新运筹学课件

运筹学

(OperationsResearch)任课教师：杨芳玲联系方式：yangfangll@126.com经济管理类院校核心课程运筹学

运筹学（OperationsResearch）是用数学方法研究各种系统的最优化问题，运筹学强调发挥现有系统的效能，应用数学模型求得合理利用各种资源的最佳方案，为决策者提供科学决策的依据。本课程的教材及参考书选用教材《运筹学教程》胡运权主编（第2版）清华出版社参考教材《运筹学》牛英武主编西安交通大学出版社《运筹学》(修订版)钱颂迪主编清华出版社先修课程

高等数学线性代数概率论绪论（1）运筹学的产生发展及发展趋势（2）运筹学的性质特点及解题思路（3）运筹学的分支简介（4）运筹学在管理中的应用本章主要内容：运筹学产生与发展一、运筹学（OperationsResearch）的产生、发展及发展趋势

运筹学的发展：三个来源（军事、经济及管理）

1.军事：运筹学的主要发源地

古代军事运筹学思想

中国古代的“孙子兵法”；（1981年美国军事运筹学会出版了一本书，书中第一句话就是说孙武子是世界上第一个军事运筹学的实践家），中国古代运筹学思想的例子还有：田忌赛马、围魏救赵、行军运粮，等等。（几个典故）

国外历史上的阿基米德、伽利略研究过作战问题；第一次世界大战时，英国的兰彻斯特（Lanchester）提出了战斗方程，指出了数量优势、火力和胜负的动态关系；美国的爱迪生为美国海军咨询委员会研究了潜艇攻击和潜艇回避攻击的问题。运筹学产生与发展运筹学的历史“运作研究(OperationalResearch)小组”:解决复杂的战略和战术问题。例如：如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜艇攻击时损失最少；在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。运筹学产生与发展运筹学的正式产生：第二次世界大战

据不完全统计，二战期间，仅在英、美和加拿大，参加运筹学工作的科学家超过700名。2.管理(1)泰勒的时间动作研究、甘特的用于生产计划与控制的“甘特图”、吉尔布雷思夫妇的动作研究等(2)爱尔朗（Erlong）的排队论公式1909－1920年间，丹麦哥本哈根电话公司工程师爱尔朗陆续发表了关于电话通路数量等方面的分析与计算公式。尤其是1909年的论文“概率与电话通话理论”，开创了运筹学的重要分支－－排队论。运筹学产生与发展3.经济（数理经济学）(1)VonNeumann与对策论

1932年，VonNeumann提出一个广义经济平衡模型；1939年，提出了一个属于宏观经济优化的控制论模型；1944年，与Morgenstern共著的《对策论与经济行为》开创了对策论分支。(2)康托洛维奇与“生产组织与计划中的数学方法”

30年代，苏联数理经济学家康托洛维奇从事生产组织与管理中的定量化方法研究，取得了很多重要成果。1939年，出版了堪称运筹学的先驱著作－－《生产组织与计划中的数学方法》，其思想和模型被归入线性规划范畴。运筹学产生与发展

我国运筹学的研究始于20世纪50年代中期，当时由钱学森教授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为代表的一大批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在建筑、纺织、交通运输、水利建设和邮电等行业都有不少应用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世界水平。运筹学产生与发展

如今对运筹学的研究大致在三个领域发展：运筹学应用、运筹科学和运筹数学。一般的共识是，运筹学的研究不能忘记其原有的应用性强的特色，必须强调多学科的交叉联系和解决实际问题的研究。我们面临的很多系统通常涉及到大量的经济、技术、社会、政治和心理等综合因素，这些综合因素受到人的影响和干预，存在非结构性的复杂问题，仅用数学模型是很难加以描述和解决的。总之随着社会的不断发展和进步，实践将对运筹学提出更新更多的研究课题，运筹学正处于不断发展，不断进步的时期。二、运筹学的研究对象、研究特征及解题思路1.运筹学的定义《中国企业管理百科全书》：运筹学是运用分析，试验，量化的方法，对经济管理系统中人、财、物(时间)等有限资源，进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案（满意方案），以实现最有效地管理。《辞海》对运筹学解释为：“二十世纪四十年代开始形成的一门科学，主要研究经济活动与军事活动中能用数量来表达的有关运用，筹划与管理方面的问题，它根据问题的要求，通过数学的分析与运算，作出综合性的合理的安排，以达到较经济、较有效地使用人力、物力。近年来，它在理论与应用方面都有较大发展。其主要分支有规划论、对策论、排队论及质量控制等。”运筹学的研究对象、研究特征及解题思路11运筹学的研究对象、研究特征及解题思路

