条形极点配置

极点配置基本概念开环系统：（1）

（状态反馈）闭环系统：（2）反馈规律极点配置闭环系统的极点的分布情况决定了系统的稳定性和动态品质。所谓极点配置（或称为特征值配置）就是如何使得已给系统的闭环极点处于所希望的位置。系统（1）通过状态反馈可任意配置极点的充分必要条件是系统完全能控。（对单输入单输出和多输入多输出均成立）。构造状态反馈来调整系统的极点。单输入系统的极点配置开环系统：闭环系统：若希望(给定)闭环极点为：

状态反馈：求实向量K,使得

单输入系统的极点配置1.适合维数较高，控制矩阵中非零元素较多（4）（5）令(6)求2.适合维数较低，控制矩阵中只有一个非零元素的情况问题的提出精确的极点配置必须以精确的数学模型为依据由于不确定性及各种扰动的存在，使得精确的极点配置不可实现精确的极点配置并非是唯一的途径，将系统的闭环极点配置在复平面上的一个适当区域，即可保证系统的动态特性和稳态特性系统的区域稳定

1.区域R是以虚轴为边界的左半平面，则R—稳定性即是连续系统的稳定性。2.R—稳定性是以直线为边界的左半平面，则系统的R—稳定性即是—稳定性。3.如果R是左半平面内的某个开圆盘D，则系统R—稳定性称为D—稳定性。LMI区域的描述定义对复平面中的区域D，如果存在一个实对称矩阵，使得 则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)。矩阵值函数 称为LMI区域D的特征函数,特征函数维的Hermite矩阵，表示矩阵是负定的。是复数变量。的取值是和实矩阵说明：LMI区域是凸的LMI区域是关于复平面上的实轴对称的常见的LMI区域左半开复平面相应的特征值函数相应的特征值函数左半复平面的垂直条形区域相应的特征值函数

D－稳定性分析定义

对复平面中给定的LMI区域D和实矩阵如果实矩阵A的所有特征值都位于区域D中，即，则称实矩阵A是D-稳定的。设是一个正定矩阵，则它的实部Re（x）是一个对称正定矩阵。证明：从（3）定理：给定LMI区域其中：，使得则实矩阵是D-稳定的充分必要条件是存在一个对称正定实矩阵证明：假定存在对称阵X满足MD(A,X)<0.设λ是矩阵A的任意特征值，且有应用Kronecker乘积的性质，可得由MD(A,X)<0和X>0可推出即由于的任意性，根据D-稳定的定义，可得矩阵A是D-稳定的，定理得证。D稳定性定理的应用

LMI区域为左半开复平面对于左半开复平面，其特征函数是则由D稳定性定理，可得，矩阵A的所有特征值均在左半开复平面的充分必要条件是存在对称正定矩阵X，使得Lyapunov不等式

推论给定两个LMI区域D1和D2，矩阵A同时是D1-稳定和D2-稳定的充分必要条件是存在一个对称正定阵X，使得第三方条形区域极点配置状态反馈控制器设计及仿真第二部分条形区域矩阵A的所有特征值均在h1，h2的垂直条形区域的充分必要条件是存在对称正定矩阵X，使得：成立结论：对于系统，存在增益矩阵K，使得系统的极点配置到D（h1，h2）区域的充分必要条件是存在正定对称矩阵X和矩阵P，使得数学模型：履带车辆悬挂系统实例仿真对于已知线性定常系统履带车辆悬挂系统给定希望的闭环极点配置在h1=-3，h2=-1的条形区域内，设计状态反馈矩阵K，画出极点分布图。程序closeall;A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]B=[0;1;0;-1];C=[1,2,3,4]h1=-3;h2=-1;setlmis([]);X=lmivar(1,[4,1]);P=lmivar(2,[1,4]);lmiterm([111X],.5*2*h1,1,'s');%LMI#1:2*h1*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111X],A,-1,'s');%LMI#1:-A*X-X'*A'lmiterm([111P],B,-1,'s');%LMI#1:-B*P-P'*B'lmiterm([122X],A,1,'s');%LMI#1:A*X+X'*A'lmiterm([122P],B,1,'s');%LMI#1:B*P+P'*B'lmiterm([122X],.5*2*h2,-1,'s');%LMI#1:-2*h2*X(NONSYMMETRIC?)未加状态反馈矩阵KQ=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(Q);X=dec2mat(Q,xfeas,X);P=dec2mat(Q,xfeas,P);sys=ss(A,B,C,0);P=eig(sys);xx=real(P);yy=imag(P);figure(1)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;plot([-3,-3],[-10,10]);plot([-1,-1],[-10,10]);axisequal加状态反馈矩阵Kcloseall;A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]B=[0;1;0;-1];C=[1,2,3,4]h1=-3;h2=-1;setlmis([]);X=lmivar(1,[4,1]);P=lmivar(2,[1,4]);K=lmivar(2,[1,4]);lmiterm([111X],.5*2*h1,1,'s');%LMI#1:2*h1*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111X],A,-1,'s');%LMI#1:-A*X-X'*A'lmiterm([111P],B,-1,'s');%LMI#1:-B*P-P'*B'lmiterm([122X],A,1,'s');%LMI#1:A*X+X'*A'lmiterm([122P],B,1,'s');%LMI#1:B*P+P'*B'lmiterm([122X],.5*2*h2,-1,'s');%LMI#1:-2*h2*X(NONSYMMETRIC?)XYC=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(XYC);X=dec2mat(XYC,xfeas,X);P=dec2mat(XYC,xfeas,P)