数学建模概述

暑期数学建模培训课程主讲：吕佳数学与计算机科学学院1.0数学素养1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模的方法和步骤1.3数学模型的分类1.4数学建模能力的培养1.5关于建模竞赛一、概述1.0数学素养★“数学素养”的通俗说法是“把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西”。例如，从数学角度看问题的出发点；有条理的思维;严密的思考、求证;简洁、清晰、准确的表达；在解决问题时，进行逻辑推理的意识和能力;对所从事的工作，合理的量化、简化，周到的运筹帷幄。一是主动寻求并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；二是熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己的数学思想的素养；三是具有良好的科学态度和创新精神，合理的提出新思想、新概念、新方法的素养；四是对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多种角度探寻解决问题的方法的素养；五是善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。“数学素养”包含五点：数学的思维方式★数学的思维方式其实与科学家的思维方式有一定共性。★观察客观现象→分析以提出要研究的问题→抽象出概念或建立数学模型→探索→猜测可能的规律→论证→进行逻辑推理和计算→揭示出事物的内在规律。从纷繁复杂的客观现象出发得出井然有序的规律的这种全过程，就是数学的思维方式。1.1

从现实对象到数学模型原型和模型原型：指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。模型：为了某个特定目的将原型的某一部分信息检索、提炼而构造的原型替代物。也可以说模型是为了一定目的，对原型的主要特征进行简化、抽象得到的一个低代价近似替代物。玩具、照片、房屋模型……~实物模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型你常见的模型需要强调的是：构造模型的目的性，模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的哪些方面和层次。模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。

根据模型替代原型的方式可以对模型进行分类：模型形象模型抽象模型直观模型数学模型符号模型思维模型物理模型我们主要研究数学模型，那么，什么是数学模型呢？对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程简称为数学建模或建模。数学模型(MathematicalModel)数学建模（MathematicalModeling)数学模型和数学建模数学建模：数学与实际问题的桥梁数学建模:应用数学知识解决实际问题的第一步数学建模:通常有本质性的困难和原始性的创新(关键一步)实际问题数学MathematicalModeling

数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.2数学建模的方法和步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用数学建模的一般步骤模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’百度、谷歌、图书馆、书籍、维普、中国知网、统计局等数学建模的一般步骤模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践1.3

数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态……数学方法初等数学、最优化（规划）、微分差分方程、概率统计、图论……表现特性描述、优化、预报、决策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续数学应用题与数学建模的区别数学应用题数学建模问题来源数学教学实际背景问题条件明确清晰不完全明确，需要作进一步了解或假设解决方法多种多种问题结论有标准答案有参考解答但无标准答案。不同的假设下有不同的模型和结论数学建模——技术+艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力

学习、分析、评价、改进别人作过的模型

亲自动手，认真作几个实际题目1.4数学建模能力的培养需要：1、竞赛的指导思想2、历年试题3、竞赛中的题型特点4、论文的内容和格式5、参赛注意1.5关于建模竞赛1、数模竞赛的指导思想数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一编“论文”。2、历年试题1993年A题非线性交调的频率设计1993年B题球队排名问题1994年A题逢山开路1994年B题锁具装箱1995年A题一个飞行管理模型1995年B题天车与冶炼炉的作业调度1996年A题最优捕鱼策略1996年B题节水洗衣机1997年A题零件的参数设计1997年B题截断切割1998年A题投资的收益和风险1998年B题灾情巡视路线1999年A题自动化车床管理1999年B题钻井布局2000年A题DNA序列分类2000年B题钢管定购和运输2001年A题血管的三维重建2001年B题公交车调度2002年A题车灯线光源的优化设计2002年B题彩票中的数学2003年A题SARS的传播2003年B题露天矿生产的车辆安排2004年A题奥运会临时超市网点设2004年B题电力市场的输电阻塞管理2005年A题长江水质的评价和预测2005年B题DVD在线租赁2006年A题出版社的资源配置2006年B题艾滋病疗法的评价及疗效的预测2007年A题中国人口增长预测2007年B题乘公交，看奥运2008年A题数码相机定位2008年B题高等教育学费标准探讨2009年A题制动器试验台的控制方法2009年B题眼科病床的合理安排2010年A题储油罐的变位识别与罐容表标定2010年B题2010年上海世博会影响力的定量评估3、竞赛中的题型特点1）.实际问题背景涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。大体上可以分为工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。

工业类：电子通信、机械加工与制造、机械设计与控制等行业,共有8个题，占28.6%。农业类：１个题，占3.6%。工程设计类:

3个题，占10.7%。交通运输类：3个题，占10.7%经济管理类：4个题，占14.3%生物医学类：4个题，占14.3%社会事业类:5个题，占17.8%

有的问题属于交叉的，或者是边缘的。2）.若干假设条件1）只有过程、规则等定性假设；2）给出若干实测或统计数据；3）给出若干参数或图形；4）蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。3）.要求回答的问题有几个问题，而且一般不是唯一答案。1）比较确定性的答案（基本答案）；2）更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果）。4）、涉及的数学方法繁多

从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法有几何理论、组合概率、统计分析、优化方法、图论、网络优化、层次分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价方法、机理分析等方法。4、论文内容和格式1）.标题题目——写出较确切的题目。2）.摘要——200-300字，包括a.模型的数学归类（在数学上属于什么类型）；b.建模的思想（思路）；c.算法思想（求解思路）；d.建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验……）；e.主要结果（数值结果，结论；回答题目所问的全部“问题”）。▲注意表述：准确、简明、条理清晰、合乎语法。▲内容较多时最好有个目录。3）.问题重述4）.模型假设根据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。a.根据题目中条件作出假设b.根据题目中要求作出假设C.符合实际关键性假设不能缺；假设要切合题意。5）.模型构建a.基本模型：ⅰ）首先要有数学模型：数学公式、方案等；ⅱ）基本模型要求完整，正确，简明；b.简化模型：ⅰ）要明确说明简化思想，依据等；ⅱ）简化后模型，尽可能完整；c.模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。数学建模面临的、要解决的是实际问题，不追求数学上的高（级）、深（刻）、难（度大）。ⅰ）能用初等方法解决的、就不用高级方法；ⅱ）能用简单方法解决的，就不用复杂方法；ⅲ）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。d．鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异。数模创新可出现在：1.建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等；2.模型求解中；3.结果表示、分析、检验，模型检验；4.推广部分。e．在问题分析推导过程中，需要注意的问题：ⅰ）分析：中肯、确切；ⅱ）术语：专业、内行；ⅲ）原理、依据：正确、明确；ⅳ）表述：简明，关键步骤要列出；ⅴ）忌：外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长。6）.模型求解a.需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密。b.要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称。

c.计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出。d.设法算出合理的数值结果。7）.结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示a.最终数值结果的正确性或合理性是第一位的；b.对数值结果或模拟结果进行必要的检验；结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进。c.题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；d.列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据.对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；e.结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析。▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式。▲求解方案，用图示更好。8）.模型评价优点突出，缺点不回避。改变原题要求，重新建模可在此做。推广或改进方向时，不要玩弄新数学术语，没把握时，不要随便推广、改进。9.参考文献[1]武桃，张力.数学模型[M].北京：高等教育出版社，1960，45-49.[2]陆平.数学模型研究[J].数学的实践与认识，2010，2(5):12-18.[3]数学实验,.10）.附录详细的结果