2.运筹学的研究对象1）机器、工具、设备、人员等资源如何最佳利用问题

研究方法有：线性规划、整数规划、网络图、动态规划、

目标规划等2）竞争现象：如战争、投资、商品竞争方法是对策论3）拥挤现象：如公共汽车排队、打电话、买东西、飞机着陆、船舶进港等方法是排队论运筹学的研究对象所以可对运筹学的研究对象做如下概括：１.运筹学的研究对象是各种系统。２.运筹学的研究目的是实现系统的最优化，求得合理利用各种资源的最优方案。３.运筹学的研究方法是运用数学语言来描述实际系统，通过建立数学模型和优化技术求得系统运营的最优解。

４.运筹学的研究动机是为决策者提供科学决策的依据。运筹学在工业、农业、商业、物流、经济计划、人力资源、军事等行业都有着非常广泛的应用。有人曾对世界上500家著名的企业集团或跨国公司进行过调查，发现其中95%曾使用过线性规划，75%使用过运输模型，90%使用过网络计划技术，90%使用过存储模型，43%使用过动态规划。由此可见运筹学是一门应用性很强的学科。特别是随着计算机技术的不断发展，计算机成为运筹学最强有力的运算工具，运筹学越来越显示出其广泛的使用价值。运筹学的研究对象、研究特征及解题思路3.运筹学的性质特点1）运筹学的性质

应用科学－“应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据”。2)运筹学的特点定量化分析多学科交叉，如综合利用了心理学、经济学、物理、化学等方法实现最优决策(1)科学性：运筹学是以研究事物内在规律，并从定量分析的角度探求更好地解决问题的一门科学。运筹学的研究对象、研究特征及解题思路15(2)应用性：运筹学既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效；运筹学的研究对象、研究特征及解题思路16(3)多学科的交叉性、综合性：运筹学研究中吸收了来自不同领域的经验，并被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制；运筹学的研究对象、研究特征及解题思路17(4)系统性和最优性:它以整体最优为目标,从系统的观点出发,力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。对所研究的问题求出最优解,寻求最佳的行动方案,所以它也可看成是一门优化技术,提供的是解决各类问题的优化方法。运筹学的研究对象、研究特征及解题思路18运筹学的研究对象、研究特征及解题思路4.运筹学的工作步骤提出和形成问题，建立模型，求解，解的检验，解的控制，解的实施

运筹学的研究的主要步骤：真实系统系统分析问题描述模型建立与修改模型求解与检验结果分析与实施数据准备运筹学的主要分支数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态规划等）图论存储论排队论对策论排序与统筹方法决策分析运筹学在管理中的应用运筹学在管理中的应用涉及几个方面：生产计划运输问题人事管理库存管理市场营销财务和会计另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择与评价，工程优化设计等。§1.3运筹学在管理中的应用

生产计划:

生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、配料问题、物料管理等;

库存管理:

多种物资库存量的管理,库存方式、库存量等;

运输问题:

确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择等;人事管理:

对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分配，建立人才评价体系等;23§1.3运筹学在工商管理中的应用市场营销:

广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售计划制定等;

财务和会计:

预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等;***设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等;24本课程授课方式与考核学科总成绩平时成绩（20％）课堂考勤（50％）平时作业（50％）期末成绩（80％）讲授为主，结合习题作业“田忌赛马”是家喻户晓的历史故事。战国时齐威王与齐相田忌赛马，双方各出三匹马比赛，每胜一场赢得一千金。由于王府的马比相府的马好，所以田忌每次比赛都要输掉三千金。后来田忌的谋士孙膑献了一计：在每次开赛前要求对方先报马名，由此区分对方参赛的是上马、中马还是下马；然后以自己的上马对对方的中马、自己的中马对对方和下马、自己的下马对对方的上马。这样，两胜一负反而赢得一千金。几个典故

我国古代运筹思想运用的典故1．“田忌赛马”

26第一章绪论

我国古代运筹思想运用的典故2．晋国公重建皇城

晋国公重建皇城的施工方案，体现了运筹学的朴素思想。要使重建工程的各个工序,在时间、空间上彼此协调,环环相扣,就需要运用行列式的相关知识,进行精确计算.273.沈括运粮

沈括(1031-1095年),北宋时期大科学家、军事家.在率兵抗击西夏侵扰的征途中,曾经从行军中各类人员可以背负粮食的基本数据出发,分析计算了后勤人员与作战士兵在不同行军天数中的不同比例关系,同时也分析计算了用各种牲畜运粮与人力运粮之间的利弊,最后做出了从敌国就地征粮,保障前方供应的重要决策.从而减少了后勤人员的比例,增强了前方作战的兵力.

