中考数学二轮专题复习频考点突破-圆的综合

中考数学频考点突破--圆的综合1．如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD=（1）求证：OA＝OB；（2）已知AB＝43，OA＝4，求阴影部分的面积.2．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM=∠BAC=α．（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE=53，若⊙O的半径为1，cosα=3．如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为弧AB的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=34，BE=BG，EG=310，求⊙O的半径．4．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC=3.（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径.5．如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE＝FC（CE＜CB），连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是；（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．①在图2中，依据题意补全图形；②求证：DF＝2FG．6．如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.7．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE=∠BAF．8．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．9．如图，AB是⊙O的直径，BD是弦，C是BD的中点，弦CE⊥AB，H是垂足，BD交CE，CA于点F，G．（1）求证：CF=BF=GF；（2）若CD=6，AC=8，求圆O的半径和BD长．10．如图所示，线段AB=1.8cm，作满足下面要求的图形．（1）到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形．（2）到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，求⊙O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．12．如图，在△ABC中，∠A＝45°，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，E为⊙O上的一点，连接DE，BE，DE与AB交于点F.（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若F为OA的中点，⊙O的半径为2，求BE的长.13．如图，已知AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．（1）求∠D的大小；（2）若CD=2，求AC的长．14．如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）设AD＝4，AB＝x(x>0)，BC＝y(y>0).求y关于x的函数解析式.15．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长.16．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作AB的垂线交AC的延长线于点F。（1）求证：BE（2）过点C作CG⊥BF于G，若AB=5，BC=25，求CG，FG的长。

答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OC，则OC⊥AB.∵CD=∴∠AOC＝∠BOC.在△AOC和△BOC中，∠AOC=∠BOC∴△AOC≌△BOC(ASA).∴AO＝BO.（2）解：由(1)可得AC＝BC＝12AB＝23在Rt△AOC中，OA＝2，

∴sin∠AOC=AC∴∠AOC＝∠BOC＝60°.∴S△BOC＝12BC·OC＝12×23×2＝23，S扇COE＝60πR∴S阴＝23－23【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质得出∠ACO=90°，由CD=CE，可得∠AOC＝∠BOC，根据ASA可证△AOC≌△BOC，可得AO＝BO；

（2）由(1)可得AC＝BC＝12AB＝23，再求出∠AOC＝∠BOC＝60°，由S阴＝S△BOC2．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OC=OB，∴∠B=∠OCB，∵∠BCM=∠A，∴∠OCB+∠BCM=90°，即OC⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）解：如图②，∵cosα=ACAB=34∵∠2=∠3，∠1=∠2，∴∠1=∠3，∵DH⊥MN，∴∠1+∠AGC=90°，∵∠3+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠AGC，又∵∠DEC=∠CAG，∴△EDC∽△ACG，∴EDAC∴AG⋅DE=AC⋅CE=3【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质【解析】【分析】（1）由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得∠A+∠B=90°，由OC=OB可得∠B=∠OCB，进一步即可推出∠OCB+∠BCM=90°，从而可得结论；（2）如图②，由已知条件易求出AC的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得∠1=∠3，根据余角的性质可得∠ECD=∠AGC，进而可得△EDC∽△ACG，于是根据相似三角形的性质变形可得AG⋅DE=AC⋅CE，进一步即可求出结果．3．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBC=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线（2）解：连接OE交AB于H，如图，∵E为弧AB的中点，∴OE⊥AB，∵∠ABE=∠AFE，∴tan∠ABE=tan∠AFE=34∴在Rt△BEH中，tan∠HBE=EH设EH=3x，BH=4x，∴BE=5x，∵BG=BE=5x，∴GH=x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（310）2，解得x=3，∴EH=9，BH=12，设⊙O的半径为r，则OH=r-9，在Rt△OHB中，（r-9）2+122=r2，解得r=252即⊙O的半径为25【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；同角三角函数的关系【解析】【分析】（1）连接OC，如图，根据角平分线的定义得出∠OBC=∠CBD，根据等边对等角得出∠OBC=∠OCB，根据等量代换得出∠OCB=∠CBD，根据内错角相等，二直线平行得出OC∥AD，由二直线平行，同旁内角互补得出OC⊥CD，故CD是⊙O的切线；

