利息理论第二章

E-mail:cxdzlh@163.comTel:49936260利息理论第二章利息度量本金(资金的现值）：初始投资的资本的金额。累积值（资金的终值）：过一定时期后收到的总金额。利息：累积值与本金之间的金额差值。一、累积函数与实际利率

1.1累积函数－－指期初的1元本金在时刻t的累积值，是度量利率和利息基本的工具。累积函数的性质：

1.2实际利率－－指1元本金在某个时刻末赚取的利息，一般用i表示。用累积函数表示实际利率，则有

实际利率也可表示成为某个时期赚取的利息金额与期初的本金金额之比。二、单利

单利－－是指在期初投资的本金，在每一个时期中都得到完全相同的利息金额，即利息为常数，则把这种类型的利息产生方式称为单利。

当t为整数时，单利条件下的累积函数为：问题：单利率是否就为实际利率？

结论：这是一个关于时间t的单调递减的函数，并且随着t的增大，实际利率将减小．问题：为什么在每一个时期中所获得的利息金额相等，但实际利率却越来越来小呢？问题：若t为大于零的任意实数，单利该如何计算？结论：单利条件下累积函数的变化律为一常数．三、复利

复利－－指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息,即“利滚利”．当t为整数时，复利条件下的累积函数为：结论：复利利率等于实际利率．

结论：若单利率＝复利利率，则当0<t<1时，单利>复利;而当t>1时，单利<复利．

复利与单利的区别：

1、若利率水平为一常数，单利条件下的实际利率为时间的递减函数；而复利条件下与时间无关。单利复利

2、在初始本金一定的条件下单利在相等的时间区间内有相等的利息，而复利在相等的时间区间内有相等的增长率。例4100元的初始投资，以9％计息．结论：在复利下，增长相对比率为常数．即期利率与远期利率

即期利率－指从当前时点开始计算的未来一定期限的利率水平。

注:即期利率即为零息债劵（到期一次性支付本息）的到期收益率．

远期利率－指未来两个时点之间的利率水平，是由一系列即期利率所确定的。注意：上式只适用于每年结转一次利息的情形贴现函数与实际贴现率注1贴现过程与累积过程是互逆的．注2在实际贴现率定义中的“利息金额”有时也被称作“贴现金额”．问题：如果希望在时期t后获得1元的累积值，期初的本金应为多少？单利的贴现函数为：复利的贴现函数为：实际贴现率实际贴现率是指一定时期内的利息与期末累积值的比率．推广：任何时间段内的贴现率dn

注：实际利率大于实际贴现率．实际贴现率和实际利率的一些重要关系：用实际贴现率表现的利率复利的贴现函数为：累积函数为：将(1)式变形：

例2已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元，而等价的贴现金额为300元，求本金额。设本金为P单贴现率假设单贴现率为d,则期末的1元在期初的现值为：结论:当贴现期不足1年时,单贴现产生的现值大于复贴现产生的现值;当贴现期超过1年时,单贴现产生的现值小于复贴现产生的现值.1、如果用利率计算累积值和现值：2、如果用贴现率计算累积值和现值：六、名义利率与名义贴现率6.1名义利率－－是指在一个度量时期内分多次结转利息的利率。例如：假设银行的贷款利率为12％，借款人如果从银行借得期限为1年，金额为100元贷款，那么一年的利息金额为12元。银行要求借款人在年末支付12元利息或者要求借款人在每个季度末支付全年的利息的1／4。注：年名义利率必须与一年所包含的小区间（一个月，一季度等）的个数相联系，否则无意义。例如：假设一笔贷款的年名义利率为6％，每月结转一次利息，试计算年实际利率。注：由名义利率表示的实际利率：注：由实际利率表示的名义利率：结论:在年名义利率一定的情况下,每年结转利息的次数越多,年实际利率越大.6.2名义贴现率－－度量的是一个小区间内（不足一个度量时期）的实际贴现率。例如：假设年名义贴现率为6％，每月预收一次贴现值，试计算年贴现率。注：在应用年名义贴现率的概念时，必须说明多长时间贴现一次，否则无意义。注：由年名义贴现率表示的年实际贴现率：注：由年实际贴现率表示的年名义贴现率：6.3名义贴现率与名义利率的关系1、由名义利率计算的年末累积值：2、由名义贴现率计算的年末累积值：注：若令m=1,则名义利率即为实际利率;若令n=1,则名义贴现率即为实际贴现率。结论:当名义利率和名义贴现率等价时，名义利率总大于名义贴现率.七、利息力注：利息力是连续复利的利率。注:利息力也是指一定时间期内利息结转次数趋于无穷大时的名义利率。

