数学期望离散

第二章离散型随机变量一维随机变量及其分布列多维随机变量及边际分布列随机变量函数的分布列数学期望的定义及性质方差的定义及性质条件分布与条件数学期望内容回顾一维离散型随机变量函数的分布列设（XY）为二维离散型随机变量，z=f(x,y)为一连续函数，则Z=f（X，Y）是一维离散型随机变量Z的所有可能取值由X，Y的取值及f（x,y）而定Z取某个值的概率为X，Y取某些值的概率之和

二维离散型随机变量函数的分布

设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下引例

射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数

k命中次数频率用算术平均数表示射手的平均得分？分析射击问题这是加权平均数，能表示射手的射击水平？若让该射手再射击N次，平均值是否会改变？如何找一个反映射手射击水平的量呢？加权平均的稳定值？当试验次数充分大时，随机事件发生的频率稳定于事件的概率.解平均射中环数

平均射中环数频率随机波动随机波动随机波动

稳定值

“平均射中环数”的稳定值“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加数学期望加权平均数，设射手命中的环数为随机变量Y.一、问题的引入四、数学期望的性质二、离散型随机变量的数学期望三、离散型随机变量函数的数学期望本节重点五、例题与思考§2-4

数学期望定义与性质教学

内容定义２.５

若离散型随机变量可能取值为

，其分布列为,则当（２.２４）时，则称存在数学期望，并且数学期望为（２.２５）如果，则称的数学期望不存在射击问题“平均射中环数”应为随机变量Y的数学期望级数绝对收敛一、数学期望的概念关于定义的几点说明

(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.

(2)级数的绝对收敛性才保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变。因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.

(1)数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量取可能值的真正的平均值,也称均值.补充说明：

X

248……

pk②若E(X)存在，则是一个确定的实数.①E（X）不存在的例子：级数发散100页-29题-期望不存在例2

发行彩票的创收利润

某一彩票中心发行彩票10万张,每张2元.设头等奖1个,奖金1万元,二等奖2个,奖金各5千元;三等奖10个,奖金各1千元;四等奖100个,奖金各100元;五等奖1000个,奖金各10元.每张彩票的成本费为0.3元,请计算彩票发行单位的创收利润.解设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则经常遇到的实际问题可以直接计算出结果每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为简单的口答题两个常用分布的数学期望1、二项分布的数学期望解一

则重要结论-还有其它求法二项式的展开式解

2、泊松分布的数学期望重要结论-82页84页例15

分组验血问题---先自己阅读-后面讲解设随机变量X的分布列为例4二、一维随机变量函数的数学期望则有因此离散型随机变量函数的数学期望为若Y=g(X),且则有一维随机变量函数的数学期望定理2.2

若是一个离散型的随机变量,其分布列为又是实变量的单值函数,如果则有如何证明？证明用数学期望的定义证定理2.3

若是一个二维离散型的随机变量,其联合分布列为又是实变量的单值函数,如果则有自己完成证明吧！三、二维随机变量函数的数学期望(2.27)证明设其可能的取值为,于是有由数学期望的定义有由数学期望的定义有直接利用分布列表计算---简单概率上节例题一维随机变量的数学期望证明常数的期望是本身用定义自己验证—87页四、数学期望的性质证明性质(3)成立.证明设的联合分布和边际分布列为(绝对收敛)性质(2),(3)可推广到任意有限个随机变量的情形性质(3)要求独立.利用数学期望的性质可求复杂事件的期望.注意:小结:与前面解法比较解二

容易求出的期望为.由于由数学期望的性质例5

例题分析用性质做比前面定义求简单多了

1－p

p

P

01

解例6设

(X,Y)的分布律为数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.课堂小结课堂小结3.数学期望的性质2.常见分布的数学期望思考与练习思考题分析

一辆公共汽车上有25名乘客,每个乘客等可能地在9个车站中的任一站下车,他们下车与否相互独立.又知,公共汽车只有在有人下车时才停车，求公共汽车停车次数的数学期望