测量学与地图学(第七章)

第七章、地图投影§1、地图投影及其变形§2、地图投影的分类§3、地图投影的选择§4、地图投影的判别§1、地图投影及其变形一、地图投影按照一定的数学法则，将地球椭球面上的经纬网转换到平面上，使地面点位的地理坐标（λ、φ）与地图上相对应点位的平面直角坐标（x,y）或极坐标(δ,ρ)间，建立起一一对应的函数关系：

x=f1(j,l)

y=f2(j

,l)地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。二、地图投影变形1.投影变形的概念

同一个区域在不同投影的地图上表现出明显的形状差异（经纬网的不同形式）2、地球仪上经纬网的特征（1）、长度特征纬线长度不等,赤道最长,纬度越高长度越短,

到极点为0;

同一条纬线上,经差相同的纬线弧长相等;

所有经线长度相等;

同一条经线上,纬差相同的经线弧长相差不大.（2）、角度经线与纬线处处都呈直角.（3）、面积同一纬度带内,经差相同的球面梯形面积相等;

同一经度带内,纬度越高球面梯形面积越小.3.变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。为经线长度比；为纬线长度比微小圆→变形椭圆

该方程证明:地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆。代入：X2+Y2=1，得特别方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向长轴方向（极大值）a短轴方向（极小值）b经线方向m

；纬线方向n统称主方向m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b4、投影变形的性质和大小

1)长度变形

长度比和长度变形：投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小之比。

m表示长度比，Vm表示长度变形

=0不变>0变大<0变小

2)面积变形

面积比和面积变形：投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。

P

表示面积比Vp

表示面积变形

P=a·b=m·n(q=90)

P=m·n·sinq

(q≠90)

=0不变>0变大<0变小

dF’πa*r*b*rP===a*b

dF

πr2

3)角度变形：

投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。

=(a–b)/(a+b)

一.地图投影方法1.几何投影法

地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲面上，如平面、圆柱面和圆锥面。§2、地图投影的分类2.数学解析法

利用数学解析方法建立投影公式,并计算经纬线交点坐标,最后获得投影经纬网的方法.二.地图投影分类1.按地图投影的构成方法分类

1）几何投影:将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。

(1)方位投影:以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。

(2)圆柱投影:以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

(3)圆锥投影:以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。

2）非几何投影：

根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。(1)伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成.纬线为同心圆,除中央经线为直线外，其余经线均投影为对称中央经线的曲线。⑵伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。纬线为平行直线,除中央经线为直线外，其余经线均投影为对称中央经线的曲线。⑶伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成。纬线为同心圆弧,除中央经线为直线外，其余经线均投影为对称中央经线的曲线。⑷多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。2.按地图投影的变形性质分类

1)等角投影:投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零ω=0（或a=b，m=n）。

2)等积投影:投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零Vp=0（或

P=1，a=1/b）。

3)任意投影:投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。§3地图投影的选择一.地图投影的选择依据

1.制图区域的地理位置、形状和范围

2.制图比例尺

3.地图的内容

4.出版方式1.制图区域的地理位置、形状和范围2.制图比例尺

不同比例尺地图对精度要求不同，投影亦不同。

大比例尺地形图，对精度要求高，宜采用变形小的投影。中、小比例尺地图范围大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等积、任意投影的多种选择。3.地图的内容主题和内容不同，对投影的要求也不同。①要求方向正确，应选择等角投影②要求面积对比正确，应选择等积投影③教学或一般参考图，要求各方面变形都不大，则应选择任意投影4.出版方式单幅图系列图地图集

二.地形图投影

1.大中比例尺地形图-------高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）

以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。

由德国数学家、天文学家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）及大地测量学家克吕格（J.Krüger，1857—1923）共同创建。(1).经纬线网特点:

中央经线与赤道为相互垂直的直线;

其他经线为对称于中央经线并交于两极的曲线;

其他纬线为对称于赤道并凹向两极的曲线;

经线与纬线正交.(2).变形特征

此投影角度无变形(ω=0);中央经线无长度变形(m0=1),中央经线两侧的变形是对称的，离中央经线越远长度变形越大。

1∶1万（3°分带）

1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万（６°分带）。(3).分带投影为保证精度，中国国家基本比例尺地形图采用分带投影方法：

经差6°(长度变形<0.14%)或3°分带，(4).

通用横轴墨卡托投影

——UTM投影

以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称

UniversalTransverseMercator——UTM投影。

此投影无角度变形，中央经线长度比为0.9996，距中央经线约±180km处的两条割线上无变形。亦采用分带投影方法：经差6°或3°分带。长度变形<0.04%2.百万分一地形图投影-----等角圆锥投影

新编国际百万分一地图采用双标准纬线正轴等角圆锥投影.中国《1∶100万地形图编绘规范》规定采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的双标准纬线等角割圆锥投影,按纬差4°分带长度变形最大值:±0.03%面积变形最大值:±0.06%三.区域图投影

1.方位投影

正轴方位投影横轴方位投影斜轴方位投影2.正轴圆锥投影经线:投影为放射直线，纬线:投影为同心圆弧.