（2）连接OE交AB于H，如图，根据垂径定理得出OE⊥AB，根据同弧所对的圆周角相等得出∠ABE=∠AFE，根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠ABE=tan∠AFE=34，在Rt△BEH中，用正切函数的定义，由tan∠HBE=EH4．【答案】（1）∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，AO⊥BC∴AF=FB=1∵BC=3∴CE=在△AOF与△COE中，∵∴△AOF≅△COE(AAS)∴CE=AF=∴AB=3（2）由（1）得，AB=BC=3∵BE=∴BE=∵∠AEB=90°∴∠A=30°∴∴AO=∴⊙O的半径为3.【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】（1）由垂径定理得到AF=FB=12AB,CE=EB=12BC，由BC=3解得CE=1（2）由（1）中结论可知AB=BC，由垂径定理得到EB=12BC，继而得到EB=5．【答案】（1）BF＝FG（2）解：①如图2所示，②如图2，连接BF、BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF（SAS），∴DF＝BF，∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点，∴AG＝EG＝BG＝FG，∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∵BF＝BF，∠BAC＝45°，∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BF＝2FG，∴DF＝2FG．【知识点】正方形的性质；圆周角定理；旋转的性质【解析】【解答】解：（1）BF＝2FG，理由是：如图1，连接BG，CG，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，∵EF⊥BC，FE＝FC，∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，∴∠ACE＝90°，∵点G是AE的中点，∴EG＝CG＝AG，∵BG＝BG，∴△AGB≌△CGB（SSS），∴∠ABG＝∠CBG＝12∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，∴△EFG≌△CFG（SSS），∴∠EFG＝∠CFG＝12（360°﹣∠BFE）＝1∵∠BFE＝90°，∴∠BFG＝45°，∴△BGF为等腰直角三角形，∴BF＝2FG．故答案为：BF＝2FG【分析】（1）连接BG，CG，利用正方形的性质，可证得∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，再证明EG=CG=AG，从而可证得△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，就可求出∠ABG＝∠CBG＝45°，再利用SSS证明△EFG≌△CFG，利用全等三角形的性质，可得到∠EFG＝∠CFG=135°，然后证明△BGF是等腰直角三角形，从而可得出结果。

（2）①根据题意补全图形即可；②根据已知条件易证△ADF≌△ABF，再利用全等三角形的性质，可证得DF＝BF，再证明AG＝EG＝BG＝FG，就可得到点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，利用圆周角定理可证得∠BGF=90°，就可得到△BGF是等腰直角三角形，再利用解直角三角形就可质的结论。6．【答案】（1）解：当0＜r＜3时，点A、B在⊙C外（2）解：当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外【知识点】点与圆的位置关系【解析】【分析】点和圆的位置关系：①点到圆心的距离小于半径，点在圆内；②点到圆心的距离等于半径，点在圆上；③点到圆心的距离大于半径，点在圆外。

（1）根据点和圆的位置关系和AC、BC的长度可知，当0＜r＜3时，点A、B在⊙C外；

（2）根据点和圆的位置关系和AC、BC的长度可知，当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外。7．【答案】（1）连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD；又∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO；又∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠BAF=∠DAE．【知识点】圆周角定理；直线与圆的位置关系【解析】【分析】（1）连接OC，易得OC∥AD，根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO，再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以证出结论；（2）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，继而证得结论．8．【答案】（1）证明：如图1，连接OB，∵AB是⊙0的切线，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CB平分∠ACE（2）解：如图2，连接BD，∵CE丄AB，∴∠E=90°，∴BC=BE2+C∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠E=∠DBC，∴△DBC∽△CBE，∴CDBC∴BC2=CD•CE，∴CD=524=∴OC=12CD=∴⊙O的半径=25【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）要证CB平分∠ACE，由角平分线的性质只需证∠2=∠3即可。连接OB，由切线的性质和已知条件即可证得∠2=∠3；

