有限元第一章

有限元法基础教师：董纪伟力建学院力学系教学安排课时分配

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小木虫论坛教材及参考书使用教材《有限单元法》王勖成编著清华大学 出版社参考教材《有限元方法基础教程》DarylL.Logan

著伍义生吴永礼等译电子工业出版社《有限元方法编程》I.M.Smith，D.V. Griffiths著电子工业出版社《有限元分析》——ANSYS理论与应用 SaeedMoaveni著电子工业出版社《弹性力学简明教程》徐芝纶高等教育出版社

通过介绍有限元法的基本概念，理论，方法与程序，使学生能够掌握其求解力学问题的特点，解题过程，熟悉一种有限元程序，初步具备使用有限元方法解决工程设计分析问题的能力。

教学目的第1章预备知识1.1引言1.2微分方程的等效积分形式和加权余量法1.3变分原理和里兹（Ritz）法1.4弹性力学的基本方程和变分原理1.5小结——有限单元法的数学、力学基础1.1

引言1.数值计算方法概述工程问题（力学、物理等）建立一组基本方程控制微分方程边值条件常微分方程偏微分方程位移边界条件力的边界条件初始条件求解精确解近似解（数值解）（均质、边界条件简单）（1）有限差分法（2）等效积分法（包括变分法）（3）有限单元法（4）边界单元法……（1）有限差分法要点：差分微分；代替差分方程代替微分方程（代数方程）yx013hh优点：yx013hh收敛性好、程序设计简单、非线性适应好。代表性软件：FLAC缺点：当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。（2）等效积分法控制微分方程边值条件建立等效的积分方程假设未知函数整个区域内近似求解（a）加权余量法（加权残值法）（配点法、子域法、最小二乘法、力矩法、Galerkin法、等）（b）变分法

当原问题存在某个泛函时，则原问题等价于求该泛函的驻值。如：Ritz法等。特点：

在整个区域内，假设未知函数。适用于边界几何形状简单的情形。xy（3）有限单元法——加权余量法、变分法的推广。

基本思想：整个区域分成若干个单元区域离散假设未知函数在单元上由变分原理等求出单元结点上值（近似解）2.有限单元法的发展及其软件1941，Hernnikoff(赫兰尼可夫)，用格栅的集合体来表示二维、三维的结构体。——最早的离散化思想。1943，Couraut（库兰特），应用定义在三角形区域上分片连续函数和最小位能原理结合，求解了St.Venant扭转问题。1952，Langefors，在结构分析的矩阵方法方面作了大量工作。——以上属有限单元法的启蒙时期1960，Clough（克拉夫），第一次在处理平面弹性问题时，提出了“有限单元法”的名称，并为人们开绐认同。1960~1970期间，卞学璜、董平、冯康等，对有限单元法的理论基础等方面作出了卓越的贡献。——以上属有限单元法的鼎盛时期，得益于计算机技术的发展。80年代后，有限单元法基本成熟。以后的发展重点：（1）构造高精度、高效率的单元；（2）编制通用的有限元分析软件。主要有限元软件：SAP——StructureAnalysisProgramADINANASTRAN、ASKA、SAFE、MARC、ANSYS

、ABAQUS

等软件的结构：前处理器、求解器、后处理器。有限元软件的广泛应用1.2

微分方程的等效积分形式和加权余量法（加权残值法）1.2.1微分方程的等效积分形式1.工程问题的微分方程形式如：二维稳态热传导问题——已知温度的边界——具有热交换的边界——热源密度——边界上的热流——热传导系数——边界外法线方向——控制微分方程——问题的边界条件——A、B

分别表示两微分算子又如，弹性力学的平面问题（按位移求解）：——应力边界条件——位移边界条件——控制微分方程——问题的边值条件一般地情形，设未知函数向量为：其定解问题可表示为：（1.2.1