28“管理运筹学”软件介绍“管理运筹学”2.0版包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-1整数规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径、最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、决策分析、预测问题和层次分析法，共15个子模块。Chapter1线性规划

(LinearProgramming)

LP的数学模型图解法单纯形法单纯形法的进一步讨论－人工变量法

LP模型的应用本章主要内容：线性规划问题的数学模型1.规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。线性规划通常解决下列两类问题：（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大.）线性规划问题的数学模型例1.1如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？xa线性规划问题的数学模型例1、(生产计划问题）

某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？设备产品

A

B

C

D利润（元）甲

2

1

4

0

2乙

2

2

0

4

3有效台时

12

8

16

12线性规划问题的数学模型解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：maxZ=2x1+3x2

x1≥0,x2≥0s.t.

2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤12线性规划问题的数学模型例2（下料问题）长度为1米的圆钢多根，欲截成40、30、20cm长的用料分别为20、45、50根，问如何下料才能使用料最省？

分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢，可以归纳出8种不同的下料方案：圆钢（米）ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ402111000030021032102010130235料头（米）00100100100线性规划问题的数学模型

上述问题归纳为如何混合使用这8种不同的下料方案，来制造20,45,50根不同的钢料，且要使用料最省？用料最省反映在两个方面：1.所用圆钢数最少2.使剩余的料头总长为最短

设xj表示用第j种下料方案下料的原料根j=1,2,…,8,目标：料头总长度=圆钢数=线性规划问题的数学模型例3（运输问题）两个仓库A1、A2，每月可分别调出钢材28、29吨，工地B1、B2、B3每月需钢材分别12、15、30吨均由仓库A1、A2供应，各仓库运往各工地每吨钢材的运费（元/吨）如下表，问如何安排运输计划可是总费用最小？B1B2B3供应量A118252028A221222429需求量121530例4、（合理配料问题）要求所分配饲料每单位的营养标准为：含蛋白质不少于21%，纤维不少于5%，脂肪不少于3.4%，铁不少于1%但不大于1.05%，钙不少于0.45%但不大于0.6%。要求得出成本最小的配比方案线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型例5、（广告方式的选择）某公司推销一种新产品，有关数据如下表，销售部第一个月的广告预算费为2万元，要求至少有8次电视广告，15次报纸广告，电视广告费不得超过1.2万元，电台广播至少隔日一次，问公司销售部应采用怎样的广告宣传计划，才能取得最好的宣传效果？广告方式广告费用（元/次）可用最高次数（每月）期望宣传效果电视（白天）5001650电视（晚上）10001080每日晨报1002430星期日报广播电台300804254015线性规划问题的数学模型2.线性规划的数学模型由三个要素构成决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction约束条件Constraints其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。

怎样辨别一个模型是线性规划模型？

线性规划问题的数学模型目标函数：约束条件：3.线性规划数学模型的一般形式简写为：线性规划问题的数学模型通常称

为决策变量，

为价值系数，

为消耗系数,

。为资源限制系数。线性规划问题的数学模型向量形式：其中：线性规划问题的数学模型矩阵形式：其中：线性规划问题的数学模型4.线性规划问题的标准形式特点：(1)目标函数求最大值（有时求最小值）(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零(3)决策变量xj为非负。线性规划问题的数学模型（1）如何化标准形式目标函数的转换如果是求极小值即则可将目标函数乘以(-1)可化为求极大值问题。也就是：令可得到上式。即若存在取值无约束的变量可令其中：变量的转换线性规划问题的数学模型约束方程的转换：由不等式转换为等式。称为松弛变量称为剩余变量变量的变换当可令，显然线性规划问题的数学模型例1.3将下列线性规划问题化为标准形式用替换，且解:（１）因为x3无符号要求，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以线性规划问题的数学模型(2)第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4，x4≥0,化为等式；(3)第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5，x5≥0；(4)第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数；(5)目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到maxz′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;线性规划问题的数学模型标准形式如下：线性规划问题的数学模型5.线性规划问题的解线性规划问题求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。线性规划问题的求解方法线性规划问题的求解方法一般有两种方法图解法单纯形法两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式下面我们分析一下简单的情况——只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。图解法maxZ=2X1+X2

X1+1.9X2≥3.8X1-1.9X2≤3.8s.t.X1+1.9X2≤10.2X1-1.9X2≥-3.8X1，X2≥0例1.5用图解法求解线性规划问题图解法x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)4=2X1+X2

