有限元分析基础

材料成型计算机应用软件杨敏手机-mail:miny@第一章有限元分析理论基础第二章ANSYS基本使用方法第三章梁、支架结构的静力线性分析第四章平面问题静力线性分析第五章板、壳类结构静力线性分析第六章三维实体结构静力线性分析第七章结构静力非线性分析第一章有限元分析理论基础1.有限元分析基础知识有限元是一门以结构力学和弹性力学为理论基础，以计算机为媒体，以有限元程序为主体，对大型结构工程的数值计算方法。有限元法：利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。目的：在工程设计阶段分析应力和应变是否满足工程的要求。物理系统举例

几何体

载荷

物理系统结构热电磁真实系统有限元模型有限元模型

有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。定义自由度（DOFs）自由度(DOFs)

用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs结构 位移热

温度电 电位流体压力

磁 磁位方向 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ节点和单元(1)节点:

空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。单元:

每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。载荷载荷直齿圆柱齿轮轮齿应力分析（a）有限元模型（b）最大切应力等应力线3维实体的4面体单元划分平面的三角形单元划分3维实体的6面体单元划分单元（element)：网格。节点(node)：网格间相互联结交点。边界(boundary)：网格与网格的交界线。节点和单元(2)信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递

...AB........AB...1node2nodes有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目简单单元的组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散单元进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析。外力：作用在物体外部的力。（重力等）内力：在外力作用下，物体内部不同部分之间的相互作用力。物体横截面上的合力。位移：在外力作用下物体的整体变形量。杆件：长度远远大于横截面高度的构件。结构力学：研究由许多杆件组成的杆系的内力，位移。材料性质的简化：一般均假设为连续、均匀、各向同性、完全弹性或弹塑性。1.1、力学基本概念的介绍应力：物体横截面上单位面积上的内力。应力=内力/横截面面积应变：单位长度上的位移。应变=位移/构件长度弹性阶段：去除外力物体还能恢复到外力作用前的形状。例：弹簧弹塑性阶段：去除外力物体不能恢复到外力作用前的形状。例：拉面弹性力学：研究非杆件（板，壳等）物体在弹性阶段的应力，应变。例：黑板，鸡蛋壳板：厚度不大于宽度十分之一的构件。膜：厚度不大于宽度100分之一的结构。强度：物体能够承受的最大应力。（用于校核结构的安全性）刚度：物体产生的最大位移。（用于校核结构的适用性）有限元分析(FEA，FiniteElementAnalysis)即使用有限元方法来分析静态或动态的物体或系统。1.1.1结构的简化1)支座的简化(1)活动铰支座（滚轴支座、辊轴支座）FAAAAFAy

结构的约束，自由度(2)固定铰支座（不动铰支座）FAFAyFAxAAAAFAy

FAx(3)固定支座(4)定向支座（滑动支座，双链杆支座）AAAMAFAxFAyFAyMAMA2)结点的简化(1)刚结点：其变形特征和受力特点是，汇交于结点的各杆端之间不能发生相对转动；刚结点处不但能承受和传递力，而且能承受和传递力偶。A角度

不变

FAyFAyFAxFAxMAMA(2)铰结点：其变形特征和受力特点是，汇交于结点的各杆端可以绕结点自由转动；在铰结点处，只能承受和传递力，而不能传递力偶。FAyAFAyFAxFAxA角度可变(3)组合结点（又称不完全铰结点或半铰结点）：在同一结点上，部分刚结，部分铰结。组合结点

A3)荷载与变形：

静力载荷、动力载荷，表面载荷、内载荷，分布载荷、集中载荷，内力、位移，应力、应变等。

1).

静力荷载：其大小、方向和位置不随时间变化或变化极为缓慢，不会使结构产生显著的振动，因而可略去惯性力的影响。恒载以及只考虑位置改变而不考虑动力效应的移动荷载都是静力荷载。

2).

动力荷载：随时间迅速变化的荷载，使结构产生显著的振动，因而惯性力的影响不能忽略，如往复周期荷载（机械运转时产生的荷载）、冲击荷载（爆炸冲击波）和瞬时荷载（地震、风振）等。桁架：桁架由直杆组成，所有结点都为理想铰结点。当仅受结点集中荷载作用时，其内力只有轴力（拉力和压力）。

1.1.2基本结构单元1)杆单元 二力杆单元位移、力，自由度2)梁单元 位移、力（力矩）自由度梁：梁是一种受弯构件，其轴线通常为直线。梁有单跨的和多跨的。其内力一般有弯矩和剪力，以弯矩为主。3)刚架单元刚架：刚架由梁和柱组成，结点多为刚结点。其内力一般有弯矩、剪力和轴力，以弯矩为主。

