数字信号处理第六章

第六章无限脉冲数字滤波器的设计§6.1数字滤波器结构的基本概念§6.2模拟滤波器设计§6.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器§6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器§6.5数字高通、带通和带阻滤波器设计

数字信号处理§6.1

数字滤波器的基本概念一、什么是数字滤波器？

是指输入、输出都是数字信号，通过一定的运算关系(通常是指一种算法，或指一种数字式处理设备)改变输入信号所含频率成份的比例或滤除某些频率的器件。1.精度高2.稳定好3.体积小4.灵活性5.重量轻6.不要求阻抗匹配优点：还可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能二、

数字滤波器分类现代滤波器经典滤波器

维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等，按照随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号。功能低通高通带通带阻理想滤波器不可能实现，因为其单位脉冲响应均是非因果且是无限长，可作为逼近标准。输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的|H

(ejω)|-ππ2π-2π低通ω|H

(ejω)|-ππ2π-2π高通ω|H

(ejω)|-ππ2π-2π带通ω|H

(ejω)|-ππ2π-2π带阻ω理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性(1)按照任务要求，确定滤波器的性能；(2)用一个因果稳定的离散系统的系统函数去逼近这一性能要求；(3)利用有限精度算法来实现这个系统函数，包括选择运算网络结构，选择合适字长以及有效数字的处理方法(舍入、结尾)等。三、

实现步骤：有限脉冲响应FIR运算网络结构无限脉冲响应IIRN阶N－1阶(4)

实现，包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器硬件，或者采用专用或通用的数字信号处理器来实现。四、数字滤波器的技术指标与要求:

相频特性，反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时数字滤波器的传输函数::

幅频特性，表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减通带内允许的最大衰减用ap表示:阻带内允许的最小衰减用表示:将

归一化为1，低通滤波器的技术要求：通带阻带过渡带cs0.707低通滤波器的技术要求ω

p：通带截止频率ω

c：3dB截止频率ω

s：阻带截止频率五、数字滤波器设计方法概述(1)借助模拟滤波器的设计方法，先设计出模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将传输函数按照某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。(2)另一类是直接在频域或者时域进行设计的，由于要解联立方程，需要计算机做辅助设计。2.FIR滤波器不能采用由模拟滤波器的设计进行转换的方法，经常用的是窗函数法和频率采样法。

模拟滤波器设计方法已经很成熟1.IIR滤波器设计法两类：§6.2模拟滤波器的设计模拟滤波器设计技术成熟，有相当简便的公式和图表，有几种典型的模拟滤波器，如Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器、椭圆滤波器、Bessel滤波器等，可以依照不同要求和指标进行选择。

低通带阻高通带通各种理想滤波器的幅频特性一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有：如果处幅度已归一化到1，即对于单调下降的幅度特性，可表示成：通带内允许的最大衰减用表示阻带内允许的最小衰减用表示低通滤波器的幅度特性0.7071：为通带截止频率：为阻带截止频率：为3dB截止频率则：给定模拟低通滤波器的技术指标:需要设计一个低通滤波器，其传输函数Ha(s)的幅度平方函数，满足给定的指标ap

和as。注意：Ha(s)必须是稳定的，因此极点必须落在s平面的

左半平面

，相应的Ha(-s)的极点落在右半平面。由幅度平方函数确定系统函数：如果能由，求出就很容易得到所需要的一般滤波器的冲激响应为实数，因此有：N=3巴特沃斯低通滤波器极点分布jΩσ0巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：10将幅度平方函数写成s

的函数取s平面左半平面的N个极点构成巴特沃斯幅度特性和N的关系幅度平方函数有2N个极点：k=0,1,2,…,(2N-1)二、巴特沃斯低通滤波器的设计方法取左半平面3个极点组成Ha(s)例：设N=3,6个极点：采用3dB截止频率对归一化，有：式中:令λ＝Ω/Ωc—归一化频率为归一化极点:归一化巴特沃斯的传输函数为：令p＝j

λ

—归一化复变量:设计步骤：根据指标

N

p

k

Ha

(p)去归一化

H

a

(s)

的富裕量:阶数N的确定(N决定幅度特性下降速度):N由参量确定:低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标,求出滤波器的阶数Nk=0,1,2,…,N-1(2)求出归一化极点，得到归一化传输函数(3)将去归一化。将代入，得实际滤波器传输函数。ButterworthAF的特点：(1)Ω=0时，无衰减(2)N越大，通带内起伏越小，阻带内衰减越快，最平的幅频响应滤波器。都是单调函数；(3)3dB不变特性。例1书P158例6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数可查表得到见书表6.2.1ChebyshevⅠ型（通带等波纹）（N奇数）对的归一化频率或可以解决Butterworth滤波器的通、阻带内衰减不均匀的现象，进而降低NN为奇数时（N偶数）N为偶数时三、Chebyshev滤波器得极点：由其中╳╳╳╳╳╳选左半平面诸极点，得归一化的传输函数：去归一化以后的传输函数为:这些极点s位于椭圆圆周上

(1)

确定技术要求sαs

、αp、p、(2)

求滤波器阶数N和参数ε切比雪夫I型滤波器设计步骤：其中(3)

求归一化传输函数Ha

(p)

(4)

将Ha

(p)去归一化，得到实际的Ha

(s)

fp=1000,fs=1200,3dB,60dB切比雪夫滤波器的特点:通带内等波纹起伏,起伏频率与阶数有关,起伏快慢大小与频率有关;过渡带和阻带单调衰减;N为偶数和奇数时,直流处响应大小不同;三、模拟高通、带通和带阻滤波器的设计低通滤波器其它滤波器频率变换关系1、模拟高通滤波器设计低通滤波器幅度特性高通滤波器幅度特性高通、带通带阻滤波器技术指标

