第七版D6-2几何应用

第六章利用元素法解决:定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用第一节机动目录上页下页返回结束定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?第六章定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介绍几何上，物理上实际问题的应用，例如：计算平面图形面积，曲线弧长，旋转体体积，引力，做功等。回顾曲边梯形面积A转化为定积分的计算过程：把区间[a,b]分成n个小区间,有总量A对于[a,b]具有区间可加性,计算Ai的近似值得A的近似值(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求极限.n个部分量Ai的和.ab0xyy=f(x)即A可以分割成

把上述步骤略去下标，改写为：计算A的近似值得A的近似值得(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求极限.把区间[a,b]分成n个小区间，任取其中一个小区间[x,x+dx]（区间微元），用A表示[x,x+dx]上的小曲边梯形的面积，于是xx+dx这种方法通常叫元素法.面积微元若总量U在[a,b]上有可加性且部分量Uif(i)xi时,求U可分两部进行:(1)求元素局部近似得dU=f(x)dx(2)求全量元素积分得应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．例1.写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式任一点的线密度是长度的函数。解:建立坐标如图,oxlxx+dx则任意点x的密度为step1.

step2.step3.本章用微元法讨论定积分在几何，物理中的一些应用。微元法(ElementMethod)表示为一、什么问题可以用定积分解决?

1)所求量

U

是与区间[a,b]上的某分布f(x)

有关的2)U

对区间[a,b]

具有可加性

,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义机动目录上页下页返回结束一个整体量;二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法成为元素法

(或微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值第二节目录上页下页返回结束四、旋转体的侧面积(补充)三、平面曲线的弧长

第二节一、平面图形的面积二、已知平行截面面积函数的立体体积机动目录上页下页返回结束定积分在几何学上的应用第六章一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及

x

轴所围曲则机动目录上页下页返回结束边梯形面积为A,右下图所示图形面积为例1.

计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解I:

由得交点机动目录上页下页返回结束解II:

例2.

计算抛物线与直线的面积.解:

由得交点所围图形为简便计算,选取

y

作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束例3.求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b

时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程

给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束补充例*.求由摆线的一拱与x

轴所围平面图形的面积.解:机动目录上页下页返回结束2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动目录上页下页返回结束对应

从0变例4.计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停机动目录上页下页返回结束到2

所围图形面积.例5.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线目录上页下页返回结束心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停

尖点:

面积:

弧长:参数的几何意义补充例*.

计算心形线与圆所围图形的面积.解:

利用对称性,所求面积机动目录上页下页返回结束补充例*.

求双纽线所围图形面积.解:

利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.机动目录上页下页返回结束答案:(二)体积1．旋转体的体积2．平行截面面积已知的立体体积

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1、旋转体的体积xyo旋转体的体积为解直线方程为及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体．旋转体(旋转椭球体)的体积．体积元素为于是所求旋转椭球体的体积为abxyOdV

y2dx

，例7

计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的解这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆V

y2dx

(a2x2)dx[a2x

x3

a

b2．ab解补充利用这个公式，可知上例中2、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱壳法3、小结三、平面曲线的弧长定义:

若在弧

AB

上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB

的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:

任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)机动目录上页下页返回结束则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(P168)机动目录上页下页返回结束(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长机动目录上页下页返回结束(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)机动目录上页下页返回结束解所求弧长为例12.

计算摆线一拱的弧长.解:机动目录上页下页返回结束例13.

求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:(P349公式39)小结目录上页下页返回结束内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程