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直线与平面垂直的判定定理的两种简证时间：2021.02.09创作人：欧阳历立体几何中关于直线与平面垂直的判定定理的证明，由于构思复杂，过程繁琐，给教学带来了一定的困难.本文利用勾股定理及其逆定理给岀该定理的两种简捷证明，供参考.设g是a内的任一直线，先证明/、g都通过0点的情况.如图1,证法在直线m、n上分别取点A、B,使0A=0B,P是/上异于0的一点，连结PA、PB、AB.因为/丄m,/丄n,所以PA=P02+0A=P02+0B=PB2,因此，APAB、AOAB都是以AB为底边的等腰三角形.所以AB=2PA・cosZPAB=20A•cosZOAB・设AB与g交于C,连结PC,0C・在APAC,AOAC中，由余弦定理得：PC=PA2+AC?—2PA•AC•cosZPAOPA2+AC?—AC•AB,0C=0A2+AC?—20A•AC・cosZ0AC=0A2+AC?—AC•AB・所以PC?二(PO2+OA2)+AC2-AC-AB=P02+(0A2+AC2-AC-AB)=PO2+OC2.由勾股定理的逆定理知，P0丄0C即/丄g・证法2：过g上一点C在a内作直线分别交m、n于A、B,使得AC二CB・P是/上异于0的一点，连结PA、PB、PC.因为/丄m,/丄n,所以PA2=PO2+OA2,pb2=po2+ob2.在APAB、A0AB中，由中线定理得PA2+PB2=2(PC2+AC2)OA2+OB2=2(OC2+AC2)两式相减得(PA2—OA2)+(PB2—OB2)=2(PC2—Od)所以PO2+PO=2(PC2-OC2)po2+oc2=pc2.由勾股定理的逆定理知，P0丄0C即/丄g・如果直线人g中有一条或两条不经过点0,那么可过点0引它们的

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