适于制作中纬度沿东西方向延伸地区的地图①等角割圆锥投影条件：w=0;

m=n;相割纬线：

1=25°

；

2=45°

②等积割圆锥投影条件：P=mn=1;

多用于要求面积对比正确的图种，如分布图、类型图、区划图如1:800万，1:600万，1:400万《中华人民共和国地图》采用了(1=25°；

2=47°)的该投影。③等距割圆锥投影条件：m=1;

原苏联出版的苏联全图，采用(1=47°；

2=62°)的该投影。

3.伪圆锥投影

由法国彭纳（R.Bonne）在圆锥投影的基础上，根据某些条件改变经线形状设计而成，故又称彭纳投影(等积投影)。纬线为同心圆弧,中央经线为直线(

m0=1)其他经线为对称m0的曲线常用于编制中纬度地区小比例区域图中央经线与中央纬线是两条没有变形的线,距离这两条线越远变形越大.四.世界地图投影主要类型：多圆锥投影、圆柱投影和伪圆柱投影

具体方案：等差分纬线多圆锥投影正切差分纬线多圆锥投影墨卡托（Mercator）投影摩尔威特（Mollweide）投影古德（Goode）投影

1.多圆锥投影 设想更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称中央经线的曲线。

普通多圆锥投影（1820年美国Hasslar

所创）m0=1n=1m>1任意投影等差分纬线多圆锥投影

中国地图出版社1963年设计，其经线间隔随距中央经线距离的增大而呈等差递减，属任意投影。正切差分纬线多圆锥投影

中国地图出版社1976年设计，其经线间隔按与中央经线经差的正切函数递减。属任意投影。2.正轴等角圆柱投影

由荷兰地图学家墨卡托（MercatorGerardus，1512—1594）于1569年所创设，故又名墨卡托投影。最大特点:不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有重要的实用价值。经纬线形状:经纬线是互相垂直的平行直线;经线间隔相等,纬线间隔由赤道向两极逐渐扩大.变形特点:角度无变形;赤道为没有变形的线;随纬度增高面积变形增大.等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线。

大圆航线：地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。墨卡托投影等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线

3.伪圆柱投影 是在圆柱投影的基础上，规定纬线仍然为平行直线，而经线则根据某些特定条件改变经线形状而设计成对称于中央经线的各类曲线的非几何投影，在具体应用中以等积性质居多，而无等角投影。⑴桑逊（Sanson）投影⑵摩尔威特（Mollweide）投影⑶古德（Goode）投影常用的投影方案：

⑴桑逊（Sanson-Flamsteed）投影

由法国桑逊于1650年设计的等积伪圆柱投影经纬线形状:纬线为间隔相等的平行直线;

中央经线为直线,其他经线为正弦曲线;

每条纬线上经线间隔相等。投影变形特点：P=1无面积变形n=1纬线长度比为1m0=1中央经线长度比=1m>1经线长度比>1⑵摩尔威特（Mollweide）投影 由德国摩尔威特于1805年设计的等积伪圆柱投影。投影特点：①

P=1无面积变形;②中央经线和±40°44′11″.8的交点为没有变形的点,离这两点距离越远变形越大,向高纬比向低纬增大的速度快;③S90=Searth

/2;④赤道长度=中央经线×2.S90=Searth

/240°44′11.8″经纬线形状:①中央经线为直线,距离中央经线东西经差±90°的经线构成一个大圆,其面积等于地球面积的1/2;其余经线为椭圆;②赤道长度为中央经线的2倍,纬线是由赤道向两极间隔逐渐缩小的平行直线;③每条纬线上经线间隔相等。⑶古德（Goode）投影

美地理学家古德（J.PaulGoode）于1923年提出在整个制图区域主要部分中央都设置一条中央经线，分别进行投影，则全图就分成几瓣，各瓣沿赤道连接在一起。投影特点：分瓣、组合投影，变形减小且均匀大陆完整，大洋割裂大洋完整，大陆割裂古德投影§4、地图投影的判别一、确定投影的种类1、方位投影正轴方位投影：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是以极点为中心的放射状直线。横轴方位投影：赤道是直线，其他纬线为对称于赤道的曲线；中央经线是直线，其他经线为对称于中央经线的曲线。斜轴方位投影：中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的曲线；纬线为任意曲线。2、圆柱投影

正轴圆柱投影：纬线为平行于赤道的直线，经线为垂直于赤道的平行直线。横轴圆柱投影(高斯投影投影)：中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的曲线；赤道为直线，其他纬线为对称于赤道的曲线。3、圆锥投影通常均指正轴圆锥投影。

正轴圆锥投影：纬线为同心圆弧，经线为交于一点的放射状直线束。

4、伪圆柱投影和伪圆锥投影

伪圆柱投影：纬线是平行于赤道的直线；中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的曲线。伪圆锥投影：纬线为同心圆弧；中央经线是直线，其他经线为对称于中央经线的曲线。5.多圆锥投影：纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。二．地图上经纬线形状的判别

