计算模型预测法

计算模型是由描述预测对象与其主要影响因素有关的一个方程式或方程组构成。计算模型预测法就是利用这一系列方程式的计算，根据主要影响因素的变化趋势，对预测对象的未来状况进行推测。其中有回归分析法(包括线性回归分析法和非线性回归法)、马尔可夫链预测法、灰色预测法等。5.4.1回归分析法

要准确地预测，就必须研究事物的因果关系。回归分析法就是一种从事物变化的因素关系出发的预测方法。它利用数理统计原理，在大量统计数据的基础上，通过寻求数据变化规律来推测、判断和描述事物未来的发展趋势。事物变化的因果关系可用一组变量来描述，即自变量与因变量之间的关系，一般可以分为两大类:

一类是确定关系，它的特点是，自变量为已知时就可以准确地求出因变量，变量之间的关系可用函数关系确切地表示出来;

另一类是相关关系，或称为非确定关系，它的特点是虽然自变量与因变量之间存在密切的关系，却不能由一个或几个自变量的数值准确地求出因变量，在变量之间往往没有准确的数学表达式，但可以通过观察，应用统计方法，大致地或平均地说明自变量与因变量之间的统计关系。所谓回归预测,是指在相关分析的基础上,把变量之间的具体变动关系模型化,求出关系方程式,找出一个能够反映变量间变化关系的函数关系式,并据此进行估计和推算。通过回归预测,可以将相关变量之间不确定、不枧则的数量关系一般化、规范化,从而可以根据自变量的某一个给定值推断出因变量的可能值(或估计值)。5.4计算模型预测法5.4计算模型预测法5.4.1回归分析法1.一元线性回归法

比较典型的回归法是根据自变量x与因变量y的相互关系，用自变量的变动来推测因变量变动的方向和程度，其基本方程式是：式中：y—因变量；

x—自变量；a，b——回归系数。

进行一元线性回归，应首先收集事故数据，并在以时间为横坐标的坐标系中，画出各个相对应的点，根据图中各点的变化情况，就可以大致看出事故变化的某种趋势，然后进行计算，求出回归系数a、b，这样就可以得到线性方程（5-12）的具体表达式。5.4.1回归分析法1.一元线性回归法式中：y—因变量，为事故数据；

x—自变量，为时间序号；

n—事故数据总数。

回归系数a、b是根据统计的事故数据，通过以下方程组来决定的。a和b确定之后就可以在坐标系中画出回归直线。5.4.1回归分析法1.一元线性回归法在回归分析中，为了了解回归直线对实际数据变化趋势的符合程度的大小，还应求出相关系数r。其计算公式如下:

相关系数r=1时，说明回归直线与实际数据的变化趋势完全相符;r=0时，说明x与y之间完全没有线性关系。

在大部分情况下,。这时，就需要判别变量x与y之间有无密切的线性相关关系。一般来说，r越接近1，说明x与y之间存在着的线性关系越强，用线性回归方程来描述这两者的关系就越合适，利用回归方程求得的预测值就越可靠。通常

时，认为两个变量有很强的线性相关性。

时间顺序x死亡人数yx2xyy213013090022444856731895732444161616512256014468364864722491544848106480100913811171691051005025∑x=55∑y=146∑x2=385∑xy=657∑y2=2802表3-1某矿务局近10年来顶板事故死亡人数统计Ex1线性回归预测法：顶板事故死亡统计(1/4)表3-1是某矿务局近10年来顶板事故死亡人数的统计数据。将表中的数据代入上述方程便可求出a和b的值。即：回归直线的方程为：在坐标中画出回归线，如图3-3所示。Ex1线性回归预测法：顶板事故死亡统计(2/4)y=24.3-1.77xEx1线性回归预测法：顶板事故死亡统计(3/4)该分析计算还缺少什么？Ex1线性回归预测法：顶板事故死亡统计(4/4)将表3—1中的有关数据代入,即Ex2线性回归预测法：企业伤亡事故预测

表6.2是某企业1998-2005工伤事故死亡人数的统计数据，试用一元线性回归方法建立起预测方程。Ex2线性回归预测法：企业伤亡事故预测解：将表中数据代人可求出回归a和b的值，即:故回归直线的方程为:在坐标系中画出回归直线Ex2线性回归预测法：企业伤亡事故预测解：将表中相关数据代入可得:5.4计算模型预测法5.4.1回归分析法2.一元非线性回归法