例1求单利（复利）在时刻t的利息力。结论:单利的利息力关于时间为递减函数；复利的利息力关于时间为常值函数。利息力与累积函数的关系（两端从0到t积分）（两端从0到n积分）常数利息力

注：当一个时期内的平均利息强度为常数时，不一定能保证在每个时点上的利息强度也为常数。贴现力

注：贴现力即为贴现函数的单位变化律

结论:利息力和贴现力相等。利息问题求解价值等式-----一般的，要衡量在多个时刻的总价值时，总是先选取一个比较日期，然后分别将各次付款积累或贴现到比较日期，得到的和就是总价值。有上述过程所得到的等式叫做“价值等式”。与利息计算有关的量主要有四个：1）原始投入的资本，及本金2）投资时期3）利率4）在投资期末的累积值未知利率问题常用方法：1.解析法2.线性插值法（迭代法）解析法

例1某人投资4000元,在3年后积累到5700元,问每季度计息的年名义利率是多少？

例2已知两年后的2000元和四年后的3000元的现值之和为4000元，计算年利率？线性插值法

例1期初的2000元本金经过2年3个月之后的累积值为2500元，试确定这笔投资的收益率。迭代法－多次线性插值

例2某投资者在期初投资2000元，2年后又投资3000元，到第5年末的累积值为7000元，假设该项投资每半年结转一次利息，试计算名义利率。未知时间问题

例1期初的2000元，按照每年结转4次利息的年名义利率5％投资，试确定经过多长时间可以得到4000元？问题：当实际利率给定时，要本金翻番，需要什么条件？

1元本金经过多少时间可以得到2元的累积值？注:该公式称为72”定律”。利率（％）72定律准确值41817.67514.414.2161211.9710.2910.24899.01107.27.271266.121844.19

使存款翻倍的时间长度

注：在某些情况下，可能需要将几次不同时期的付款一次付清，但希望保持总的付款金额不变，这时就需要确定一次付清的时间。

例如：一笔贷款，按原来的还款计划，第一年末偿还1000元，第二年末再偿还3000元即可，贷款年利率5％，如果借款人希望一次性支付4000元还清贷款，他应该在何时偿还？做近似计算：注：近似值大于精确值精确值

例：一笔贷款，按原来的还款计划，第一年末偿还2000元，第二年末在偿还3000元，第四年末再偿还3000元即可，贷款年利率5％，如果借款人希望一次性支付8000元还清贷款，他应该在何时偿还？近似值大于精确值提前支取的处罚

两年定期存款的年利率为10％，若储户在第一年底要提前取出这笔贷款，则利率肯定要低于10％，这就是一种处罚手段。

例1

活期储蓄方式如下：年利率7％，在每三年底（如果存款未提前支取）将奖励余额的2％试对以下三个取款时刻计算实际的年利率：1）第二年底；2）第三年底；3）第四年底1）第二年底年实际利率为7％2）第三年底3）第四年底

例2

某人需要5万元的一年期贷款，市场中现有两种可能的融资机会：

A）一年期贷款年利率5％

B）利率小于5％，但最低贷款额度为10万元如果一年期可能的投资利率为3％，问：要使两种方式等价，方式B的最大可接受利率为多少？设i为方式B的最大可接受利率。

结论：如果B的利率小于4％，则选择B；如果B的利率大于4％，则选择A投资期的确定就国际金融领域来说,目前使用的方法主要有三种。

1、严格单利方法严格按日历计算天数，并将具体年份的日历天数作为一年的天数，及基础天数，这样投资期的实际长度为实际投资天数除以对应年份的一年实际总天数。注：这种方法主要在英国使用，故有时称为“英国法”，常记为“实际／实际”。

2、常规单利法把一年中各个月份的天数都视为30天，而不管各月份实际天数多少，并将一年的天数视为360天。

计算任意给定天数间的日期公式：注：这种方法主要在欧洲的许多国家流行，故有时称为“大陆法”，常记为“30／360”。

3、银行家规则这是一种混合型的算法。把投资期的实际天数作为投资天数，但用360天作为一年。记为“实际／360”例1一项投资从美国参加二次世界大战之日，即1941年12月7日开始，到战争结束之日，即1945年8月8日终止，问一共投资了多少天？要求：（1）按实际／实际计算；（2）按30／360计算。例2若在3月13日存入1000元，到同年的11月27日取出，利率为单利8％，试确定利息金额：（1）按英国法；