低通滤波器技术指标设计模拟低通滤波器G

(p)高通、带通带阻滤波器

H(s)频率变换频率变换高通滤波器设计例题见书例题6.2.3转换关系：例：设计高通滤波器，fp=200Hz，fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp

处最大衰减为3dB，阻带最小衰减为15dB。解：

1.高通技术指标为：fp=200Hz

，ap=3dBfs=200Hz，

as=15dB归一化频率：2.低通技术指标为：3.设计归一化低通G(p)4.确定模拟高通H(s)2、模拟带通滤波器设计例题书6.2.4及6.2.5作业：6.1、6.33、模拟带阻滤波器设计§6.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器连续时间域(s平面)离散时间域(z平面)模拟滤波器(AF)

数字滤波器(

DF

)方法：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)，再按一定的转换关系将Ha(s)变换成数字低通滤波器的系统函数H(z)

——IIR数字滤波器的设计方法。2、把传输函数Ha(s)从s平面变换到z

平面H(z):1、把DF的技术指标转换为AF的指标参数设计出AF映射Mapping映射方法有：(1)脉冲响应不变法;(2)

阶跃响应不变法;(3)

双线性变换法等。映射必须满足的条件：(1)因果稳定AF，转换成DF，仍是因果稳定的.(s:左半平面z:单位圆内)S平面的虚轴z平面的单位圆(频率之间成线性关系)(2)

DF的频响模仿AF的频响特性

一、原理：让DF的脉冲响应h(n)去模仿AF的ha(t)假设模拟滤波器传输函数：对上式进行Z变换求得系统函数：不过，s、z整个平面并非都这样很好对应(后面例题中零点就不一一对应)S平面的极点

s=skz平面的极点Ha(s)与H(z)的部分分式的系数相同

Ak

。特点：令采样H

(z)即数字滤波器和模拟滤波器两者频响之间的关系式二、L变换和z变换关系：又因为:将代入上式得:采样信号的拉氏变换与相应的序列的z变换之间的映射关系为：由因因此有（虚轴）r=1(单位圆)（左半平面）r<1(单位圆内)s=0(原点A)z=1(单位圆上A)(平行线)(射线)(带条)(整个z平面)映射关系：z平面01z=-1•A注意是周期函数•00S平面•A1.DF和AF两者频响间关系式中的注意点：直接映射但并非

而是映射①虽然(DF增益不再随T而变)脉冲响应不变法的频率混叠现象②

DF的频响不是简单地复现AF频响，而是AF频响的周期延拓。因此只有AF频响限于折叠频率之内，DF的频响才能不失真地复现AF频响。③实际上由于T

很小，为不使DF增益过大，修改如下如果

没有频率混叠现象由公式得：例1：解：零点零点(不一一对应)

s平面极点

z平面极点对应例2书例题6.3.1，书P173若Ha(s)的极点以复数共轭对出现时，形成一个二阶基本节(1)若二阶基本节为(一阶零点)形式，则数字滤波器的二阶基本节为：(2)若二阶基本节为

(无零点)形式，则数字滤波器的二阶基本节为：注意：【1】T的选取影响对数字滤波器的特性的影响？【2】数字滤波器在附近产生的失真？(2)

设计模拟低通滤波器Ha(s)；(3)将Ha(s)分解成单极点的部分分式之和,然后按照一阶模拟系统和一阶数字系统的映射完成Ha(s)H

(z)。优点:

频率关系保持标准线性关系,低频段数字滤波器与模拟滤波器几乎完全一致。而且时域逼近特性很好;缺点:不存在s到z的直接有理影射关系式，需要对H(s)分解；高频段存在混叠失真；不能设计高通和带阻滤波器。(1)利用公式:

将数字滤波器技术指标转换为模拟指标；2.脉冲响应不变法的设计步骤：

原则上只能适用带限信号3.脉冲响应不变法的特点:作业：6-4.§6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器一、变换原理脉冲响应不变法是使DF在时域上模仿AF，存在sz平面多值映射的问题；双线性变换法是使DF的频响模仿AF。先把整个s平面通过非线性压缩变换为s1平面的一条(1从-T到T，宽度为2T

的水平)横带内，然后通过标准z变换，将s1z平面。(1)0S1平面•(2)z平面0Z=1•0s平面0•1.压缩变换：ss102.

标准z变换：s1z,即：得：映射关系0-3.模拟频率W与数字频率w的关系令：得：双线性变换法的映射关系:

(s左半面)(z单位圆内)(s平面坐标原点)(z平面单位圆上A)(s右半面)(z单位圆外)稳定的AF稳定的DFz

=14.双线性变换法的优缺点:②这种变换是非线性的；DF的频响与AF原型的频响之间存在非线性畸变，采用预畸变可以消除。适用于片断常数的滤波器设计。00cH(e)j①简单的变换设计关系：把s平面整个虚轴影射到z平面的单位圆，频率与一一对应；Ha

(s)和H(z)之间简单的代数转换关系，频域里DF模仿AF；消除了频响混叠效应。

③尤其一个线性相位的AF经双线性变换后,得到的DF就失去了线性相位的可贵特性即为非线性相位的DF了。5.利用双线性变换法将模拟滤波器数字化的方法：(2)也可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统函数(相加)或级联的子系统函数(相乘)，使每个子系统都变成低阶的(1，2阶的)，然后对每个子系统再利用双线性变换，模拟系统函数已有大量的图表可利用，分解起来比较方便。

(a)若模拟系统函数分解为级联系统：则经双线性变换后，离散系统函数可表示为：其中：(1)直接由得到；(b)分解成并联子系统经双线性变换后