条件2）积分代入ABqC4）转角方程和挠度方程5）最大转角和最大挠度∴1）各段M(x)按同一侧算；若遵循：各积分常数将两两相等2）积分时均不打开括号（

x－a）19

20b*[例3.2]求梁转角方程和挠度方程，并求最大转角和挠度（EI已知，l=a+b，a>b

）解1）求反力,分段：2）弯矩、微分方程并积分3）定积分常数连续条件支承条件02=)(lwlFb(1)（2）(1)（2）(1)（2）

214）转角方程和挠度方程代入解出1）各段M(x)按同一侧算；若遵循二规律：可得各积分常数两两相等2）积分时均不打开括号（

x－a）B

225）最大转角和挠度分析

wmax

位置：……结论:对简支梁，荷载作用点对wmax

位置影响不大.b=0,b=l/2,其余当在二者之间；且wmax与跨中w相比误差不超过3％bx=0.5l.x=0.577l;(令)不论荷载作用在何处（只要同向），均可认为wmax

发生在跨中。§4叠加法求梁弯曲变形设某梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为q

，挠度为w，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：7-423

载荷较多时，积分法计算繁杂——叠加法较简便待定积分常数较多（n段2n个常数）若干个载荷（包括外力偶、分布力）作用时，小变形，材料线弹性——M与F成正比（w、θ

）是荷载（

F、M、q）的一次（线性）函数各载荷单独作用产生的位移彼此独立，互不影响由于梁的边界条件不变，因此24由弯矩的叠加原理知：所以，重要结论：若干个载荷共同作用产生的位移（挠度或转角），（变形叠加原理）线性函数的叠加原理（各简单荷载下梁的w、θ——P83表）等于各载荷分别单独作用位移的代数和

25梁受力如图，q、l、EI均已知,求C

截面挠度wC

；B截面转角B1）载荷分解2）查表得三情形下wC

、B解qlql/2ABCl/2ql2qqll/2ABCl/2wC1l/2ABCl/2wC2l/2ABCl/2wC3wx[例1]ql2

263）叠加，将各载荷作用结果求和

qlql/2ABCl/2ql2qqlql2l/2ABCl/2wC1l/2ABCl/2wC2l/2ABCl/2wC3wx[例2]求图示悬臂梁的yc组合方法一：增减载荷法CABCBAC（1）CB（2）27先假设BC段刚性，只有AB段变形再考虑BC段的变形(AB段刚性)ABCBACCAB=+牵带位移组合法二：逐段刚化法28F1)B2)ABqC解F=qa悬臂梁受力如图示,q、l、EI均已知.求B截面转角、挠度,梁上载荷分成1）2）AC变形不受BC影响（自由且无外力）查表1）[例3]BC本身无变形2）分两段分析：但有刚体位移（随C刚体转动）3）叠加

qaaABC（无M/零曲率）,29[例4]F=qaaDaaBAq解叠加法求,先将载荷分成情形1、2DBAF1)qDBA2)挑臂对内跨变形无影响1）2）3）叠加

BD位移由两部分组成：+自身变形（形似悬臂）挑臂随内跨作刚体转动30

31DBAq2）讨论:叠加法求变形有什么优缺点？qaaaa

321.刚度条件建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：§5梁刚度条件·提高刚度措施

331）由挠度表中查B处转角：解2）由刚度条件定轴径：alCBAdF[例5.1]已知钢制圆轴左端受力

F＝20kN，a＝1m，l＝2m，E=206GPa。轴承B处许可转角θ

=0.5°

根据刚度要求确定轴直d.根据要求轴须有足够