地图上的经纬线一般有直线、曲线、同心圆、同心圆弧、同轴圆弧几种形式，其判断方法如下：1、直线与曲线取一直尺，将经线或纬线线段的两个端点置于直尺的直线边上，如果线段上的各点均位于直尺的直线边上，则说明这条线段是直线，否则是曲线。

2、曲线与圆弧的判断

用一块透明纸蒙在曲线上，在曲线上按一定间隔出3～5个点，然后移动透明纸至曲线的另外位置，若透明纸上的点仍在这身线上，则说明此曲线为圆弧，否则为其他曲线。3、同心圆弧的判断：

若每一个圆弧上的任一点与另一个圆弧的最短距离均相同，即相邻圆弧之间的垂线处处等长，则这组圆弧为同心圆弧。4、同轴圆弧的判断：

有一组圆弧，相邻圆弧之间的垂线处处不相等，且左右对称，这组圆弧就是向轴圆弧，即圆心不在一点而在一条直线上，这条直线一般是中央经线。三、根据地图上纬线间距变化规律判别地图投影变形性质1.等角投影：纬线间距是从地图的中央向南北逐渐增大，并且增大具有一定规律。2.等积投影：纬线间距是从地图中央向南北逐渐缩小，且缩小也有一定规律。3.等距投影：纬线间距相等。若纬线间隔迅速增大或缩小，则可能是任意投影哪个是等角圆锥投影？四、总结常见地图投影经纬线网形状、纬线间隔变化以及主要制图区域

投影名称

经纬线形状

中经线上纬线间隔的变化

主要制图区

经线纬线等差分纬线多圆锥投影

摩尔魏特投影

古德投影

墨卡托投影

任意圆柱投影

等距圆锥投影

等角圆锥投影

等积圆锥投影

彭纳投影

桑生投影

正轴等距方位投影

横轴等积方位投影

斜轴等积方位投影

横轴等角方位投影中央经线为直线，其余经线为对称于中央经线的曲线

中央经线是直线，其他经线为椭圆弧

有几条中央经线是直线，其余经线是曲线

间隔相等的平行直线

间隔相等的平行直线

放射状直线

放射状直线

放射状直线

中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的曲线

中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的曲线

放射状直线

中央经线为直线，其他经线为与中央经线对称的曲线

中央经线为直线，其他经线为与中央经线对称的曲线

中央经线为直线，其他经线为圆弧赤道为直线，其余纬线为对称于赤道的同轴圆弧

纬线是平行直线

纬线是平行直线

与经线垂直的平行直线

与经线垂直的平行直线

同心圆弧

同心圆弧

同心圆弧

同心圆弧

纬线为平行直线

同心圆

赤道为直线，其他纬线为与赤道对称的曲线

任意曲线

赤道为直线，其他纬线为与赤道对称的圆弧

从赤道向两极稍有增大

由赤道向两极逐渐缩小

纬度40’以下相等，纬度40’以上逐渐缩小

由低纬向高纬急剧增大

从赤道向两极逐渐增大

相等

由地图中心向南、北方向逐渐增大

由地图中心向南、北方向逐渐缩小

相等

相等

相等

赤道向两极逐渐缩小

从地图中心向外逐渐缩小

从赤道向两极逐渐扩大世界图

世界图、半球图

世界图

世界图、东南亚地区图

世界图

中纬度地区分国图中纬度地区分国图

大洲图

亚洲图、欧洲图

非洲图、南美洲图

南北极地区图、南、北半球图

东、西半球图、非洲图

水、陆半球图、大洲图

东、西半球图投影名称1.正轴方位投影 2.正轴圆柱投影3.正轴圆锥投影4.伪方位投影5.伪圆柱投影6.伪圆锥投影7.多圆锥投影8.高斯-克吕格投影9.双标准纬线正轴等角圆锥投影10.正轴等角割圆锥投影11.正轴等积割圆锥投影12.正轴等距割圆锥投影13.彭纳投影14.等差分纬线多圆锥投影15.正切差分纬线多圆锥投影16.墨卡托投影17.桑逊投影18.摩尔威特投影19.古德投影

实验十三、墨卡托投影图一、目的要求：

掌握正轴圆柱投影经纬网建立的方法，并通过在该投影图上绘制等角航线与大圆航线，加深对墨卡托投影性质的理解。二、具体任务：

1、以手工方法，按主比例尺为1：200000000，经纬线网密度为10°，绘制墨卡托投影经纬线网格，并转绘大洲轮廓。

2、以指定的方法，绘出东京至旧金山之间的等角航线和大圆航线。三、实习步骤提要1．墨卡托投影经纬网的建立方法(1)根据下列公式计算赤道周长(y)：Y=R*λ/MR:地球半径(取6371km)，入:经度(用弧度表示)，M:地图比例尺分母。在图纸中央稍下绘一直线代表赤道，然后按规定的经线间隔将赤道等分，过各个等分点作与赤道垂直的直线，即为经线。(2)根据下列公式计算各条纬线的平面直角坐标(X)：X=R/0.43429*lgtan(45+φ/2)

式中的φ值，按规定的各条纬线的纬度代人，即求得各条纬线的平面直角坐标值。然后在任一经线上截取相应的X值，从各截