20=2X1+X2

17.2=2X1+X2

11=2X1+X2

Lo：0=2X1+X2

（7.6，2）DmaxZminZ此点是唯一最优解，且最优目标函数值

maxZ=17.2可行域maxZ=2X1+X2图解法maxZ=3X1+5.7X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)（7.6，2）DL0：0=3X1+5.7X2

maxZ（3.8，4）34.2=3X1+5.7X2

蓝色线段上的所有点都是最优解这种情形为有无穷多最优解，但是最优目标函数值maxZ=34.2是唯一的。可行域图解法minZ=5X1+4X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)DL0：0=5X1+4X2

maxZ

minZ

8=5X1+4X2

43=5X1+4X2

（0，2）可行域此点是唯一最优解图解法246x1x2246无界解(无最优解)maxZ=x1+2x2例1.6x1+x2=4(≥)x1+3x2=6(≥)3x1+x2=6(≥)

maxZ

minZx1x2O10203040102030405050无可行解(即无最优解)maxZ=3x1+4x2例1.7图解法 学习要点：

1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式（唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解）

2.作图的关键有三点：

(1)可行解区域要画正确

(2)目标函数增加的方向不能画错

(3)目标函数的直线怎样平行移动线性规划问题的求解方法

可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。

最优解：使目标函数达到最大值的可行解。

基：设A为约束条件②的m×n阶系数矩阵(m<n)，其秩为m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（∣B∣≠0），称B是规划问题的一个基。设：称B中每个列向量Pj(j=12……m)

为基向量。与基向量Pj

对应的变量xj

为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。线性规划问题的数学模型

基解：对某一确定的基B，令所有的非基变量等于零，由约束条件方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0值的个数不大于方程数m，基解的总数不超过

基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可行解。可行基：对应于基可行解的基称为可行基。非可行解可行解基解基可行解线性规划问题的数学模型例1.4求线性规划问题的所有基矩阵。解:约束方程的系数矩阵为2×5矩阵r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即单纯形法基本原理凸集：对于集合C中的任意两个点X1、X2，其连线上的所有点也都是集合C中的点，则称C为凸集。凸集凸集不是凸集顶点单纯形法基本原理极点（凸集的顶点）凸集上不在两个不同点的连线上的点。定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是凸集。定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶点。定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优解或最优解一定在某个顶点上取得）线性规划问题的几个特点：线性规划问题的可行解的集合是凸集线性规划问题的基可行解一般都对应于凸集的极点凸集的极点的个数是有限的最优解只可能在凸集的顶点上，而不可能发生在凸集的内部。

我们可以证明以下结论：线性规划的基本可行解就是可行域的极点。这个结论被称为线性规划的基本定理，它的重要性在于把可行域的极点这一几何概念与基本可行解这一代数概念联系起来，因而可以通过求基本可行解的线性代数的方法来得到可行域的一切极点，从而有可能进一步获得最优极点。线性规划问题的几个特点：

线性规划问题的单纯形解法线性规划的标准型的向量和矩阵表达形向量式和矩阵形式

maxZ=CX

maxZ=CXs.t.p1x1+p2x2+…+pnxn=b

s.t.AX=b

xj≥0（j=1，2，…n）

X≥0式中：pj=（a1j，a2j，…，amj）TC=（c1，c2，…，cn）

X

=（x1，x2，…，xn）T

b=（b1，b2，…，bm）T

线性规划问题的单纯形解法再给出单纯形解法之前先回顾前面的例子：解:约束方程的系数矩阵为2×5矩阵r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即线性规划问题的单纯形解法1、写出对应于每一个基的解。2、找出基可行解。3、找出最优解。对应于基B1的基解令对应于基B2的基解令以上两个基本解中对应于B1的解为基本可行解，B1为可行基

线性规划问题的单纯形解法类似可得到x(3)=(3/5,0,0,0,8)T

（对应B3）

x(4)=(0,1/3,0,8/3,0)T

（对应B4）

x(7)=(0,0,1,4,0)T

（对应B7）x(9)=(0,0,0,3,2)T

（对应B9）是基本可行解；而x(5)=(-1/5,0,0,4,0)T（对应B5）

x(6)=(0,0,3,0,-4)T

（对应B6）

x(8)=(0,3,0,0,-16)T

（对应B8）是基本解。因此，对应基本可行解（极点）的B1B3B4B7B9都是可行基。将基可行解代入目标函数比较目标函数值的大小，找出最优解。线性规划问题的单纯形解法在看书中的例子：基变量的个数为：线性规划问题的单纯形解法对应于这些基的基解为：线性规划问题的单纯形解法其中基可行解有：对应可行解域的5个顶点，带入目标函数求值比较即可线性规划问题的单纯形解法这里指出了一种求解线性规划问题的可能途径，就是先确定线性规划问题的基，如果是可行基，则计算相应的基本可行解以及相应解的目标函数值。由于基的个数是有限的（最多个），因此必定可以从有限个基本可行解中找到最优解。

