辅导讲义：弧长和扇形地面积、圆锥地侧面积和全面积

实用文案辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为 360°的圆心角所对弧长就是圆周长 C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为 R的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l= .『活动二』类比弧长的计算公式可知： 在半径为 R的圆中，圆心角为n°的扇形面积的计算公式为：S=.『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S=nπnR1360.R2化为S=·R，从面可得扇形面积的另一计算公式：S=1802二、圆锥的侧面积和全面积：S1．圆锥的基本概念：的线lh段SA、SA1⋯⋯叫做圆锥的母线，rA的线段叫做圆锥的高．A12.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线 l剪开，展开成平面图形， 可以得到一个扇形， 设圆锥的底面半径为 r，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ．．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，1πrll这样，S圆锥侧=S扇形=·2πr·l=24．圆锥全面积计算公式O rS圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面= πrl＋πr2=πr（l＋r）标准实用文案三、例题讲解：例1、（2011?德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为．例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．1）求此圆的半径；2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点 P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移 4个单位长度得⊙ P1．（1）画出⊙P1，并直接判断⊙ P与⊙P1的位置关系；（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为 A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留 π）．标准实用文案y321－6－5－4－3 －2－1 O 1 2 3 x－1－2－3四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为：（）A．10πB．10C．10πD．π33AEDAODFOCBCB第2题图CAB第1题图（第3题）2、（2012 北海,12，3分）如图，等边△ABC的周长为 6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB相切于点D的位置，则⊙O自转了： （ ）标准实用文案A．2周．3周C．4周D．5周B3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）．A．3π2ππ2π2B．3C．23D．233234、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，则阴影部分图形的面积为（）A．4πB．2πC．πD．2π3C第9题第11题AOBD图25、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8，则这个圆锥的底面圆的半径是．7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为cm2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是.10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，△的边BC位于直线上，=3，RtABClAC标准实用文案∠=90o，∠=30o，若△由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落ACBARtABC在直线上l时，点A所经过的路线的长为（结果用含л的式子表示）．A⋯⋯⋯⋯CB图6l11、（2011·丹东，14，3分）如图，将半径为3cm的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O中，直径AB=2，BCA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则（1）BD的长是；（5分）DO（2）求阴影部分的面积.（5分）CA第12题图标准实用文案13、（2012 浙江省义乌市， 20，8分）如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.BC（1）求∠ABC的度数；DO（2）求证：AE是⊙O的切线；AE（3）当=4时，求劣弧AC的长.BC14、（2012 年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点 O恰好落在弧 AB上点D处，折痕交 OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．标准实用文案15、（2011 甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为 1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点 A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心 D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结 AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标： C 、D ；②⊙D的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 （结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线 EC与⊙D的位置关系并说明你的理由 .标准实用文案A BCO参考答案例1、考点：圆锥的计算。 专题：计算题。分析：先计算出底面圆的周长， 它等于圆锥侧面展开图扇形的弧长， 而母线长为扇形的半径，然后根据扇形的面积公式计算即可．解答：解：∵圆锥的底面圆的半径为 1，∴圆锥的底面圆的周长 =2π×1=2π，标准实用文案1∴圆锥的侧面积= ×2π×2=2π．故答案为： 2π．21点评：本题考查了圆锥的侧面积公式： S= lr．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等2于扇形的弧长，母线长为扇形的半径．例2、考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：（1）根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠=90°，DBC在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形 ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径；（2）根据S阴影=S扇形AOD－S△AOD即可求解．解答：解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°．∴∠ABC=60°．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°∴==，∠BCD=60°∴AB=AD=DC，∠DBC=90°又在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．∴BC+3BC=15∴BC=6∴此圆的半径为3．2（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．33S△AOD=3393在直角△AOE中，∠AOE=30°∴OE=OA?cos30°=1×3×=．2224S阴影S扇形AOD-SAOD6032-933-93=6-93∴3604244点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．例3、考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；扇形面积的计算分析：（1）根据题意作图即可求得答案，注意圆的半径为2；标准实用文案（2）首先根据题意求得扇形 BP1A与△BP1A的面积，再作差即可求得劣弧 错误!