增分点2数列问题新情境,理解题意最关键

增分点 数列问题新情境，理解题意最关键新定义型数学试题，背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求我们在充分阅读题意的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题，这类题型能有效地区分学生的思维能力和学习能力．[典例](2016全·国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，,，ak中0的个数不少于“1”的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个[方法演示]法一：列表法根据题意得，必有 a1＝0，a8＝1，则将0,1进行具体的排法一一列表如下：由上述表格可知，不同的 “规范01数列”共有14个．法二：列举法根据题意可得，必有a1＝0，a8＝1，而其余的各项：a1，a2，,，a8中有三个0和三个1，并且满足对任意k≤8，a1，a2，,，a8中“0”的个数不少于“1”的个数．可以一一列举出不同“规范 01 数列”，除第一项和第八项外，中间六项的排列如下：000111,001011,001101,001110,010011,010101,010110,011001,011010,100011,100101,100110,101001,101010，共14个．(理)法三：分类计数法根据题意可得该 “规范01数列”共有八项，其中 a1＝0，a8＝1，则不同的“规范 01数列”的前四项按照“0”的个数进行分类讨论：若前四项全为0，则后四项一定全为1，这样的“规范01数列”只有1个；若前四项有3个0，则前四项的排列有3种，后四项的排列也有3种，这样的“规范01数列”有3×3＝9个；若前四项有2个0，则前四项的排列有2种，后四项的排列也有 2种，这样的“规范01数列”有2×2＝4个．故不同的“规范01数列”的总数为 14种．(理)法四：填“空”格法根据题意可得该 “规范01数列”共有八项，其中， a1＝0，a8＝1，则不同的“规范01数列”采用“0,1”填“空”的方式计数．具体如下：将“规范01数列”的八个项按照序号从小到大的方式以 “空”格形式表示，再用“0,1”去填“空”格．可以得到一些不同的 “规范01数列”．第7个“空”格填“1”，则其余5个“空”格只需选2个“空”格填“1”，然后再排除第2个和第3个“空”格连排“1”的情况，有C25－1＝9(种)；第7个“空”格填“0”，显然第6个“空”格只能填“1”，再对第5个“空”格分类讨论：若第5个“空”格填“0”，第4个“空”格只能填“1”的方法只有 2种；若第5个“空”格填“1”，那么最后一个 “1”可以任意排的方法只有 3种．故不同的 “规范01数列”共有9＋2＋3＝14种．答案：C[解题师说]可以从以下三个方面解决此类问题．提取新定义的信息，明确新定义的名称和符号；深刻理解新定义的概念、法则、性质，纵横联系探求解题方法，比较相近知识点，明确不同点；对新定义中提取的知识进行等价转换，其中提取、化归与转化是解题的关键，也是解题的难点．新定义问题的解题思路为：①若新定义是运算法则，直接按照运算法则计算即可；②若新定义是性质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延；也可用特殊值排除等方法．[应用体验]1．(2018茂·名一模)我国古代数学著作 《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是： “现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤解析：选A依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．12．已知数列{an}中，a1＝ 3，an＋1＝[an]＋〈an〉([an]与〈an〉分别表示 an的整数部分与小数部分)，则〈a2018〉＝()A.3－1B.3－1C.3＋122－1D.3解析：选B因为a1＝3，an＋1＝[an]＋1，所以[a1]＝1，〈a1〉＝3－1，所以a2〈an〉＝1＋1＝2＋3－1＝2＋2＝4＋(3－1)，a4＝4＋1＝5＋3－1，a5＝5，a33－13－123－12＋2＝7＋(3－1)，a6＝7＋1＝8＋3－1，〈a2n－1〉＝3－1，〈a2n〉＝3－1，,，3－13－122所以〈a2018〉＝3－12.一、选择题1．在数列{an}中，若存在非零整数T，使得am＋T＝am对于任意的正整数n均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．若数列{xn}满足xn＋1＝|xn－xn－1|(n≥2，n∈N)，如x1＝1，x2＝a(a∈R，a≠0)，当数列{xn}的周期最小时，该数列的前2018项的和是()A．672B．673C．1344D．1346解析：选D要使周期最小，即使得第一项之后的各项中尽早出现1，又已知第二项不应是0，所以1,0,1,0不符合．所以1,1,0,1,1,0，,，周期为3.又2018＝3×672＋2，所以S2018＝1＋1＋2×672＝1346.2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析：选B每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S77381，公比q＝2，依题意，得a11－2＝381，解得a1＝3.1－23．《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九节问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为 4升，上四节容量之和为 3升，且每一节容量变化均匀 (即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为 ( )737A.2B.336710C.66D.11解析：选C设从最下节往上的容量构成等差数列{an}，公差为d.则a1＋a2＋a3＝4，3a1＋3d＝4，a9＋a8＋a7＋a6＝3，即4a1＋26d＝3，7解得a1＝66，d＝－66.95－767中间为第五节，即a5＝a1＋4d＝66＋4×66＝66.4．