利用求解线性规划问题基本可行解（极点）的方法来求解较大规模的问题是不可行的。单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差单纯形法的计算步骤单纯形法的思路找出一个初始可行解是否最优转移到另一个基本可行解（找出更大的目标函数值）最优解是否循环核心是：变量迭代结束线性规划问题的单纯形解法

单纯形方法是Dantzig于1947年首先发明的。近50年来，一直是求解线性规划的最有效的方法之一，被广泛应用于各种线性规划问题的求解。本节讨论单纯形法的基本算法。单纯形法的初步讨论。单纯形法的计算步骤初始单纯形表单纯形法的计算步骤例1.8用单纯形法求下列线性规划的最优解解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:单纯形法的计算步骤2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。cj3400θicB基bx1x2x3x40x34021100x43013013400检验数单纯形法的计算步骤3）进行最优性检验如果表中所有检验数，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止。否则继续下一步。4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表确定换入基的变量。选择，对应的变量xj作为换入变量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检验数，即：，其对应的xk作为换入变量。确定换出变量。根据下式计算并选择θ

，选最小的θ对应基变量作为换出变量。 单纯形法的计算步骤用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。5）重复3）、4）步直到计算结束为止。 单纯形法的计算步骤cj3400θicB基变量bx1x2x3x40x34021100x430130134000x34x23x14x2换入列bi/ai2，ai2>04010换出行将3化为15/311801/301/3101－1/3303005/30－4/3乘以1/3后得到103/5－1/51801－1/5－2/5400－1－1单纯形法的计算步骤例1.9用单纯形法求解解：将数学模型化为标准形式：不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。单纯形法的计算步骤cj12100θicB基变量bx1x2x3x4x50x4152-32100x5201/31501121000x42x220－x221/3150120753017131/30－90－22560x111017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9-1/9-7/3单纯形法的计算步骤 学习要点：

1.线性规划解的概念以及3个基本定理

2.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤单纯形法的进一步讨论－人工变量法人工变量法： 前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。单纯形法的进一步讨论－人工变量法例1.10用大M法解下列线性规划解：首先将数学模型化为标准形式系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形表。单纯形法的进一步讨论－人工变量法故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。单纯形法的进一步讨论－人工变量法cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7θi0x64-431-10104-Mx5101-1201005-Mx712-21000113-2M2+M-1+2M↑-M0x63-650-1013/5-Mx58-3300108/3-1x312-21000——5-6M5M↑0-M002x23/5－6/510－1/50——-Mx531/53/5003/5131/3-1x311/5－2/501－2/50——5↑00002x213010123x131/310015/3-1x319/300102/3000-5-25/3→→→单纯形法的进一步讨论－人工变量法 解的判别：1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。3）无界解判别：某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规划具有无界解。4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。单纯形法的进一步讨论－人工变量法单纯性法小结:建立模型个数取值右端项等式或不等式极大或极小新加变量系数两个三个以上xj≥0xj无约束xj≤0

bi

≥0bi<0≤=≥maxZminZxs

xa求解图解法、单纯形法单纯形法不处理令xj=

xj′

-xj″

xj′

≥0xj″

≥0令

xj’

=-xj不处理约束条件两端同乘以-1加松弛变量xs加入人工变量xa减去xs加入xa不处理令z′=-ZminZ=－maxz′0-MA线性规划问题的Excel求解利用Excel求解书中例题：该问题在excel的规划模型如下：线性规划问题的Excel求解实际消耗A的计算=B3*B9+C3*C9;也可以用函数计算如图:线性规划问题的Excel求解其中Array1中的单元格地址使用绝对应用