未找到引用源。与弦AB围成的图形的面积．解答：解：（1）如图：∴⊙P与⊙P1的位置关系是外切；（2）如图：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，∴S扇形BP1A=错误!未找到引用源。9022=π，S△AP1B=×2×2=2，360∴劣弧错误!未找到引用源。与弦AB围成的图形的面积为：π﹣2．点评：此题考查了圆与圆的位置关系以及扇形面积的求解方法．题目难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．四、1、【解析】△ABC绕点C顺时针旋转60°，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60°的弧，根据弧长公式lnr10，可求路径长为3180【答案】C【点评】考查的知识点有网格中的勾股定理（求nrAC），图形的旋转，弧长公式l。180中等难度的题型。标准实用文案2、【解析】三角形的周长恰好是圆周长的三倍，但是圆在点A、B、C处分别旋转了一个角度，没有滚动，在三个顶点处旋转的角度之和是三角形的外角和360°。所以⊙O自转了4圈。【答案】C【点评】本题最容易出错的地方就是在顶点处的旋转，难度较大。如果学生能动手操作一下，正确答案就出来了。3、【解析】图中阴影部分的面积等于：三角形AOB面积－扇形AOB面积，不难知道，?AOB为等边三角形，可求出?AOB边AB上的高是3，扇形AOB圆心角∠O＝60°，半径OA2π＝3，从而阴影部分的面积是1×2×3－60(3)＝3，故选A．23602【答案】A【点评】本题着重考查了扇形面积的计算及解直角三角形的知识，以及转化、数形结合思想，有一定综合性，难度中等．4、【解析】如下图所示，取AB与CD的交点为E，由垂径定理知CE＝3，而∠COB＝2∠CDB＝60°，所以OC＝CEo＝2，OE＝1OC＝1，接下来发现OE＝BE，可证△OCEsin602≌△BED，所以S阴影＝S扇形COB＝1π·22＝2π．63CA BOED图2【答案】D【点评】圆的有关性质是中考高频考点， 而图形面积也是多数地方必考之处， 将它们结合可谓珠联璧合． 解答此题需在多处转化： 一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决； 二是标准实用文案由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．510×10=50π.【解答】50π、【分析】S侧=πrl=π·21【点评】圆锥的侧面积S侧=l是母线的长）.·2πr·l=πrl（其中r是圆锥底面圆的半径，26、【解析】本题考查圆锥展开图及侧面积计算公式.设半径为r，圆锥侧面积即展开图扇形的面积，根据S扇=1lR,即8π=1×2π×4，得r=2.【答案】222【点评】在解决圆锥的计算问题时，要把握好两个相等关系：圆锥侧面展开图（扇形）的半径R等于圆锥的母线长， 扇形的弧长 l等于圆锥的底面周长 2r．几乎所有圆锥计算问题都是从这两个对应关系入手解决的．7、【解析】根据圆锥的侧面积公式 =πrl计算，此圆锥的侧面积 =π×2×5=10π【答案】10π【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算． 解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： ①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； ②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．8、解析：圆锥的侧面积可由公式来求，这里 R=6，l=8π，因此S=24π。答案：24π点评：本题考查了圆锥的侧面展开及其侧面积的求法， 初步考查学生的空间观点， 注意本题不要与全面积相混淆。9、分析：首先连接 OB，由矩形的性质可得△BOC是直角三角形，又由 OB=ON=2OC，∠BOC的度数，又由圆周角定理求得∠ NMB的度数．解答：解：连接OB，∵CN=CO，∴OB=ON=2OC，∵四边形OABC是矩形，∴∠BCO=90°，OC 1 1∴cos∠BOC= ，∴∠BOC=60°，∴∠NMB= ∠BOC=30°．故答案为：30°．OB 2 2点评：此题考查了圆周角定理、 矩形的性质以及特殊角的三角函数值． 此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．标准实用文案、思路导引：确定路线长度，由于路线是圆弧，因此确定旋转角，与旋转半径是解决问题的关键，3＋3；解析：计算斜边长度是12022，第一次经过路线长度是，1809031202第二次经过路线长度是，180180第三次经过路线长度与第二次经过路线长度相同，也是9031202180180，所以当点A三次落在直线l上时，经过的路线长度是120290312024＋343＋3180＋2×（180）=＋2×=18033点评：解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算 .、考点：圆锥的计算。专题：计算题。分析：算出围成圆锥的扇形的弧长，除以 2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高．360(1 1) 3解答：解：围成圆锥的弧长为3=4πcm，∴圆锥的底面半径为4π180÷2π=2cm，∴圆锥的高为3222=1cm．故答案为1cm．点评：考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；用到的知识点为：圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长．12、解析： （1）由CA切⊙O于A，得∠A=90°，再结合∠C=45°，得∠B=45°.连接AD，标准实用文案则由直径AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB×cos45°=2×cos45°= 2；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD的面积.解：（1）填 2；（2）由（1）得，AD=BD.∴弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影部分的面积 =△ACD的面积.∵CD=AD=BD=2，∴S△112×2=1，即阴影部分的面积是=CD×AD=×221.点评：本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度 .13、【解析】（1）根据相等的弧长对应的圆周角相等，得∠ ABC=∠D=60°。（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为 180°，得出∠BAC的大小，继而得出∠BAE的大小为90°，即AE是⊙O的切线。（3）由题意易知，△OBC是等边三角形，则由劣弧 AC对应的圆心角可求出劣弧 AC的长。20．解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角∴∠ABC=∠D=60°⋯⋯⋯⋯2分（2）∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90°⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴∠BAC=30°∴∠BAE=∠BAC＋∠EAC=30°＋60°=90°⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分即BA⊥AE∴AE是⊙O的切线 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分BCDOA E（3）如图，连结 OC∵OB=OC,∠ABC=60°∴△OBC是等边三角形标准实用文案∴OB=BC=4, ∠BOC=60°∴∠AOC=120°⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分120 4 8∴劣弧AC的长为 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分180 3【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、 圆周角的关系，及三角形的内角和为 180°。相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等．14、【解析】阴影部分的周长包括线段AC+CD+DB的长和弧AB的长．由折叠的性质可知，+CD=OA=6;DB=O