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若an＝fn，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则S3n＝()3321n321A.n－B.n＋n22222923C．3n－2nD.n－n22nn解析：选A由题意，当n＝3k，n＝3k＋1，n＝3k＋2时均有an＝f3＝3＝k，所以S3n＝0＋0＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋,＋(n－1)＋(n－1)＋(n－1＋n＝3×1＋n－1×(n－3个3个3个21)＋n＝3n2－1n.225．(2018泉·州模拟)若存在常数k(k∈N*，k≥2)，q，d，使得无穷数列{an}满足an＋1＝an＋d，n?N*，k则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k，q，d分别叫做段长、段qan，n∈N*，k比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3，则b2019＝()A．3B．4C．5D．6解析：选D法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3，∴b2017＝0×b20160，∴b2018＝b2017＋3＝3，∴b2019＝b2018＋3＝6.法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3，∴b1＝1，b2＝4，b3＝7，b4＝0×b3＝0，b5＝b4＋3＝3，b6＝b5＋3＝6，b7＝0×b6＝0，,,，∴当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．∴b2019＝b6＝6.6．由n(n≥2)个不同的数构成的数列a1，a2，,，an中，若1≤i<j≤n时，aj<ai(即后面的项aj小于前面的项ai)，则称ai与aj构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列 3,2,1，由于在第一项 3后面比3小的项有 2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面没有比1小的项，因此，数列3,2,1的逆序数为2＋1＋0＝3，若an＝－2n＋19(1≤n≤100，n∈N*)，则数列{an}的逆序数为()A．2525B．5050C．2475D．4950解析：选D因为an＝－2n＋19(1≤n≤100，n∈N*)，故{an}为单调递减数列，所以逆序数为99＋98＋,＋1＝99＋1×99＝4950.27．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，a3＋a4＋a5＝27，定义x＝[x]＋〈x〉，其中[x]为实数x的整数部分，〈x〉为x的小数部分，且0≤〈x〉<1，记b＝〈anan＋1〉，则nSn数列{bn}的前n项和Tn为()4n2＋2n－85n2＋2n－8224n2＋3n－85n2＋3n－8C.4n2＋12n＋8D.4n2＋12n＋8解析：选D 由a3＋a4＋a5＝27可得a4＝9，设{an}的公差为d，则3d＝6，即d＝2，故an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n，anan＋1＝2n＋12n＋3＝4n2＋8n＋33，n2＋2n2＝4＋2nn＋2nn＋2nS当n＝1时，b1＝〈a1a2〉＝〈4＋1〉＝0，S13当n≥2时，易知 0<n2＋2n<1，311故bn＝n2＋2n＝2n－n＋2(n≥2)，故Tn＝b1＋b2＋b3＋,＋bn＝0＋31－1＋1－1＋1－1＋,＋1－1＋1－12243546－＋1n＋n1nn2＝3111－122＋3－＋n＋2n15n2＋3n－84n2＋12n＋8(n≥2)，当n＝1时也满足，故选 D.8．已知在△ABC中，A1，B1分别是边 BA，CB的中点，A2，B2分别是线段 A1A，B1B的中点，,,，An，Bn分别是线段An－1A，Bn－1B(n∈N*，n>1)的中点，设数列{an}，{bn}―→―→―→(n∈N*)，给出下列四个命题，其中假命题是()满足：BN＝AN＋BNA．数列{an}是单调递增数列，数列{bn}是单调递减数列B．数列{an＋bn}是等比数列an(n>1，n∈N*)既有最小值，又有最大值C．数列bn―→＋b＝1D．在△ABC中，若C＝90°，CA＝CB，则|BN|最小时，ann2解析：选C―→1―→1―→―→―→1―→―→―→＋由BAN＝1－nBA＝1－n(CA－CB)，n＝nCB，BN＝BnB22BB2―→1―→＋1―→―→1―→1―→11BAN＝nCB1－n(CA－CB)＝1－nCA＋n－1－1CB，所以a＝1－n，＝n－12222n2bn2－1，则数列{an}是单调递增数列，数列{bn}是单调递减数列，故A正确；数列{an＋bn}中，an＋bn＝1n，a1＋b1＝1，即数列{an＋bn}是首项为1，公比为1的等比数列，故B正确；当n>12222n－11时，an＝2n1＋nC错误；在△ABC中，若2222＝°，＝，则―→222―→2―→―→22―→22212C90CB|BN|＝(an＋bn＋2anBN·＝(an＋bn，an＋bn＝1－nCA)CACB)CA2＋12＝5×12－6×1n＋2＝5132122n－1－12n2n－5＋，当n＝1时，an＋bn取得最小值，即当225―→1，故D正确．|BN|最小时，an＋bn＝29．(2017全·国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，,，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是()A．440B．330C．220D．110解析：选A设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为nn＋1.2由题意可知， N>100，令nn＋1>100，2得n≥14，n∈N*，即N出现在第 13组之后．