）（在边界上

）——控制微分方程——边界条件2.微分方程的等效积形式——A、B

分别表示两微分算子向量设一组与方程（1.2.1）个数相同的任意函数向量：（在域内

）（1.2.2

）（1.2.5

）显然有：式（1.2.1

）与式（1.2.5

）等价设一组与方程（1.2.2）个数相同的任意函数向量：（1.2.7）显然有：式（1.2.2）与式（1.2.7

）等价。将式（1.2.5）与式（1.2.7

）相加，有（1.2.8）——原定解问题的方程（1.2.1

）和（1.2.2

）的等效积分形式。等效积分式（1.2.8）对函数的要求：——（a）单值、（b）可积。——取决于微分算子A、B的最高阶数。若微分算子A、B的最高阶数为n，则要求函数u为Cn-1类函数。1.2.2等效积分的“弱”形式（1.2.8）——等效积分形式分部积分：C0C1C1C0对式（1.2.8）作类似的分部积分，得另一种等效积分形式：（1.2.9）式（1.2.9）中，C、D、E、F分别为分部积分后对的微分算子。——等效积分的“弱”形式式（1.2.9）的特点：（1）对函数向量u

的导数阶数降低了，而对v的导数阶数升高了；（2）对函数向量v

的连续性要求提高了；（3）对函数向量u

的连续性要求降低了；例：二维热传导问题：（1）等效积分形式：（1.2.10）式中：为任意标量函数；这里还假设上的边界条件：在选择函数时已自动满足。这类边界条件称为强制边界条件。（2）等效积分的“弱”形式：对式（1.2.10）分部积分：（1）等效积分形式：（1.2.10）（2）等效积分的“弱”形式：对式（1.2.10）分部积分：式中：边界的外法线方向关于坐标轴的方向余弦。将其代入式（1.2.10）有对于任意函数v、v，可以不失一般地设为：（1.2.12）并令：上式可表示为：0（1.2.15）——等效积分的“弱”形式（1.2.15）——等效积分的“弱”形式式（1.2.15）的几点说明：（1）未知函数（场函数）不出现在q边界积分中，说明边界条件：在q边界上自动得到满足。这类边界条件称为自然边界条件。（2）适当选取函数v，使得式（1.2.15）成为：——伽辽金（Galerkin）方程（3）与等效积分形式（1.2.10）相比较，函数的导数降了一阶。（1.2.10）1.2.3基于等效积分形式的近似方法：加权余量法（WeightedResidualMethod,WRM）也称加权残值法1.加权余量法的基本原理工程问题：（1.2.8）（1.2.9）或显然，当选取的场函数u为精确解时，上述方程将自动满足。（1）近似函数u的选取~选取近似场函数为：（1.2.16）式中：常由线性无关的函数序列组成。——试探函数（或基函数），如：三角函数、幂函数、梁函数、正交多项式（Chebychev多项式、Legendre多项式）、贝塞尔函数、克雷洛夫函数等。——待定系数子向量——由子向量构成的向量——未知函数向量，常使其满足强制边界条件和连续性要求，如：

u为位移量，则使其满足位移边界条件。如：弹性力学问题中为位移向量，可设为：——

x方向的位移——

y方向的位移——

z方向的位移对应的：——

未知节点的位移3×3阶单位矩阵（3×n个节点位移量）——

是坐标的独立函数常称为形函数（2）计算余量或残值将（1.2.16）代入定解问题的基本方程，有：——称R、R

为余量（或残值）同理，将式（1.2.16）代入：（1.2.8）（1.2.9）显然，等式右边也不会等于零。即：加权余量法的基本思想：通过适当选取待定参数ai

，使其在某种加权平均意义上，让式（1.2.8）或式（1.2.9）成立。常称为权函数。（3）加权余量法（或加权残值法）用n个规定的函数来代替等效积分式（1.2.8）中的任意函数：即取：（1.2.18）代入等效积分式（1.2.8），有（1.2.19）写成余量形式，有（1.2.20）展开式（1.2.19）或（1.2.20），有得到与向量a中元素个数相同的方程数。（1.2.19）（1.2.20）几点说明：（1）式（1.2.20）的意义：某种平均意义上等于零。通过适当选择系数向量a，强迫余量R，R在。（2）——称为权函数（向量）当微分算子A的方程数为m1，B的方程数为

