数理经济学微观部分第五章风险选择

第五章风险选择5.1期望效用5.2风险厌恶5.3随机优势第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择5.1

期望效用个体在作出选择或决策时，常常不能确定其结局或后果，其中包含风险的选择，叫做风险选择.例：选择某人代购车票，不能保证卧铺还是坐票；选购证券，不能确切预知一年后的收益.

选择理论中，研究风险选择，首要解决其选择集.数学上，风险选择对应随机变量，因而其选择集是由某些随机变量构成的集合L

.个体在L

选择某个L,如同购得一张具有不确定性的彩票，因而就称L中的元素为彩票.假定L对于凸组合封闭，即若L,≥0(1≤≤K,则有意义且L.满足以上条件的随机变量之集L

称为一个彩票空间.

5.1.1彩票与偏好第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择设L

是取值n=1,2,…,N的离散随机变量之全体，每个LL完全决定于其分布列(,

,…,

).n=1,2,…,N可解释为N个可能的状态，而则是状态n朝鲜的概率.几何上，每个LL

可看做N-1维标准单纯形上一点，因而称LL

为单纯彩票.L作为一个凸集，自然对凸组合封闭.L的N个顶点e1，

e2，…

表示N个不包含风险的退化彩票.

1.单纯彩票3第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择2.货币彩票

设L

是取值于R上的随机变量之全体，每个LL

完全决定于其分布函数通常就以F(.)表示L,并称之为货币彩票.若个体选择FL

,则其“货币”收益将在均值上下随机摆动，除非随机变量退化为确定地取值X的量，这意味着单纯彩票适于作为解释理论的具体模型；货币彩票对于金融证券理论等应用经济课题有重要的价值.

第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择定义5.1若对任给,

,L

,集

与

均为闭集，则说满足连续性公理，或简单地说是连续的.若对任给,

,L

，（0,1），有

，（5-1）

则说满足独立性公理，或简单说是独立的.

第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择

独立性是更值得注意的假设,它在整个风险选择理论中处于中心地位.在几何上,独立性意味着:等价于,对某个(所有）L,三角形中某条(所有)平行于的线段之两端有关系(如图).当.

第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择命题5.1设满足独立性公理,,则有：

1.

2.

设，.

则

若，至少对一个有，>0，

则.

3.关于的上围道集、下围道集与无差别集皆为凸集，因而是凸性的.

4.

是序保持的.

第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择定义5.2

若的一个效用表示

（5-2）

其中,,

L,则称为的期望效用函数（N-M效用）.

推广恒等式（5-3）

设L是单纯彩票之空间，每个L可唯一表示成

{}是L的顶点集.若为一个效用函数，令

（5-4）

5.1.2期望效用第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择设L是货币彩票之空间，的连续期望效用函数，

U(F)是成为偏好的效用函数.定理5.1设是L

上的理性偏好.则有期望效用表示当且仅当满足连续性公理与独立性公理；

的任何两个期望效用表示可通过一个线性增函数互相交换.

（5-5）第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择证明：1.定义函数约定.定义

，

L（5-6）

因恒有=

可得到

（5-7）

结合式（5-7）与的序保持性易得出，

可见是的效用表示

2.设

，

由（5-7）与命题5.1有

,得到

第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择3.若是的另一个期望效用表示，则有

=

表明可通过线性增函数从变换出来

采取期望效用的理由：分析上有优势；符合人们的直觉.

第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择悖论设奖金1，2，3分别为250，50,0，

,

，

，

明显(宁愿保险的拿到50元，而不愿仅以0.1的概率去获得250元)，（以0.1的概率获得250元自然胜过以0.11的概率拿到50元）.如果这样的偏好有期望效用表示

；

.

以上两式明显互相矛盾.

第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择若,则式（5-11）简化成

定理5.2（广义期望效用定理）若L上的理性偏好满足连续性与独立性公理，则存在效用函数

（5-11）第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择5.2.1风险厌恶的刻画

定义5.3任给L

,约定，.

若L

,有

，则说（或选择者）是风险厌恶的；

若L,有，除非

，则说是严格风险厌恶的；

若L,有，则说是风险中性的.

5.2风险厌恶14第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择任给L,,,令

；（5-14）

（5-15）

式（5-14）等价于

（5-16）

式（5-16）又相当于,即确定地得到收益与选择彩票无差别，因而称为的确定性等价.可解释为图中线段CD与线段AB之比，称为概率溢价.

第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择命题5.2以下条件互相等价

1.

是风险厌恶的

2.

是凹函数

3.

,

4.

0（

）

第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择5.2.2风险厌恶的测定

定义5.4对任给，令，

（5-19）

两者分别称为绝对风险厌恶系数与相对风险厌恶系数，前者也称为

说明：1.

实际上完全决定于而与其期望效用表示的选择无关;2.

完全确定了偏好，从而完全刻画了选择者的选择行为.

（5-20）

利用风险厌恶系数，可比较两个不同个体的风险厌恶程度.

第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择命题5.3(定理)设风险厌恶者以为效用函数，

,

.则以下条件互相等价：

1.

2.

；

3.

4.

，是某个凹函数

当以上条件满足时说2的风险厌恶大于1.

第五章风险选择5.2.3

应用举例第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择

仍设

是货币彩票之空间，但限定每个F

满足

F(0)=0，F()=1，（5-21）

5.3.1一阶随机优势

定义5.5设,.若对任何增函数有

(5-22)

则说对于有一阶随机优势或一阶随机占优.

若以为效用函数，则选择的效用不低于选择的效用.因此，当对于有一阶随机优势时，任何选择者都会认为不比差，因而对于的优势是其本身所固有的，而与选择者无关.在式中取得.不过，均值的优势对于一阶随机优势并不是充分的.

5.3

随机优势第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择命题5.4设,

.则对于有一阶随机优势

（即）.

证：若，0充分大，则对任何增函数有

第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择第五章风险选择5.3.2二阶随机优势

定义5.6设,

.若，且对任何单调增的凹函数：

不等式（5-22）成立，则说F对于G有二阶随机优势或二阶随机占优.

直观上，F对于G有二阶随机优势意味着尽管均值相等，但任何风险厌恶者倾向于选择F，因而可以认为F有较小的风险.当在式（5-22）中取得出

可见F有较小的方差.在统计平均的意义上，选择F将更