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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列的前n项和为,且,则()A.4 B.8 C.16 D.22.命题:的否定为A. B.C. D.3.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B.C. D.4.已知的部分图象如图所示,则的表达式是()A. B.C. D.5.已知x,y满足不等式,且目标函数z=9x+6y最大值的变化范围[20,22],则t的取值范围()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7]6.已知函数满足=1,则等于()A.- B. C.- D.7.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾六步,股八步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是()A. B. C. D.8.已知,,,若,则()A. B. C. D.9.若向量,,则与共线的向量可以是()A. B. C. D.10.将函数的图象向左平移个单位长度,得到的函数为偶函数,则的值为()A. B. C. D.11.在复平面内,复数(,)对应向量(O为坐标原点),设,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为,则,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:,,则,由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:,已知,则()A. B.4 C. D.1612.2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为A.96 B.84 C.120 D.360二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则_______.14.已知圆柱的上下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形,则该圆柱的体积为____15.各项均为正数的等比数列中,为其前项和,若,且,则公比的值为_____.16.如图,在△ABC中,AB=4,D是AB的中点,E在边AC上,AE=2EC,CD与BE交于点O,若OB=OC,则△ABC面积的最大值为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)若函数存在零点,求的求值范围.18.(12分)在中,角的对边分别为.已知,.(1)若,求;(2)求的面积的最大值.19.(12分)已知函数(1)已知直线:,:.若直线与关于对称,又函数在处的切线与垂直,求实数的值;(2)若函数,则当,时,求证:①;②.20.(12分)在数列和等比数列中,,,.(1)求数列及的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.21.(12分)已知数列的前n项和为,且n、、成等差数列,.(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求的值.22.(10分)已知椭圆:(),四点,,,中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点,求的正切的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.2.C【解析】
命题为全称命题,它的否定为特称命题,将全称量词改为存在量词,并将结论否定,可知命题的否定为,故选C.3.A【解析】试题分析:由题意,得,解得,故选A.考点:函数的定义域.4.D【解析】
由图象求出以及函数的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后将点的坐标代入函数的解析式,结合的取值范围求出的值,由此可得出函数的解析式.【详解】由图象可得,函数的最小正周期为,.将点代入函数的解析式得,得,,,则,,因此,.故选:D.【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.5.B【解析】
作出可行域,对t进行分类讨论分析目标函数的最大值,即可求解.【详解】画出不等式组所表示的可行域如图△AOB当t≤2时,可行域即为如图中的△OAM,此时目标函数z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合题意t>2时可知目标函数Z=9x+6y在的交点()处取得最大值,此时Z=t+16由题意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选:B.【点睛】此题考查线性规划,根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围,涉及分类讨论思想,关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.6.C【解析】
设的最小正周期为,可得,则,再根据得,又,则可求出,进而可得.【详解】解:设的最小正周期为,因为,所以,所以,所以,又,所以当时,,,因为,整理得,因为,,,则所以.故选:C.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性,考查学生分析能力和计算能力,是一道难度较大的题目.7.C【解析】
利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径,再分别求出三角形和内切圆的面积,根据几何概型的概率计算公式,即可求解.【详解】由题意,直角三角形的斜边长为,利用等面积法,可得其内切圆的半径为,所以向次三角形内投掷豆子,则落在其内切圆内的概率为.故选:C.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题,其中解答中熟练应用直角三角形的性质,求得其内切圆的半径是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.8.B【解析】