（2）连接BD，在直角三角形BCE中，用勾股定理可求得BC的长，由圆周角定理易证△DBC∽△CBE，则可得比例式CDBC=BC9．【答案】（1）证明：∵CE⊥AB，∴BC=∴∠A=∠ECB，∵C是BD的中点，∴∠A=∠DBC，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠DBC+∠CGB=90°，∠ECB+∠GCF=90°，∴∠CGB=∠GCF，∴CF=GF，∴CF=BF=GF；（2）解：∵C是BD的中点，∴BC=CD=6，∵AC=8，∴AB=B∴圆O的半径是5，∵DC=∴OC垂直平分BD，设OC与BD相交于点M，设OM=x，则CM=5−x，∵BM∴52解得x=1.∴OM=1.∴BM=O∴BD=2BM=48【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）先证明∠ECB=∠DBC，可得CF=BF，再根据∠CGB=∠GCF，可得CF=GF，即可得到CF=BF=GF；

（2）设OC与BD相交于点M，设OM=x，则CM=5−x，利用勾股定理可得52−x2=6210．【答案】（1）解：如图所示：图中阴影部分就是到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形（2）解：图中两个圆以外的部分就是到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形【知识点】点与圆的位置关系【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，1.1cm为半径画弧，两个圆相交的部分就是到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形；（2）两个圆内部分都是到点A或点B的距离都小于1.1cm的部分，那么两圆以外的部分就是到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形．11．【答案】（1）解：如图1，连接OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA，∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°，∴∠BOE=∠BAE+∠OEA=60°，在△BOE中，∠B=30°，∴∠OEB=180°-∠B-∠BOE=90°，∴OE⊥BC，∵点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线（2）解：如图2，∵∠B=∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°，在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=ACAE∴AE=ACsin∠AEC=3sin60°=2在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=AEAD∴AD=AEcos∠BAE=23cos30°（3）解：以A、O、E、F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3，在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，连接OF，∴OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，连接EF，OE，∴OE=OF，∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=60°，∵OE=OF，∴△OEF是等边三角形，∴OE=EF，∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四边形OAFE是菱形【知识点】菱形的判定；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OE，由OA=OE，求出∠AEO的度数，再利用三角形外角的性质，求出∠BOE的度数，在△BOE中，利用三角形内角和定理求出∠OEB=90°，然后利用切线的判定定理，可证得结论。

（2）根据已知求出∠AEC=60°，利用解直角三角形，在Rt△ACE中求出AE的长，Rt△ADE中，求出AD的长，就可求出圆的半径。

（3）连接OF、EF、OE，利用∠B的度数去证明△AOF和△OEF是等边三角形，利用等边三角形的性质及同一个圆的半径相等，易证OA=AF=EF=OE，就可证得结论。12．【答案】（1）证明：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，∵D是AC的中点，∴BC=AB，∴∠C=∠A＝45°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线。（2）解：连接OD，由（1）可得∠AOD=90°，∵⊙O的半径为2，F为OA的中点，∴OF=1，BF=3，AD=22+22=22，∴DF=∵∠AFD=∠EFB，∴△AFD∽△EFB，∴DFAD=BFBE，即5【知识点】切线的判定；圆的综合题；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得出BD⊥AC，根据中垂线定理得出BC=AB，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠ABC=90°，从而得出BC是⊙O的切线；