在回归分析法中，除了一元线性回归法外，还有一元非线性回归分析法，多元线性回归分析法、多元非线性回归分析法等。非线性回归的回归曲线有多种，选用哪一种曲线作为回归曲线，则要看实际数据在坐标系中的变化分布形状，也可根据专业知识确定分析曲线。非线性回归的分析方法是通过一定的变换，将非线性问题转化为线性问题，然后利用线性回归的方法进行回归分析。根据专业知识和使用的观点，这里仅列举一种非线性回归曲线—指数函数。5.4计算模型预测法5.4.1回归分析法2.一元非线性回归法

xya０xya０xy０xy【例5-5】某企业某年每个月的工伤人数的统计数据见表5-7，用指数函数y=aekx进行回归分析(保留三位有效数字)(课本P167)。2、一元非线性回归法2、一元非线性回归法【例5-5】2、一元非线性回归法【例5-5】

r=-0.87，说明用指数曲线进行分析，在一定程度上反映了该矿工伤人数的趋势。

根据过去的事故变化情况和事故统计数据，进行回归分析，应用得到的回归曲线方程，可以预测判断下一阶段的事故变化趋势，以指导下一步的安全工作。

计量模型预测法中还有一种投入产出法，由于这些方法与安全状况预测的关系不大，所以在这里不作介绍。事故预测回归曲线5.4.2马尔可夫链预测法1.马尔可夫过程

状态：当系统由一组确定的变量值来描述的时候，就说系统处于一个状态。状态转移：在事件的发展过程中，系统从一种状态转移到另外一种状态，称为状态转移。或者说当系统的变量从一个特定值变化到另一个特定值时，就表示系统由一个状态转移到另一个状态。

马尔可夫过程：若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关,或者说状态转移过程是无后效性的,则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。即：有一类事物在某种因素作用下，它们的状态发生的概率在转移过程中，第n次结果的概率规律仅取决于第(n-1)次试验的结果，第(n-1)次试验结果仅取决于第(n-2)次结果等，而与更早的结果无关。一般的设随机过程ξ(t),如果在已知时间t系统处于状态x的条件下,在时刻T(T>t)系统所处状态和时刻t以前所处的状态无关,则称ξ(t)为马尔可夫过程。从定义可知马尔可夫过程只与t时刻有关,与t时刻以前无关。或者说过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的.

这种性质称为：无后效性

5.4.2马尔可夫链预测法2.马尔可夫链

用随机变量Xn表示第n年张三的健康状况，那么张三每年的健康状况有两种情况：用ai(n)表示第n年处于状态i的概率（i=1或者2，即健康或者疾病），即ai(n)=P(Xn=i).

用Pij表示今年处于状态i，明年处于状态j的概率（i,j=1或者2，即健康或者疾病）即Pij=P(Xn+1=j|Xn=i)。

ai(n)称为状态概率，Pij称为状态转移概率（转移概率实际上是一种条件概率）。那么第n+1年的状态Xn+1只取决于第n年的状态Xn和转移概率Pij，而与以前的状态Xn-1,Xn-2,…无关。第n+1年的状态概率可以由全概率公式给出：

Xn=1健康Xn=2疾病n=0、1、2、......为年份张三在第(n+1)年处于疾病的概率张三在第(n+1)年处于健康的概率

这样一个状态随着时间的进展随机变化的链式过程就是马尔科夫链。5.4.2马尔可夫链预测法3.马尔可夫链预测法

若事物未来的发展及演变仅受当时状况的影响，即具有马尔可夫性质，且一种状态转变为另一种状态的规律又是可知的情况下，就可以利用马尔可夫链的概念进行计算和分析，预测未来特定时刻的状态。

马尔可夫链是表征一个系统在变化过程中的特性状态，可用一组随时间进程而变化的变量来描述。

如果系统在任何时刻上的状态是随机性的，则变化过程是一个随机过程，当时刻t变到t+1，状态变量从某个取值变到另一个取值，系统就实现了状态转移。而系统从某种状态转移到各种状态的可能性大小，可用转移概率来描述。马尔可夫链计算所使用的基本公式如下：设初始状态向量为：状态转移概率矩阵为：5.4.2马尔可夫链预测法3.马尔可夫链预测法

状态转移概率矩阵是一个n阶方阵，它满足概率矩阵的一般性质，即有

满足这两个性质的行向量称为概率向量。

状态转移概率矩阵的所有行向量都是概率向量；反之所有行向量都是概率向量组成的矩阵，即为概率矩阵。5.4.2马尔可夫链预测法4.马尔可夫链预测法实例（P168）

某单位对1250名接触矽尘人员进行健康检查时,发现职工的健康状况分布见表5-8。根据统计资料，前年到去年各种健康人员的变化情况如下（即转移概率值）：健康人员继续保持健康者有70%，有20%变为疑似矽肺，10%的人被定为矽肺，即：原有疑似矽肺者一般不可能恢复为健康者，仍保持原状者为80%，有20%被正式定为矽肺，即：5.4.2马尔可夫链预测法4.马尔可夫链预测法实例（P168）矽肺患者一般不可能恢复为健康或返回疑似矽肺，即状态转移概率矩阵为：试预测来年接尘人员的健康状况。解：一次转移向量：一年后健康者人数为：一年后疑似矽肺人数为：

一年后矽肺患者人数

为：

预测结果表明，该单位矽肺发展速度快，必须立即加强防尘工作和医疗卫生工作。或者：4.马尔可夫链预测法实例2某矿对2300名接触煤尘人员进行健康体检，发现职工的健康状况分布见表6.5得状态概率转移矩阵为：试预测下一年接触煤尘人员的健康状况。4.马尔可夫链预测法实例2一次转移向量:一年后健康者人数E1为:4.马尔可夫链预测法实例2一年后疑似尘肺病患者人数E2为:一年后尘肺病患者人数E3为:

预测结果表明，如果不进一步采取措施，则该矿尘肺病发展速度较快，必修立即加强个体防护和医疗卫生工作。

假设明天是否下雨仅与今天的天气(是否下雨)有关，而与过去的天气无关.假设今天下雨、明天有雨的概率为,今天无雨而明天有雨的概率为；又假设把有雨称为状态天气，把无雨称为状态天气。记表示第n天的天气状态（有雨或者无雨）。则是状态有限的马尔科夫链。求其一步转移概率矩阵；①②若，且今天有雨，求第四天有雨的概率.Ex:天气预测简单模型今下雨明有雨概率今无雨明有雨概率解①如今天下雨，明天有雨的概率一步状态概率矩阵为：②因为所以若今天无雨，第四天下雨的概率为今天下雨，明天有雨的概率今天无雨，明天有雨的概率例1.

人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8,而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，

健康与疾病

人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计,以制订保险金和理赔金的数额

若某人投保时健康,问10年后他仍处于健康状态的概率Xn+1只取决于Xn和pij,与Xn-1、Xn-2、

…无关状态与状态转移状态转移具有无后效性

120.80.20.30.7

n0a2(n)0

a1(n)1设投保时健康给定a(0),预测a(n),n=1、2…设投保时疾病a2(n)1

a1(n)0n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关3…

0.778…

0.222…

∞

7/9

2/9

0.70.770.777…0.30.330.333…

7/9

2/9

状态与状态转移120.80.20.30.710.80.220.780.221230.10.0210.80.250.180.65例2.

健康和疾病状态同上，Xn=1~健康,Xn=2~疾病p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02死亡为第3种状态，记Xn=3健康与疾病

p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1p31=0,p32=0,p33=1n0123a2(n)00.180.1890.1835

a3(n)00.020.0540.0880

a1(n)10.80.7570.7285设投保时处于健康状态，预测a(n),n=1,2…不论初始状态如何，最终都要转到状态3；一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,则对于n>k,a1(n)=0，a2(n)=0,a3(n)=1,即从状态3不会转移到其它状态。状态与状态转移00150

0.12930.0326

0.8381

5.4.3灰色预测法

对于掌握信息的完备程度，人们常用颜色做出简单、形象的描述。例如，把内部信息已知的系统称为白色系统;把信息未知的或非确知的系统，称为黑色系统;而把信息不完全确知的系统，也就是系统中既含有已知的信息、又含有未知的或非确知的信息，称为灰色系统。

灰色系统理论的任务就是挖掘、发现有用的信息，充分利用和发挥现有信息的作用，以分析和完善系统的结构，预测系统的未来，改进系统的功能。

灰色系统将一切随机变量看做是在一定范围内的灰色量,将随机过程看做是在一定范围内变化的与时间有关的灰色过程。对灰色量不是从统计规律的角度通过大样本量进行研究,而是用数据处理的方法(数据生成),将杂乱无章的原始数据整理成规律较强的生成数列,再做研究。5.4.3灰色预测法

灰色系统是邓聚龙教授提出的一种新的系统理论，利用灰色系统理论预测的主要优点是：它通过一系列数据生成方法(直接累加法、移动平均法、加权累加法、遗传因子累加法、自适性累加法等)将根本没规律的、杂乱无章的或规律性不强的一组原始数据序列变得具有明显的规律性，解决了数学界一直认为不能解决的微积分方程建模问题。

灰色系统预测是从灰色系统的建模、关联度及残差辨识的思想出发，获得关于预测的新概念、观点和方法。

将灰色系统理论用于厂矿企业预测事故，一般选用GM(1,1)模型，是一阶的一个变量的微分方程模型。5.4.3灰色预测法(1)灰色预测建模方法

设原始离散数据序列

其中n为序列长度，对其进行一次累加生成处理：则以生成新的序列为基础建立灰色预测模型：称为一阶灰色微分方程，记为GM(1,1)，式中a，u为待辨识参数。5.4.3灰色预测法(1)灰色预测建模方法设参数向量则由下式求得的最小二乘解：时间响应方程：(5-22)离散响应方程：(5-23)5.4.3灰色预测法(1)灰色预测建模方法(5-24)(5-25)式中:将

计算值作累减还原，即得到原始数据的估计值：

GM(1,1)模型的拟合残差中往往还有一部分动态有效信息，可以通过建立残差GM(1,1)模型进行修正。(2)预测模型的后验差检验可以用关联度及后验差对预测模型进行检验。记0阶残差为：式中

是通过预测模型得到的预测值。5.4.3灰色预测法(5-26)(2)预测模型的后验差检验残差均值：残差方差：(5-27)原始数据均值：(5-28)原始数据方差：(5-29)为此可计算后验差检验指标：后验差比值c:(5-30)小误差概率P:(5-31)5.4.3灰色预测法(2)预测模型的后验差检验按照上述两指标，可从表5-6中查出精度检验等级。表5-6