由平行求出参数,再由数量积的坐标运算计算.【详解】由,得,则,,,所以.故选:B.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,考查数量积的坐标运算,掌握向量数量积的坐标运算是解题关键.9.B【解析】
先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.10.D【解析】
利用三角函数的图象变换求得函数的解析式,再根据三角函数的性质,即可求解,得到答案.【详解】将将函数的图象向左平移个单位长度,可得函数又由函数为偶函数,所以,解得,因为,当时,,故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的性质的应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换,合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.11.D【解析】
根据复数乘方公式:,直接求解即可.【详解】,.故选:D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法,解题的关键是理解棣莫弗定理,将复数化为棣莫弗定理形式,属于基础题.12.B【解析】
2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0开头的排列数共个,其中含有2个10的排列数共个,所以产生的不同的6位数的个数为.故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】试题分析:由坐标系可知考点:复数运算14.【解析】
由轴截面是正方形,易求底面半径和高,则圆柱的体积易求.【详解】解:因为轴截面是正方形,且面积是36,所以圆柱的底面直径和高都是6故答案为:【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法,是基础题.15.【解析】
将已知由前n项和定义整理为,再由等比数列性质求得公比,最后由数列各项均为正数,舍根得解.【详解】因为即又等比数列各项均为正数,故故答案为:【点睛】本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比,属于基础题.16.【解析】
先根据点共线得到,从而得到O的轨迹为阿氏圆,结合三角形和三角形的面积关系可求.【详解】设B,O,E共线,则,解得,从而O为CD中点,故.在△BOD中,BD=2,,易知O的轨迹为阿氏圆,其半径,故.故答案为:.【点睛】本题主要考查三角形的面积问题,把所求面积进行转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)或;(2).【解析】
(1)通过讨论的范围,将绝对值符号去掉,转化为求不等式组的解集,之后取并集,得到原不等式的解集;(2)将函数零点问题转化为曲线交点问题解决,数形结合得到结果.【详解】(1)有题不等式可化为,当时,原不等式可化为,解得;当时,原不等式可化为,解得,不满足,舍去;当时,原不等式可化为,解得,所以不等式的解集为.(2)因为,所以若函数存在零点则可转化为函数与的图像存在交点,函数在上单调增,在上单调递减,且.数形结合可知.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题,涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集,将零点问题转化为曲线交点的问题来解决,数形结合思想的应用,属于简单题目.18.(1);(2)4【解析】
(1)根据已知用二倍角余弦求出,进而求出,利用正弦定理,即可求解;(2)由边角,利用余弦定理结合基本不等式,求出的最大值,即可求出结论.【详解】(1)∵,∴,由正弦定理得.(2)由(1)知,,所以,,,当且仅当时,的面积有最大值4.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形,应用基本不等式求最值,属于基础题.19.(1)(2)①证明见解析②证明见解析【解析】
(1)首先根据直线关于直线对称的直线的求法,求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程,解方程求得的值.(2)①构造函数,利用的导函数证得当时,,由此证得.②由①知成立,整理得成立.利用构造函数法证得,由此得到,即,化简后得到.【详解】(1)由解得必过与的交点.在上取点,易得点关于对称的点为,即为直线,所以的方程为,即,其斜率为.又因为,所以,,由题意,解得.(2)因为,所以.①令,则,则,且,,时,,单调递减;时,,单调递增.因为,所以,因为,所以存在,使时,,单调递增;时,,单调递减;时,,单调递增.又,所以时,,即,所以,即成立.②由①知成立,即有成立.令,即.所以时,,单调递增;时,,单调递减,所以,即,因为,所以,所以时,,即时,.【点睛】本小题考查函数图象的对称性,利用导数求切线的斜率,利用导数证明不等式等基础知识;考查学生分析问题,解决问题的能力,推理与运算求解能力,转化与化归思想,数形结合思想和应用意识.20.(1),(2)【解析】
(1)根据与可求得,再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用错位相减求和即可.【详解】解:(1)依题意,,设数列的公比为q,由,可知,由,得,又,则,故,又由,得.(2)依题意.,①则,②①-②得,即,故.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.21.(1)证明见解析,;(2)11202.【解析】
(1)由n,,成等差数列,可得,,两式相减,由等比数列的定义可得是等比数列,可求数列的通项公式;(2)由(1)中的可求出,根据和求出数列,中的公共项,分组求和,结合等比数列和等差数列的求和公式,可得答案.【详解】(1)证明:因为n,,成等差数列,所以,①所以.②①-②,得,所以.又当时,,所以,所以,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,即.(2)根据(1)求解知,,,所以,所以数列是以
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