（2）连接OD，由（1）可得∠AOD=90°，根据中点定义得出OF=1，BF=3根据勾股定理得出AD，DF的长，根据同弧所对的圆周角相等得出∠E=∠A，然后判断出△AFD∽△EFB，根据相似三角形对应边成比例得出DFAD13．【答案】（1）解：连接OC．∵BC=∴∠CAD=12∠COB∵∠D=2∠CAD，∴∠COB=∠D．∵PD是⊙O的切线，∴OC⊥PD，即∠OCD=90°．∴∠COB+∠D=90°．∴2∠D=90°．∴∠D=∠COB=45°．（2）解：∵∠COB=∠D，CD=2，∴CO=CD=2．∵∠COB=45°，∴∠AOC=135°．∴AC的长l=【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算【解析】【分析】（1）连接OC．根据切线的性质的出OC⊥PD，即∠OCD=90°．根据圆周角定理得出∠D=2∠CAD，进而证明∠COB=∠D．根据等腰直角三角形的性质求出∠D的大小；

（2）根据等腰三角形的性质求出OC，根据弧长公式计算即可。14．【答案】（1）证明：过O做OE⊥CD于点E，则∠OED＝90°∵⊙O与AM相切于点A∴∠OAD＝90°∵OD平分∠ADE∴∠ADO＝∠EDO∵OD＝OD∴△OAD≌△OED∴OE＝OA∵OA是⊙O的半径∴OE是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线（2）解：过点D做DF⊥BC于点F，则DF＝AB＝x∵AD＝4，BC＝y∴CF＝BC－AD＝y－4由切线长定理可得：∴DE=DA，CE=CB∴CD＝CE＋ED＝BC＋AD＝4＋y在Rt△DFC中，∵CD2＝DF2＋FC2∴(y＋4)＝x2＋(y－4)2整理得：y＝116x则y关于x的函数关系式为：y＝116x解法二：连接OC，∵CD、CB都是⊙O的切线∴CE＝CB＝yOC平分∠BCD即：∠OCD＝12同理：DE＝AD＝4∠CDO＝12∵AM、BN分别与⊙O相切且AB为⊙O的直径∴AM//BN∴∠BCD＋∠CDA＝180°∴∠OCD＋∠CDO＝90°∵∠CDO＋∠OCD＋∠COD＝180°∴∠COD＝90°∵在Rt△DOC中，OD2＝OA2＋AD2即OD2＝(x2)2＋4同理可得：OC2＝(x2)2＋y∵CD＝CE＋ED＝y＋4∴在Rt△OCD中CD2＝OC2＋OD2即(y＋4)2＝(x2)2＋42＋(x2)2＋y2整理得：y＝116x2则y关于x的函数关系式为：y＝【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；垂径定理的应用；切线的判定与性质；切线长定理【解析】【分析】（1）过O做OE⊥CD于点E，则∠OED＝90°，根据切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径得出∠OAD＝90°，根据角平分线的定义得出∠ADO＝∠EDO，从而根据AAS判断出△OAD≌△OED，根据全等三角形的对应边相等得出OE＝OA，根据切线的判定定理得出CD是⊙O的切线；

（2）解法一：过点D做DF⊥BC于点F，则DF＝AB＝x，根据矩形的性质及线段的和差得出CF＝BC－AD＝y－4，由切线长定理可得：DE=DA，CE=CB，根据线段的和差得出CD＝CE＋ED＝BC＋AD＝4＋y，在Rt△DFC中，由勾股定理得出(y＋4)＝x2＋(y－4)2，从而得出y与x之间的函数关系式；解法二：连接OC，根据切线长定理得出CE＝CB＝y，OC平分∠BCD，即：∠OCD＝12∠BCD，同理：DE＝AD＝4，∠CDO＝12∠CDA，又AM、BN分别与⊙O相切且AB为⊙O的直径，故AM//BN，根据二直线平行同旁内角互补得出∠BCD＋∠CDA＝180°，进而得出∠OCD＋∠CDO＝90°，根据平角的定义得出∠CDO＋∠OCD＋∠COD＝180°，从而得出COD＝90°，在Rt△DOA中，根据勾股定理得出OD2＝(x2)2＋42，同理可得：OC2＝(x2)2＋y2，由于CD＝CE＋ED＝y＋4