m2，则（3）当n→∞时，即近似解趋近于精确解。（4）可以是任意独立的函数序列。（5）对于等效积分的“弱”形式，也可建立类似的方程：（1.2.21）2.加权余量法的基本方法——取决于权函数Wj、Wj的选取。（1）配点法（CollocationMethod）取权函数:——函数或称狄拉克函数的性质：式中：I为单位矩阵。配点法的含义：相当于简单地强迫余量在域内n个点上等于零。配点法的等效积分方程：（2）子域法（SubdomainMethod）取权函数

:子域法的含义：相当于强迫余量n个子域j

上积分等于零。子域法的等效积分方程：（3）最小二乘法（LeastSquaresMethod）设取近似解为：则，取权函数为：相当于使：取最小值。即：——得到与待定参数个数相同的方程数（4）力矩法（矩量法，MethodofMoment）对一维问题，取权函数序列：——强迫余量的各次矩等于零。——这种方法也称积分法。（5）伽辽金法（GalerkinMethod）设取近似解为：取权函数为：

其等效积分形式可表示为：（1.2.22）——代表n个向量方程（1.2.16）对式（1.2.16）取变分，有：

是互相独立的参数向量，∴式（1.2.22）可表示变分形式：（1.2.23）（1.2.24）或：或：（1.2.24）或：

类似地，其等效积分“弱”形式可表示为：（1.2.25）

Galerkin法的几点说明：

（1）由Galerkin法得到的线性方程组，其系数矩阵为一对称阵，

便于编程求解。

为建立有限元格式（方程）的方法之一。

（2）由Galerkin法得到解，其精度较高。

（3）当问题存在一标量泛函时，Galerkin法得到的结果与变分法相同。例：用加权余量法求解以下二阶常微分方程——边界条件解：（1）选取适当的近似解，并计算域内和边界上的余量；（1）（2）（3）注意：尽量使近似解满足边界条件。取一项近似解（n=1）：（5）代入方程（1），其余量：（6）取两项近似解（n=2）：代入方程（1），其余量：（7）（8）加权余量法等效积分形式：（4）（2）选取适当的加权余量法，求解；（a）配点法一项近似解：取一个配点：x=1/2;∴所求一项近似解为：两项近似解：取两个配点：求解得：∴所求两项近似解为：

近似解的项数得越多，则解的精度越高。解得：即取：代入：（b）子域法一项近似解：取，子域=全域取权函数：代入：积分得：一项近似解为：两项近似解：取权函数：代入：求解得：两项近似解为：（c）最小二乘法将余量的二次方R2在域内的积分：通过适当选取待定系数ai，使I

达到极小。即：（9）将式（9）代入，有（10）

由此得到

n个方程，可求解n个待定系数ai。

将式（10）与式（4）比较：（4）

显然有最小二乘法的权函数：一项近似解：代入式（10）：（10）积分后，解得：一项近似解为：两项近似解：代入式（10）积分，有：积分后，解得：两项近似解为：（d）力矩法一项近似解：代入式（4）：（4）求得：一项近似解为：与子域法一项近似解相同。两项近似解：权函数：代入式（4）：求得：两项近似解为：（e）伽辽金（Galerkin）法一项近似解：权函数：代入：（4）解得：一项近似解为：两项近似解：权函数：代入：（4）积分后解得：两项近似解为：讨论：——边界条件（1）（2）精确解：各种方法的近似解与精确解的比较结果：（1）两项近似解均得到了很好的精度，误差<3%;（2）Galerkin法的结果精度较高;（3）可以推断，随着选取近似解项数的增加，精度会更高;1.3