位移、力（力矩）自由度三节点三角形单元4)平面问题单元单元形状、节点数目、节点自由度3)空间单元20节点6面体单元1.2有限元法分析计算的思路和步骤：1.2.1物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步又称作单元剖分或网格划分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。单元划分后，有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的由众多单元以一定方式联接成的离散物体。用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近似

(不理想结果).2节点单元DOF值二次分布..1节点单元线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.....3网格划分的好坏将直接影响到计算结果的准确性和计算进度，甚至会因为网格划分不合理而导致计算不收敛。网格的划分主要取决于专业知识和经验积累。一个水平高的FEA工程师，80%的时间是用在网格划分上。对于一般的问题，各种FEA软件均能自动的进行合理的网格划分。Hypermesh是目前最好的划分网格工具。1.2.2单元特性分析1）选择求解方法节点位移法是选择节点位移作为基本未知量的求解方法；节点力法是选择节点力作为基本未知量的求解方法；混合法是取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量的求解方法。位移法易于实现计算自动化，因而在有限单元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体与结构物离散化之后，就可把单元中的一些物理量如：位移、应变和应力由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数予以描述，通常，有限元法中我们将位移表示成坐标变量的简单函数，这些函数就成为位移模式或位移函数。2）分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。节点位移节点力取决于材料性质、形状、尺寸qq3）计算等效节点力：将外在的负载力等效到各个节点上。物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。弹性体有限元模型1.2.3单元组集利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程。对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出节点位移，这个过程为整体分析。i节点的节点力：i节点的平衡方程：集中力单元节点力将所有单元组合起来得到整体的方程：[K]{q}={F}

[K]——整体刚度矩阵；{q}——全部结点位移组成的列阵；{F}——全部结点荷载组成的列阵。

在位移法中，只有{δ}是未知的，求解该线性方程组就可得到各结点的位移。将结点位移代入相应方程中可求出单元的应力分量。有限元法不仅可以求结构体的位移和应力，还可以对结构体进行稳定性分析和动力分析。例如，结构体的整体动力方程：

[M]{q}+[C]{q}+[K]{q}={F}

[M]——整体质量矩阵；[C]——整体阻尼矩阵；[K]——整体刚度矩阵；{q}——整体结点位移向量；{F}——整体结点荷载向量。

求出结构的自激振动频率、振型等动力响应，以及动变形和动应力等。1.2.4求解未知节点位移可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。传统有限元分析的数值计算方法之中，有直接计算法（DirectSolver）与迭代法（Iterative）两种。由于在过去的经验中，迭代法一直无法直接而有效的保证数值计算的收敛性，因此，直接计算法在多数有限元分析软件中，仍然是一种主流的计算方法。1.2.5有限元法的过程2

结构静力分析的有限元单元法2.1.1直接方法直接方法是直接应用物理概念来建立单元的有限元方程和分析单元特性的一种方法。这种方法仅能用于简单形状单元，如梁单元。2.1单元特性的导出方法找出所划分的单元的刚度矩阵。一般说来，建立刚度矩阵的方法有：1）直接方法；（2）虚功原理法；（3）能量变分原理法；（4）迦辽金法。平面钢架和它的计算模型EI:梁的抗弯刚度；A:截面面积。对于平面弯曲问题，每个点处的位移有两个，即挠度和转角，相应的节点力有剪应力和弯矩。对图(b)所示的支承点I,j它们的节点位移和节点力可分别写成：vi

、θzi、vj、θzj和Fyi、Mzi、Fyj、Mzj。写成矩阵形式为：qe=[vi

θzivjθzj]Tfe=[FyiMziFyjMzj]FyiMziFyjMzjk11k12k12k14k21k22k22k24k31k32k32k34k41k42k42k44vyiθzivjθ

zj=fe=KeqeKe称为单元刚度矩阵。单元刚度矩阵中任一元素kij表示j号自由度对i号节点力的贡献。由功的互等定理有kij=kji，单元刚度矩阵是对称的对上面的平面弯曲问题，可以计算出各kij的数值。假设：Vi=1,θzi

=vj=θzj=0Vi=Fyil3/(3EI)-Mzil2/(2EI)=1θzi=-Fyil2/(2EI)+Mzil/(EI)=0Fyi=12EI/l3=k11,Mzi=6EI/l2=k21Fyi=-Fyj,Mzj=Fyil-Mzi得Fyj=-12EI/l3=k31,Mzj=6EI/l2=k41假设：θzi=1,Vi=vj=θzj=0同理可得K12=6EI/l2k22=4EI/lk32=-6EI/l2K42=2EI/l类似地可求得K13=-12EI/l3k23=-6EI/l2k33=12EI/l3K43=-6EI/l2K14=6EI/l2k24=2EI/lk34=-6EI/l2K44=4EI/l