:线性规划问题的Excel求解单击选项按钮出现如下对话框:线性规划问题的Excel求解单击确定按钮；又出现规划参数求解对话框,再单击求解按钮：线性规划模型的应用 一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数存在着多种方案要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述线性规划在管理中的应用人力资源分配问题例1.11某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：班次时间所需人员16:00——10:0060210:00——14:0070314:00——18:0060418:00——22:0050522:00——2:002062:00——6:0030设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少?线性规划在管理中的应用解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。此问题最优解：x1＝50，x2＝20，x3＝50，x4＝0，x5＝20，x6＝10，一共需要司机和乘务员150人。线性规划在管理中的应用2.生产计划问题某工厂生产A、B两种产品，均须经过两道工序，每生产1吨 A产品需要第一道工序2小时，第二道工序3小时，每生产1吨B产品需要第一道工序3小时，第二道工序4小时，可供利用的第一道工序15小时，第二道工序25小时；生产产品B的同时可生产副产品C，每生产一吨产品B，可同时得到两吨产品C而不需要外加任何费用，这副产品C一部分可以盈利，但剩下的只能报废，报废需要一定的费用。各项费用的情况为：出售产品A，每吨能盈利400元，出售产品B,每吨能盈利800元，每售出一吨副产品C能盈利300元；当剩余的产品C报废时，每吨损失费为200元，经市场预测，在计划期内产品C的最大销售量为5吨，试列出本问题的线性规划模型，如何安排A、B两种产品的产量，可使工厂总盈利最大？解：设决策变量……线性规划在管理中的应用生产计划问题某公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，也可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有关情况的数据如表所示，问公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？（甲、乙两种产品的铸件中本公司铸造和外包协作各应多少件？）线性规划在管理中的应用产品工时与成甲乙丙工时限制单件铸造工时51078000单件机加工工时64812000单件装配工时3221000自产铸件成本354外协铸件成本56机加工成本213装配成本322产品售价231816线性规划在管理中的应用解：设线性规划在管理中的应用下料问题：某工厂要制作50套规格的产品，这种产品每套需要用长为1.5米的料2根，1.45米的料2根，1.3米的料6根和0.35米的料12根，已知可供使用的原料长度为8米，问如何考虑可是使用的原料数最少？线性规划在管理中的应用项目投资优化问题：某公司有一批资金用A、B、C、D、E、5个工程项目的投资已知用于各工程项目时所得之净收益（投入资金的百分比）如下表，由于某种原因用于项目A的投资不大于其他各项目投资之和，而用于项目B和E的投资之和不小于项目C的投资，试确定使该公司受益最大的投资分配方案？工程项目ABCDE收益（％）108659线性规划在管理中的应用厂址选择问题：甲、乙、丙三地，每地都生产一定数量的原料，也消耗一定数量的产品（数据如下表），已知制造每吨产品需要3吨原料，各地之间的距离为甲→乙为150公里，甲→丙为100公里，乙→丙为200公里，假定每万吨原料运输1公里的造价为5000元，假定每万吨产品运输1公里的造价为6000元，由于地区差异，在不同的地区该厂的生产费用也不同，试问究竟在那些地方设厂、规模多大，才能使总费用最小？另外，由于其他条件限制，在乙处建厂的规模（生产的产品数量）不能超过5万吨。线性规划在管理中的应用

地点年产原料（万吨）年消耗产品万吨）年生产费用（万元/万吨）甲207150乙1613120丙240100线性规划在管理中的应用2.生产计划问题 某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，都分别经A、B两道工序加工。设A工序可分别在设备A1和A2上完成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成B工序。已知产品Ⅰ可在A、B任何一种设备上加工；产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据如下表，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。线性规划在管理中的应用设备产品设备有效台时设备加工费（单位小时）ⅠⅡⅢ27910000321B168124000250B247000783B37114000200原料费（每件）0.250.350.5售价（每件）1.252.002.8线性规划在管理中的应用解：设xijk表示产品i在工序j的设备k上加工的数量。约束条件有：线性规划在管理中的应用目标是利润最大化，即利润的计算公式如下：带入数据整理得到：线性规划在管理中的应用因此该规划问题的模型为：线性规划在管理中的应用3.套裁下料问题例：现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既满足需要，又能使总的用料最少？解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。ⅠⅡⅢⅣ2.5m32101.3m0246料头0线性规划在管理中的应用设按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ下料的原材料根数分别为xj(j=1，2,3,4)，可列出下面的数学模型：线性规划在管理中的应用4.配料问题例：某人每天食用甲、乙两种食物（如猪肉、鸡蛋），其资料如下：问两种食物各食用多少，才能既满足需要、又使总费用最省？

21.5原料单价1.007.5010.00

0.751.101.30A1A2A3

最低需要量

甲乙含量食物成分线性规划在管理中的应用解：设Xj表示Bj

种食物用量Chapter2对偶理论

(DualityTheory)线性规划的对偶模型对偶性质对偶问题的经济解释－影子价格对偶单纯形法本章主要内容：线性规划的对偶模型 设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A，B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表：产品数据表设备产品ABCD产品利润（元／件）

甲

21402乙

22043设备可利用机时数（时）

1281612问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能获得最大利润？1.对偶问题的现实来源线性规划的对偶模型解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为：反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如何定价才是最佳决策？线性规划的对偶模型在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：

（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。（2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线性规划数学模型为：线性规划的对偶模型把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发现一个有趣的现象。原问题与对偶问题对比表A（y1）