变分原理和里兹（Ritz）方法1.3.1变分原理的定义和意义1.变分原理与变分法若一连续介质问题存在一标量泛函：（1.3.1）则连续介质问题的解u一定使泛函对微小变化

u

取驻值，即，使泛函的“变分”等于零：（1.3.2）称为变分原理。由变分原理求解连续介质问题的方法称为变分法。说明：（1）要求存在某一标量泛函连续介质力学问题；

热传导问题；

流场问题；

电磁场问题等。（2）是等效积分形式的一种特殊情形。

对式（1.3.1）求变分，有

（2）是等效积分形式的一种特殊情形。

对式（1.3.1）求变分，有

（3）弹性力学中基本变分原理：

最小势（位）能原理最小余能原理平衡微分方程+力的边界条件

几何方程+位移边界条件

2.变分法的求解过程（1）选取未知函数u的近似解；（1.3.3）注意：使u满足强制边界条件。（2）将函数u的近似解代入泛函(u):~~（3）对泛函(ai

)

求变分，并令等于零；~2.变分法的求解过程（1）选取未知函数u的近似解；（1.3.3）注意：使u满足强制边界条件。（2）将函数u的近似解代入泛函(u):~~（3）对泛函(ai

)

求变分，并令等于零；~（1.3.4）由于是任意的，故上式成立时，必有：将上式表示成矩阵形式，有：其中：

得到与待定参数a的个数相等的方程组，由此可求得待定参数a。——

里兹（Ritz）法（1.3.5）特殊情形：（1.3.6）式（1.3.6）为一线性方程组。式中，K为一对称的常系数矩阵。若泛函(u)

中u及对u的导数的最高方次为二次，则称此泛函(u)为二次泛函。~~对于二次泛函(u)，有：~且此泛函(u)，可表示为：~（1.3.12）问题：（1）什么样的问题存在标量泛函

(u)?（2）如何构此标量泛函

(u)?1.3.2线性、自伴随微分方程变分原理的建立1.线性、自伴随微分算子（1）线性微分方程概念

若有微分方程：

（在域内）

（1.3.16）式中：L为微分算子

。如果算子L具有

如下性质：（1.3.17）其中，、为两常数。则称L为线性微分算子

，方程（1.3.16）

为线性微分方程。直观上看：

线性微分方程仅为的线性函数。（2）L(u)

与任意函数v的内积

：定义：（1.3.18）为L(u)

与v的内积，也常表示为（3）自伴随微分算子

将

分部积分，直至对u的导数消失，可得到：（1.3.19）式中：为转化后的内积，为伴随有边界项。称：L*为L的伴随算子，若：L*=L，则称L是自伴随算子。为线性、自伴随微分方程。（在域内）

（1.3.16）同时，称线性微分方程：例：证明算子：是自伴随的。构造内积，并分部积分：例：证明算子：是自伴随的。构造内积，并分部积分：比较等式左右的两内积表达式，显然有故算子L是自伴随的。2.泛函

(u)的构造设：（在域内）

（在边界上）

——线性、自伴随的由加权余量法的Galerkin变分形式：（1.2.24）（1.3.20）将式（1.3.20）代入2.泛函

(u)的构造设：（在域内）

（在边界上）

——线性、自伴随的由加余量法的Galerkin变分形式：（1.2.24）（1.3.20）（1.3.21）利用原方程的线性、自伴随性质，有分部积分：代入上式，有2.泛函

(u)的构造设：（在域内）

（在边界上）

——线性、自伴随的由加余量法的Galerkin变分形式：（1.3.20）（1.3.21）利用原方程的线性、自伴随性质，有代入式（1.3.21）（1.3.22）2.泛函

(u)的构造设：（在域内）

（在边界上）

——线性、自伴随的由加余量法的Galerkin变分形式：（1.3.20）（1.3.21）其中：（1.3.23）结论：（1）对于线性、自伴随微分方程，一般都存在一标量泛函（u）,原微分方程的边值问题等价于该泛函（u）取驻值，即：（2）对于线性、自伴随微分方程，其等效积分的Galerkin形式等价于该泛函（u）的变分等于零，即：（u）取驻值。3.泛函

(u)的极值性等价于泛函（u）取驻值：极大值；极小值；不定——取决于泛函（u）的特性强制边界条件与自然边界条件：若算子L为偶数（2m）阶的，即对于2m阶的微分方程：对（在域内）