易得第1－2nn－1，前n组的所有项的和为21－2nn＋1n组的所有项的和为＝21－2－n＝21－2n－2.设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数，若要使前N项和为2的整数幂，则第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，∴当t＝4，k＝13时，N＝13×13＋1＋4＝95<100，不满足题意；2当t＝5，k＝29时，N＝29×29＋1＋5＝440；2当t>5时，N>440，故选A.10.如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且 |AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )A．{Sn}是等差数列B．{Sn2}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{dn2}是等差数列解析：选A由题意，过点A1，A2，A3，,，An，An＋1，,分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，,，hn，hn＋1，,，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，,，hn，＋，,成等差数列，又S＝1×|B＋，|B＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．hn1n2nBn1|×hnnBn11．设无穷数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－A|<ε成立，则称数列{an}的极限为A.给出下列四个无穷数列：{(－1)n×2}；②1＋1＋1＋,＋1；1×33×55×72n－12n＋11＋111③1＋222＋23＋,＋2n－1；{1×2＋2×22＋3×23＋,＋n×2n}，其极限为2的共有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：选D对于①，|an－2|＝|(－1)n×2－2|＝2×|(－1)n－1|，当n是偶数时，|an－2|＝0；当n是奇数时，|an－2|＝4，所以不符合数列{an}的极限定义，即2不是数列{(－1)n×2}的极限．对于②，|an－2|＝1＋1＋1＋,＋11×33×55×72n－12n＋1－2＝11＋1－1＋11＋,＋－－233557|11－1－4＝1＋n＋1ε(无论多小)，不存在2n＋2n－112n＋1>1，所以对于任意给定的正数正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|<ε，即2不是数列1＋1＋1＋,＋1×33×55×71的极限．2n－12n＋11111对于③，由|an－2|＝1＋2＋22＋23＋,＋2n－1－2＝×1－112n2－2ε，得－2ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存1＝nn>12<log1－2在正整数N，使得n>N时，恒有|a－2|<ε成立，所以2是数列111＋＋2＋n221 123＋, ＋2n－1的极限．对于④，|an－2|＝|1×2＋2×22＋3×23＋,＋n×2n－2|＝2×22＋3×23＋,＋n×2n>1，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|<ε，即2不是数列{1×2＋2×22＋3×23＋,＋n×2n}的极限．综上所述，极限为2的数列共有1个．12．对于数列{xn}，若对任意n∈N*，都有xn＋2－xn＋1<xn＋1－xn成立，则称数列{xn}为“减差数列”．设bn＝2t－tn2－n，若数列b5，b6，b7，,，bn(n≥5，n∈N*)是“减差数列”，2n－1则实数t的取值范围是()33A.0，5B.0，53，＋∞D.3，＋∞C.55解析：选C由数列b5，b6，b7，,，bn(n≥5，n∈N*)是“减差数列”，得bn＋bn＋2tn2－ntn＋22－n＋2<2t－tn＋12－n＋1＋n＋n即tn2－ntn＋22－n＋2tn＋12－n＋1n＋2n＋2>n，22化简得t(n2－4n)>n－2，由题知，当 n≥5时，t(n2－4n)>n－2恒成立，n－21所以t>n2－4n＝4恒成立．n－2－n－2令n－2＝x(x≥3，x∈N*)，设y＝x－4x(x≥3，x∈N*)．易知函数y＝x－4x在[3，＋∞)上是增函数，所以当x＝3时，y取得最小值5，3所以当x＝3时，1＝1取得最大值3，y45x－x即当n≥5时，1的最大值为3，45n－2－n－2则t的取值范围是3，＋∞.5二、填空题13．在数列{an中，∈N*，若an＋2－an＋1＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，}nan＋1－an下列是对“等差比数列”的判断：k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0.其中判断正确的序号是

________．解析：由等差比数列的定义可知，

k不为

0，所以①正确；当等差数列的公差为

0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，

所以②错误；当{an}是等比数列，且公比 q＝1时，{an}不是等差比数列，所以③错误；数列0,1,0,1，,是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．答案：①④n14．(2018兰·州模拟)对于正整数n，设曲线y＝x(1－x)在x＝2处的切线与平面直角坐an标系的y轴交点的纵坐标为an，则数列log2n＋1的前10项和等于__________．解析：y′＝nxn－1n＝[n－(n＋1)x]xn－1nn－(n＋1)x，当x＝2时，y＝2(1－2)＝－2，所以曲线在点(2，－2n)处的切线的斜率k＝(－n－2)×2n－1，切线方程为y－(－2n)＝(－n－2)×2n－1×(x－2)，当x＝0时，y＝(n＋1)×2n，所以an＝(n＋1)×2n，所以logan＝logn＝n，即数列log2an是首项为1，公差为1的等差数列，其前2n＋122n＋110项的