B（y2）C（y3）

D（y4）

甲（x1）

21402乙（x2）

220431281612

minωmaxz

线性规划的对偶模型2.原问题与对偶问题的对应关系原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）线性规划的对偶模型（1）对称形式 特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负.已知P，写出D线性规划的对偶模型例2.1写出线性规划问题的对偶问题解：首先将原问题变形为对称形式线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型(2)非对称型对偶问题 若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再写对偶问题。也可直接按教材表2-2中的对应关系写出非对称形式的对偶问题。线性规划的对偶模型原问题（或对偶问题）对偶问题（或原问题）约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项目标函数max目标函数min约束条件m个m个变量≤≥0≥≤0=无约束变量n个n个约束条件≥0≥≤0≤无约束=线性规划的对偶模型例2.2写出下列线性规划问题的对偶问题.解：原问题的对偶问题为对偶性质例2.3分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如下表：对偶性质XBb原问题的变量原问题的松弛变量x1x2x3x4x5x315/20015/4-15/2x17/21001/4-1/2x23/2010-1/43/2000－1/4－1/2XBb对偶问题的变量对偶问题的剩余变量y1y2y3y4y5y21/4-4/510-1/41/4y31/215/2011/2-3/215/2007/23/2原问题最优表对偶问题最优表对偶性质原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系： 在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量。对偶性质性质1对称性定理：对偶问题的对偶是原问题

minW=Ybs.t.YA≥CY≤0maxZ=CXs.t.AX≥bX≥0对偶性质性质2

弱对偶原理(弱对偶性)：设和分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有推论1:原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。推论2:

在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。对偶性质推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数值无界。性质3

最优性定理：如果是原问题的可行解，是其对偶问题的可行解，并且:则是原问题的最优解，是其对偶问题的最优解。对偶性质性质4强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。 还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。性质5

互补松弛性：设X0和Y0分别是P问题和D问题的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：其中：Xs、Ys为松弛变量对偶性质性质5的应用： 该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法，即已知Y＊求X＊或已知X＊求Y＊互补松弛条件由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下列关系：若Y＊≠0，则Xs必为0；若X＊≠0，则Ys必为0利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，方程组的解即为最优解。对偶性质例2.4

已知线性规划的最优解是X＊=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y＊。解：写出原问题的对偶问题，即标准化对偶性质设对偶问题最优解为Y＊＝(y1，y2),由互补松弛性定理可知，X＊和Y＊满足：即：因为X1≠0，X2≠0，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即y3＝0，y4＝0，带入方程中：解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为：Y＊=(1,1)，最优值w=26。对偶性质例2.5已知线性规划的对偶问题的最优解为Y＊=(0,-2)，求原问题的最优解。解:对偶问题是标准化对偶性质设对偶问题最优解为X＊＝(x1，x2，x3)T,由互补松弛性定理可知，X＊和Y＊满足：将Y＊带入由方程可知，y3＝y5＝0，y4＝1。∵y2=-2≠0∴x5＝0又∵y4=1≠0∴x2＝0将x2，x5分别带入原问题约束方程中，得：解方程组得：x1=-5,x3=-1,所以原问题的最优解为X＊=(-5,0,-1)，最优值z=-12对偶性质原问题与对偶问题解的对应关系小结对应关系原问题最优解无界解无可行解对偶问题最优解(Y,Y)(N,N)————无界解————(Y,Y)无可行解——(Y,Y)无法判断思考题判断下列结论是否正确，如果不正确，应该怎样改正？1）任何线性规划都存在一个对应的对偶线性规划.2）原问题第i个约束是“≤”约束，则对偶变量yi≥0.3）互为对偶问题，或者同时都有最优解，或者同时都无最优解.4）对偶问题有可行解，则原问题也有可行解.5）原问题有多重解，对偶问题也有多重解.6）对偶问题有可行解，原问题无可行解，则对偶问题具有无界解.7）原问题无最优解，则对偶问题无可行解.8）对偶问题不可行，原问题可能无界解.9）原问题与对偶问题都可行，则都有最优解.10）原问题具有无界解，则对偶问题不可行.11）对偶问题具有无界解，则原问题无最优解.12）若X*、Y*是原问题与对偶问题的最优解，则X*=Y*.对偶问题的经济解释－影子价格1.影子价格的数学分析：定义：在一对P和D中，若P的某个约束条件的右端项常数bi（第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标函数最优值z*的改变量称为第i种资源的影子价格，其值等于D问题中对偶变量yi*。由对偶问题得基本性质可得：对偶问题的经济解释－影子价格2.影子价格的经济意义1）影子价格是一种边际价格 在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi就是第i种资源的影子价格。即：

对偶问题的经济解释－影子价格2）影子价格是一种机会成本 影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价，这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说，它是一种机会成本。若第i种资源的单位市场价格为mi

，则有当yi*>mi

时，企业愿意购进这种资源，单位纯利为yi*－mi

，则有利可图；如果yi*<mi

，则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－yi

*

，否则，企业无利可图，甚至亏损。结论：若yi*>mi则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi

若yi*<mi则转让资源i，可获单位纯利mi－yi对偶问题的经济解释－影子价格3）影子价格在资源利用中的应用根据对偶理论的互补松弛性定理:Y*Xs=0,YsX*=0表明生产过程中如果某种资源bi未得到充分利用时，该种资源的影子价格为0；若当资源资源的影子价格不为0时，表明该种资源在生产中已耗费完。对偶问题的经济解释－影子价格4）影子价格对单纯形表计算的解释单纯形表中的检验数其中cj表示第j种产品的价格;表示生产该种产品所消耗的各项资源的影子价格的总和,即产品的隐含成本。当产值大于隐含成本时，即，表明生产该项产品有利，可在计划中安排；否则，用这些资源生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品。对偶单纯形法 对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。对偶单纯形法原理对偶单纯形法基本思路： 找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断XB是否可行（XB为非负），若否，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由定理4可得最优解。对偶单纯形法找出一个DP的可行基LP是否可行（XB≥0）保持DP为可行解情况下转移到LP的另一个基本解最优解是否循环结束对偶单纯形法例2.9用对偶单纯形法求解：解:（1）将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数≤0（求max问题）。对偶单纯形法cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-2-2-1100-100x5-2-3-1010-120x6-1-1-5001-14(-9/-1.-12/-1.

-15/-5)λj-9-12-150000对偶单纯形法cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-9/5-9/5010-1/5-36/50x5-9/5-14/5001-1/5-46/5-15x31/51/5100-1/514/5(-30/-9,-45/-14,-15/-1)-6-9000-342cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-9/14001-9/14-1/14-9/7-12x29/14100-5/141/1423/7(-3/-9,-45/-9,-33/-1)-15x31/140101/14-3/1415/7-3/14000-45/14-33/14对偶单纯形法cj-9-12-15000cBxBx1x2x3x4x5x6b-9x1100-14/911/92-12x20101-102-15x30011/90-2/92000-1/3-3-7/3原问题的最优解为：X*=（2,2,2,0,0,0），Z*=72其对偶问题的最优解为：Y*=（1/3,3,7/3），W*=72对偶单纯形法对偶单纯形法应注意的问题：

用对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去求对偶问题的最优解初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判别准则最小比值中的绝对值是使得比值非负，在极小化问题σj≥0，分母aij<0这时必须取绝对值。在极大化问题中，σ

j≤0，分母aij<0，总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数写成这里σj≤0在求θk时就可以不带绝对值符号。对偶单纯形法对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基变量；普通单纯形法的最小比值是其目的是保证下一个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循规则，任选一个小于零的bi对应的基变量出基，不影响计算结果，只是迭代次数可能不一样。本章小结 学习要点：

1.线性规划解的概念以及3个基本定理

2.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤Chapter3运输规划

(TransportationProblem)运输规划问题的数学模型表上作业法运输问题的应用本章主要内容：运输规划问题的数学模型例3.1某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？B1B2B3产量A1646200A2655300销量150150200运输规划问题的数学模型解：产销平衡问题：总产量=总销量＝500

设xij

为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：B1B2B3产量A1x11x12x13200A2x21x22x23300销量150150200MinC=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t.x11+x12+x13=200

x21+x22+x23=300

x11+x21=150

x12+x22=150

x13+x23=200xij≥0(i=1、2；j=1、2、3）运输规划问题的数学模型运输问题的一般形式：产销平衡A1、A2、…、Am

表示某物资的m个产地；B1、B2、…、Bn

表示某物质的n个销地；ai

表示产地Ai的产量；bj

表示销地Bj

的销量；cij表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：运输规划问题的数学模型变化：

1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；

2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不等式约束)；

3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。定理:

设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为m+n-1。表上作业法表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。步骤描述方法第一步求初始基行可行解（初始调运方案）最小元素法、元素差额法、第二步求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验数σij全都非负时得到最优解，若存在检验数σij<0，说明还没有达到最优，转第三步。闭回路法和位势法第三步调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运量进行调整得到新的基可行解，转入第二步表上作业法例3.2某运输资料如下表所示：单位销地运价产地产量311310719284741059销量3656问：应如何调运可使总运输费用最小？表上作业法解：第1步求初始方案方法1：最小元素法基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。B1B2B3B4产量A17A2

4A39销量3656311310192741058341633表上作业法总的运输费＝(3×1)+(6×4)+(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元 元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。85102120151515510总运费是z=10×8+5×2+15×1=105最小元素法：表上作业法85102120151551510总运费z=10×5+15×2+5×1=85后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是8－2=6，如果不先