（在边界上）

含0~m-1

阶导数的边界条件，称为强制边界条件。含m~2m-1

阶导数的边界条件，称为自然边界条件近似解应事先满足。（u）极值性：例：二维热传导问题：（2）研究其极值性。（1）解：试：（1）建立它的泛函；原问题的Galerkin等效积分（变分）形式可表示为：——强制边界条件——自然边界条件分部积分：（1）同理，得：代入：（1）对照变分原理：得到：（2）（2）对上式求二阶变分：二阶小量得到，在时，泛函（）取极小值。1.3.3里兹（Ritz）法1.基本思想从满足强制边界条件的一族假定解：中，寻求满足泛函变分原理的“最好的”解。2.里兹法的求解步骤（1）由原问题建立变分原理，求得泛函

(u)；（2）选取适当的试探函数；（3）由得到一组代数方程，并求解。——强制边界条件例：用Ritz法求解以下二阶常微分方程（1）（2）解：（1）建立变分原理，求原问题的泛函

(u)；（3）（4）代入式（4），有（4）代入式（4），有得到：（5）（2）选取试探函数，建立里兹法方程求解（2）选取试探函数，建立里兹法方程求解（1）选取一项多项近似解——满足强制边界条件代入式（5），得（5）由（a）=0，得所求近似解为：说明：此解同Galerkin法的一项近似解。当存在变分原理时，变分法（Ritz法）与Galerkin法结果相同。（2）选取近似解为：（5）使其满足强制边界条件：显然，满足：由此求得：代入式（5）：所求解为：——与精确解相同例：一端固定，另一端自由的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，分别承受均匀分布载荷q、集中力P

的作用，如图所示。若用Ritz法（或最小势能原理）求解，试解：（1）构造两种形式的挠度近似函数（三角函数形式、多项式）；（2）在上述中，任选一种求梁的挠度（取一项待定系数）。（1）构造挠度近似函数w（x）；三角函数形式：——强制边界条件——自然边界条件多项式形式：（2）求梁的挠度（取一项待定系数）；该梁的能量泛函：取一项多项式近似解：代入泛函式，得：建立里兹（Ritz）法方程求解：所求近似解：3.里兹（Ritz）法的收敛性要求设原问题存在一标量泛函：满足强制边界条件的近似解为：当n→∞时，近似解收敛于精确解的条件：（1）为一完备的函数序列；（2）应满足Cm-1类函数的连续性要求。其中：m

为泛函（）中最高的微分阶数。1.4

弹性力学的基本方程和变分原理1.4.1弹性力学基本方程的矩阵形式1.基本量应力：位移：应变：体力：面力：或：或：或：2.基本方程（1）平衡微分方程：其中：（2）几何方程：（3）物理方程：——弹性矩阵若令：——拉梅（Lam’e）系数其中：——柔度矩阵（4）应力边界（S）条件：——边界外法线方向余弦矩阵（5）位移边界（Su）条件：（6）弹性体的应变能与余能单位体积的应变能（应变能密度）：——正定函数单位体积的余能（余能密度）：——正定函数在线性弹性力学中，有1.4.2弹性力学基本方程的张量形式1.基本量的张量表示应力：应变：——二阶对称张量位移：体积力：面力：——一阶张量——二阶对称张量2.基本方程的张量表示平衡微分方程：（在域V内）Oxyz(x1)(x2)(x3)——表示对坐标

xj

的导数上述方程展开，有几何方程：（在域V内）物理方程：（在域V内）——四阶张量（共有34=81个分量，即有81个弹性常数）由于的对称性，因而有对于等温、绝热的变形过程，有此时独立的弹性常数为21个。进一步对各向同性的线弹性材料，独立的弹性常数只有2个。如拉梅常数G、