126l-126l

6l4l2-6l2l2Ke=EI/l3-12-6l12-6l6l2l2-6l4l2再考虑单元的梁端轴向位移和梁端轴向力关系，有：Fxi=（EA/l）ui-（EA/l）ujFxj=-（EA/l）ui+（EA/l）uj2.1.2虚功原理法以平面问题的三角形单元为例，说明其方法步骤。1）设定位移函数设三节点三角形单元内的位移函数为：d（x,y)=[u(x,y)v(x,y)]T

它是未知的。当单元很小时，单元内一点的位移可以通过节点的位移插值来表示。假设单元内的位移为x,y的线性函数，得u(x,y)=a1+a2x+a3yV(x,y)=a4+a5x+a6yui=a1+a2xi+a3yivi=a4+a5xi+a6yiuj=a1+a2xj+a3yjvj=a4+a5xj+a6yjuk=a1+a2xk+a3ykvi=a4+a5xk+a6ykuiviujvjukvk为了能用单元节点位移qe表示单元内某点位移d,即把d(x,y)表达成节点位移插值函数的形式，应解出a=C-1q

e。用矩阵求逆法求出A是三角形的面积

1xi

yi2A=1xjyj

=(xj-xi)(y

k-yj)-(x

k-xj)(y

j-yi)1xkykai=xjyk-xkyjaj=xkyi-xiykak=xiyj-xjyibi=yj-ykbj=yk-yibk=yi-yjci=xk-xjcj=xi-xkck=xj-xi为不使A为负值，i,j,k

的顺序必须按逆时针方向标注。把a的表达式代入得Ni0Nj0Nk00Ni0Nj0Nk

d=NqeNi=(ai+bix+ciy)/2ANj=(aj+bjx+cjy)/2ANk=(ak+bkx+cky)/2A2）由位移函数求应变由弹性力学可知3）根据虎克定律，通过应变求应力4）由虚功原理求单元的刚度矩阵虚功原理：当结构受载荷作用处于平衡状态时，在任意点给出的节点虚位移下，外力（节点力）Fe及内力σ所作的虚功之和应等于零，即：δWF+δWσ=0设单元节点上任意虚位移为：单元内各点相应的虚位移为δu,δv和虚应变为：单元节点力的虚功：内力虚功：V-单元体积。代入B及D，得平面应力问题三角形单元刚度矩阵为：2.2

用三角形单元进行静力分析的实例例：如图所示的一平面墙梁。载荷沿梁的上边均匀分布，其单位长度上的均布载荷p=100N/cm，假定μ=0，墙梁的厚度t=0.1cm。在不计自重情况下，试求其位移和应力。1)单元划分图中节点3，4处于墙梁的对称轴线上，由于结构与受力的对称性，节点3，4在x方向无位移。作用在上边的均布载荷转移到1，4节点上，其值为300N。2）计算单元刚阵对于单元1对于单元23）组成整体刚度矩阵（或总体刚度矩阵）按节点位移序号组成整体结构的刚度矩阵4）边界条件处理对称轴上u3=u4=0；u2=ν2=0;刚度矩阵缩减为：节点力列阵f=[0-30000000-300]T缩减为fr=[0-3000-300]T5)线性方程组的建立与求解将fr，Kr之值代入fr=Krqr，得6)单元应力分量的计算单元的应力公式为：对单元1对单元28）单元应力分量的计算单元的应力公式为：7）线性方程组的建立与求解将fr，Kr之值代入fr=Krqr，得3有限元分析方法的发展历史在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件MSC-NASTRAN软件在航空航天领域有着很高的地位，目前世界上规模最大的有限元分析系统。ANSYS软件致力于耦合场的分析计算，能够进行结构、流体、热、电磁四种场的计算。ADINA由于其在非线性求解、流固耦合分析等方面的强大功能，迅速成为有限元分析软件的后起之秀，现已成为非线性分析计算的首选软件。4国际上有限元分析方法的发展趋势

4.1

与CAD软件的无缝集成许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。有些CAE软件为了实现和CAD软件的无缝集成而采用了CAD的建模技术，如ADINA软件由于采用了基于Parasolid内核的实体建模技术，能和以Parasolid为核心的CAD软件（如Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks）实现真正无缝的双向数据交换。4.2更为强大的网格处理能力(技术难题，关键步骤)有限元法求解问题的基本过程主要包括：分析对象的离散化、有限元求解、计算结果的后处理三部分。结构离散后的网格质