或弹性模量E、泊松比，此时弹性张量为：——线弹性材料的物理方程其中：将上式展开，有物理方程的另一种形式：——柔度张量应力边界条件：（在边界S上）——边界外法线的方向余弦位移边界条件：（在边界Su上）应变能和余能：应变（比）能：余（比）能：1.4.3平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式——虚功原理变形体的虚功原理：即：体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功之和等于零。虚功原理：虚位移原理：虚应力原理：以平衡方程和力的边界条件得到的等效积分“弱”形式，反应体系内外力在虚位移上作功的关系。以几何方程和位移的边界条件得到的等效积分“弱”形式，反应虚应力在实际位移上作功的关系。（1）虚位移原理：（在域V内）（在边界S上）（在域V内）（在边界S

上）取权函数：（在域V内）（在边界S

上）其等效积分形式：（1.4.39）即：取真实位移函数

u的变分为权函数，有（在Su上）（在域V内）对第一项分部积分：（外力在虚位移上作的虚功）（内力在虚应变上作的虚功）——

以平衡方程和力的边界条件的等效积分“弱”形式矩阵形式：（1.4.41）（1.4.42）虚位移原理的表述：若力系是平衡的，即：（在域V内）（在S上）则它们在虚位移和虚应变上所作的功之和等于零。——力系平衡的充分和必要条件说明：（1）ui

须满足边界条件：ij

须满足变形协调条件：（在Su上）（在域V内）（1.4.39）对第一项分部积分：0代入式（1.4.39）,有（1.4.40）（1.4.41）说明：（1）ui

须满足边界条件：ij

须满足变形协调条件：（2）∵未涉及物理方程，∴虚位移原理也可用于非线性问题。（2）虚应力原理：（在域V内）（在边界Su上）（在域V内）（在边界S

上）取权函数：（在域V内）（在边界S

上）即：取真实的应力与外力

的变分为权函数（在S上）（在域V内）（满足平衡微分方程）等效积分形式：（1.4.43）等效积分形式：（1.4.43）分部积分：00代入式（1.4.43）：代入式（1.4.43）：（1.4.45）（虚应力在实应变上作的虚功）（虚面力在实位移上作的虚功）矩阵形式：（1.4.46）虚应力原理的表述：——

以几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式若位移是协调的（内部满足几何方程，边界上满足位移边界条件）则虚应力（内部满足平衡方程，边界上满足应力边界条件）和虚边界面力在实位移上所作的功之和等于零。——位移和变形协调的充分和必要条件说明：（1）（1.4.45）（2）∵未涉及物理方程，∴虚应力原理也可用于非线性问题。（在S上）（在域V内）（满足平衡微分方程）1.4.4线弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理：自然变分原理：约束变分原理：最小位能（势能）原理胡海昌-鹫津久广义变分原理（第8章）（1.4.45）（1.4.41）——虚位移原理——虚应力原理平衡微分方程力的边界条件几何方程位移边界条件建立变分原理寻求相应的泛函，使得：最小余能原理Hellinger-Reissner混合变分原理1.最小位能（势能）原理：（1.4.41）——虚位移原理由物理方程：代入上式，有为对称张量，有（1.4.47）（1.4.48）——变形位能的变分（为体力势能）（为面力势能）——外力势能的变分将其代入式（1.4.47）将变分与积分交换，有（1.4.51）（1.4.50）——系统的总位（势）能，等于弹性体变形位能与外力位能的和最小位（势）能原理：在所有满足几何方程、位移边界条件的可能位移中，真实位移使系统的总位（势）能取驻值。且可证明，此驻值为最小值。设可能位移为：计算其位能泛函P：（1.4.53）0上述表明：——真实位移使系统的总位能泛函P取最小值2.最小余能原理：由虚应力原理：（1.4.45）几何方程位移边界条件由物理方程：代入（1.4.45）,有（1.4.58）——应变余能的变分（1.4.59）代入式（1.4.58）：其中：——外力余势能的变分——系统的总余能（变形余能与外力余的和）（1.4.61）最小余能原理：在所有满足平衡方程、力和边界条件的可能应力中，真实应力使系统的总余能取驻值。且可证明，此驻值为最小值。（1.4.60）取最小值的证明：取可